VII. — Formation des satellites

43. Nous venons de nous rendre compte comment un anneau de Laplace, en se rompant, a pu se transformer en une masse sphéroïdale généralement animée d'un mouvement de rotation direct. Cette masse sphéroïdale, que nous appellerons nébuleuse planéhure, pourra à son tour engendrer une planète accompagnée de satellites. Cette nébuleuse planétaire, en effet, est comparable à la nébuleuse solaire, mais sous de moindres proportions. Elle pourra, par l'effet de la condensation, abandonner le long de son équateur des anneaux nébuleux qui finiront par engendrer des satellites.

ANALYSE DE l'iIYI'OTHÈSE DE LVPLACE 53

Toiîiefois, tandis que la nébuleuse solaire, libre de toute action extérieure, présentait une ligure de révolution autour de son axe de rotation, la nébuleuse planétaire est soumise à l'influence de l'attraction solaire cpii \ produit des marées : sons cette influence la nébuleuse planétaire s'allonge dans le sens du Soleil et tend à tourner constamment vers cet astre les mômes points de sa surface. Ainsi s'établit, comme nous l'avons dit, l'égalité entre les durées de rotalion et de révolution de la nébuleuse planétaire. Cette égalité qui, pour une raison analogue, a lieu encore aujourd'hui pour la Lune et probablement pour plusieurs satellites, ainsi peut-être que pour les planètes Mercure et Vénus, a dû se rencontrer chez toutes les planètes dans la première phase de leur existence.

Tant que s'est maintenue cette égalité, la nébuleuse planétaire a du rester dans des conditions impropres à la formation de satellites. En effet, son volume V diminuait par suite de la contraction, mai^3 la

vitesse 03 restait la même; donc ^, dmimuait, condition incompatible avec la production d'anneaux, ainsi que nous l'avons vu dans la Section III. Si l'égalité entre les durées de rotation et de révolution a lieu encore actuellement pour tous les satellites, nous nous expliquons pourquoi il n'y a pas de satellites du second ordre.

44. Etudions de plus près et analytiquement les conditions ovi s'est trouvée la nébuleuse planétaire dans cette première phase oii elle tournait sur elle-même dans un temps égal à celui de sa révolution. D'abord, on peut faire au sujet de sa constitution deux hypothèses très différentes : on peut la supposer à peu près homogène, ou bien avec une très forte condensation centrale. Pour la nébuleuse solaire, la seconde hvpothèse s'imposait à l'exclusion de la première (Section II). Mais pour une nébuleuse planétaire elle ne s'impose pas autant, et il y a lieu d'examiner successivement les deux hypothèses.

45. Cas d'une masse homorjène. — Etudions donc en premier lieu les conditions d'équilibre d'une masse fluide homogène animée d'un mouvement de rotation uniforme o) autour d'un axe de direction fixe Ox passant par son centre de gravité o ; cette masse est soumise à l'attraction mutuelle de ses parties, et aussi à l'attraction d'un astre éloigné G (Soleil) situé dans le plan de l'équateur. Nous supposerons que, en vertu de cette dernière force, le point o décrit un cercle ayant

HYPOTHESES COSMOGOMQLES

son centre en C, et que la durée de révolution est égale à la durée de la rotation de la masse fluide autour de ox ('). Ce sont bien là des conditions analogues à celles où se trouvait la nébuleuse planétaire >cjue nous éludions.

Prenons pour axes rectangulaires mobiles (fig- i4) l'axe de rotation 'OX, l'axe oy dirigé vers le Soleil G et Taxe o:, perpendiculaire aux

deux précédents. Dans ces conditions, la tliéorie élémentaire des marées nous apprend que le potentiel perturbateur dû à l'attraction solaire est

M' désignant la masse du Soleil et / sa distance au point o. Si M est la masse du fluide en mouvement, la troisième loi de Kkpler donne l'équation

d'où nous tirons, en appelant

le rapport de la masse fluide à la niasse solaire,

(') E. I^ocuE : Mrinoirc sur la fi(jui'c d'une masse Jluide soumise à l'atlraclion d'un point iHoifjné, i^\q, iSâo, i85i [Acad. de Montpellier, Section des Seiences, t. I, p. '>.'['^ et 3,'î,'?, t. 11, p. 2T1. Voir aussi Tisseuand : Traité de Mécanviue (Céleste,

i. 11, Cil. AIII, p, 1 lO.

AX.Vl.ïSE DE L UYPOTIlliSE DE LVPLVCE 03

par suite nous pouvons écrire

•* 2(t -f- [Xj ^ ' '

Le polenlicl lIù à la force centrifuge est

\ous voulons prouver que la masse iluidc homogène peut prendre, dans l'équilibre, la figure d'un ellipsoïde

(17 0 -H 'rr, -h~, = I,

^ " a- Ij- c-

donl les axes sont dirigés suivant ox, oy, oz. On sait que le potentiel d'allraclion à l'intérieur d'un tel ellipsoïde homogène peut s'écrire

V, = — l (IV^ -h (y- -h R:^),

P, Q, Il étant trois constantes. Si l'on désigne par

les carrés des rapports d'un des axes de l'ellipsoïde aux deux autres, ces trois constantes ont pour valeurs

■où l'on a posé

A = \\i -h u){i -+- s«)(^i -+- lu].

Donc, lorsque la masse homogène affecte la forme de l'ellipsoïde {17), le potentiel total a pour valeur

56 IIYl'OTIliisES COSMOGOMQUES

Pour montrer que l'ellipsoïde (17) est une figure d'équilibre, il sullit de l'aire voir qu'on peut l'identifier avec une surface équipotentielle

A', + V^ + V3 = const. ;

cette dernière équation s'écrit

— (PX2 ^- Q/ -}- Rc2) -^ to2(v2 + ;-3N | ^^ (^V^"' — x' — 2^) = COUSt.,

et l'identification avec l'équalion (17) donne

Avec la notation (18), ces deux dernières équations s'écrivent, on le voit de suite,

n p. - to-(s + 3 -+- ix)