I -t- IX

Ce sont deux équations aux deux inconnues 5 et / : elles détermineront les rapports des axes de l'ellipsoïde qui est une figure d'équilibre. Si nous posons

ces deux équations s'écrivent, en remplaçant P, O, R, par leurs valeurs (19),

V s(i — s) ( uda

-h [i *■ + 3 + |Jt J„ (i -^ u)(i + su)A (20) <( .^

i(\ — /) r udii

~ < + F Jo (i + «)(! -i-'«)A"

Puisque V est essentiellement positif, s et / seront toujours plus petits que 1, c'est-à-dire que l'axe de rotation sera toujours le petit axe de l'ellipsoïde.

46. La seconde des équations (20) peut être considérée comme représentant une courbe dans le plan des st. Si nous construisons la portion de cette courbe intérieure au carré

ANALYSE DE l'iIïI'OTIIÈSE DE I.VPLVCE

nous tiouvons qu'elle a la forme représentée sur la figure i.) : elle se compose de deux branches AB cl OD. Pour la brandie Alî, nous avons t > s : l'ellipsoïde a son grand a\c dirigé vers le Soleil, ce qui

correspond a des formes stables. Au point A Tellipsoïde se confond avec une sphère, au point B c'est une aiguille infiniment allongée, a section circulaire. La branche OD pour laquelle t < s, correspond à des ellipsoïdes allongés dans une direction perpendiculaire à celle du Soleil ; ces ellipsoïdes sont des figures toutes instables. Au point D l'ellipsoïde est une aiguille très allongée à section circulaire, au point 0 c'est une aiguille très allongée et à section aplatie. Si l'on examine comment varie

lorsqu'on chemine sur ces deux branches de courbe, on reconnaît que Y partant de o au point A. commence à croître, passe par un maximum, puis reprend en B la valeur o. De même V part de o au pomt D, passe par un maximum et s'annule de nouveau au point O.

Si l'on considère le moment de rotation, on constate que, nul en A, il ne cesse de croître le long de la branche AB et devient infini en B (en ce point B, le moment de rotation est infini, bien que la vitesse angulaire soit nulle, car le moment d'inertie de i'aiguille infiniment allongée est infini).

47. Etudions spécialement deux cas particuliers. Soit d'abord 7, = GC , c'est-à-dire que la masse M' de l'astre perturbateur G est

HYPOTHESES COSMOGOMOIES

supposée négligeable par rapport à la niasse liquide M en rotation. La question revient alors à chercher les formes d'équilil)re d'une masse fluide homogène animée d'une rotation uniforme et soustraite à toute action extérieure, problème connu : les deux branches de courbe AH et OD de notre représentation graphique se rejoignent alors en un point H, et la figure i5 se transforme en la figure i6; la ligne OV bissectrice des axes de coordonnées correspond à des ellipsoïdes de révolution (ellipsoïdes de MAC-LAiRn) ; la ligne DB correspond à des ■ellipsoïdes à trois axes inégaux (ellipsoïdes de Jacobi).

xi/

•vj

fuj. 1(3.

48. Le second cas particulier que nous envisagerons est celui tb y, = o. La masse fluide en rotation est alors très petite par rapport à la masse de l'astre troublant G (c'est le cas d'une nébuleuse planétaire dont la masse est très petite par rapport à celle du Soleil). Dans ce cas, la branche OD de la figure i5 vient s'a[)latir contre l'axe des /, tandis que la branche AB subsiste. Quand on parcourt cette branche AB, la quantité A part de o, passe par un maximum égal à o,o4t), puis décroît jusqu'à o. Pour qu'une forme ellipsoïdale d'équilibre soit possible, il est donc nécessaire que l'on ait

V = < o,oZi<)

Cette inégalité va fournir ime limite supéiieure que n'a pas pu dépasser le diamètre d'ime nébuleuse planétaire (supposée ellipsoïdale et homogène}. Prenons, par exemple, la nébuleuse planétaire qui a engendré Ju[)iter. Si /• désigne un ra\on movcn de l'ellipsoïde qu'était initialement celte nébuleuse, la niasse i\I de celle-ci (M est

a:<alyse de l'htpotiii:se de lvi'lvce •'O

appro-timativement la masse de Jupitci ) est égale à

d'ailleurs, /désignant la distance de .Inpiter au Soleil dont la masse

est M', on a

La comparaison de l'égalité (21) et de l'égalité (21.) donne

(jï

Sw^M 3 M ,, — li-p M' ~ 2 M'

Puisqu'il faut que

et que

j^=O.OOL

environ, on voit que le rayon moyen /• de la nébuleuse de Jupiter

devait salisl'aire à l'inégalité

( j < X o.ooi X o,oAt).

d'oii l'on tire

^<o,oAi.

Or /= 5,2 (le rayon de l'orbite terrestre étant pris pour unité);

donc

Prenant pour unité le rayon de Jupiter, cette inégalité signifie que ;• doit être inférieur à /i4o rayons de Jupiter.

Ainsi la nébuleuse planétaire qui a engendré Jupiter et son cortège de satellites n'a pas dû avoir initialement un rayon moyen supérieur à 4jio rayons actuels de Jupiter. Les satellites n'ont donc pas du se former à une distance plus grande. En effet, le plus éloigné des satellites actuellement connus est à une distance de la planète égale à 357 rayons. Mais, si l'on venait à découvrir un satellite à une distance notablement {') supérieure à A^o rayons, il y aurait là un sérieux argument contre la théorie.

' Je dis nolablemenl, car r est le rajon moyen de la nébuleuse ; or, celle-ci est allongée vers le Soleil, donc son plus grand rayon peut dépasser sensiblement r.

6o IlYPOTlliiSES COS.MOGO.NIQUES

49. Cas d'une masse à Jorle condensation. — Envisageons à présent l'hypothèse où la nébuleuse planétaire, qui tourne autour du Soleil en un temps égal à celui de sa rotation, présenterait une très forte condensation centrale de masse M, et cherchons la figure d'équilibre relative de son atmosphère.

Adoptons les mêmes axes de coordonnées que précédemment (//y. i4).

Le potentiel d'attraction du à la condensation est -7 (nous négligeons

l'attraction mutuelle des molécules de l'atmosphère); le potentiel dû à la force centrifuge est

le potentiel total est

c'i représentant le potentiel dû à l'action perturbatrice du Soleil, situé en C sur l'axe des y (potentiel que nous avons appelé plus haut V3). Les surfaces de niveau ont pour équation

U = const.

Lorsque c'^ est nul, nous retrouvons l'équation déjà discutée (Section I), et les surfaces sont de révolution : l'une d'elles présente un cercle double équatorial formant arête saillante. Mais il n'en est plus de même lorsque S'-D n'est pas nul. Dans ce cas, l'unedes surfaces acquerra un point double si l'on a à la fois

d\] d[] dU

dx = ''' 7^=°' d? = °-

La première de ces équations est vérifiée dans le plan x = o, par raison de symétrie ; les deux autres, en prenant des coordonnées polaires, c'est-à-dire en posant

y ^= r cos 0, z ^ r sin 0, sont équivalentes à

Ces deux dernières nous donneront les coordonnées polaires du point double ; on aura

dU M , d'^

dr r- dr '

ANALYSE DE I.'m TPOTII |":SE DE LvPLACE Ol

£ étant très petit, cette équation donne approximativement

A\aiit ainsi la distance ;•, nous la portons dans l'équation

qui donnera l'azimut 0 du point double. Comme

dV (h

dfi ~~ ' (70 '

nous voyons qu'en ce point double la fonction '> passera (en tant que l'onction de 0), par un maximum ou par un minimum : on reconnaît aisément qu'elle passera par un maximum.

Dans le cas actuel, la fonction perturbatrice î'> due à l'action solaire a pour expression

M' désignant comme plus haut la masse du Soleil et / sa distance au centre. Elle présente, pour une valeur donnée de r, deux maxima égaux, en deux points de l'axe des y.

Donc l'une de nos surfaces de niveau présente deux points doubles ou points coniques ; les surfaces de niveau extérieures à celle-là ne sont plus fermées.

50. Jusqu'ici la durée de rotation de la nébuleuse planétaire a été supposée égale à sa durée de révolution, et nous avons dit (n" 43] que, pendant toute la période oii s'est maintenue cette égalité, la nébuleuse n'a pas dû former de satellites. Lorsque, par suite de la condensation, la marée solaire est devenue plus faible, la rotation s'est accélérée, et la nébuleuse planétaire a cessé de présenter constamment au Soleil les mêmes points de sa surface. Roche admet que, dans cette seconde période, l'atmosphère planétaire prend à chaque instant la figure avec laquelle elle pourrait être en équilibre sous l'action du Soleil : sa surface libre est allongée vers le Soleil, et peut acquérir, aux sommets du grand axe, deux points coniques comme ceux dont nous parlions plus haut. C'est par ces deux pointes opposées que la contraction laissera s'échapper l'excès de fluide atmosphérique, et

Ga IIÏI'OÏIIÈSES COS.MO(;0MQLES

non plus par toute une arête saillante équatoriale, comme il arrivait pour la nébuleuse solaire de révolution. Donc, au lieu d'un anneau régulièrement disposé autour de la planète, nous aurions une émission de matière s'elïectuant par deux points opposés, llocni: pense que les diverses masses ainsi délaissées ne présenteraient aucune condilion de stabilité ni de durée, et qu'en réalité les satellites ne se sont pas formés dans cette seconde période : ils appartiendraient à une phase bien postérieure oh la durée de la rotation se trouvait déjà tellement réduite que l'allongement de la nébuleuse planétaire vers le Soleil était presque négligeable. La nébuleuse planétaire, devenue alors tout à fait comparable à la nébuleuse solaire, aurait abandonné des anneaux ordinaires de Laplace qui auraient engendré les satellites.

Dans ce cas, aucun satellite ne se serait formé avant que la nébuleuse planétaire ne soit assez contractée pour que la ditTérence R' — R", entre son plus grand et son plus petit rayon équatorial, soit descendue au dessous d'une certaine limite 0. Estimant assez arbitrairement cette limite û à fi,ô rayons terrestres, Roche en conclut, pour le rayon IV des dilTérentes nébideuses planétaires, au moment où elles, ont pu commencer à abandonner des anneaux équatoriaux, les valeurs suivantes (exprimées en rayons de la planète correspondante) :

Jnpiler Saturno Uranus JNejitune

C'est seidement en deçà de ces distances qu'on doit s'attendre à trouver des satellites. Les satellites anciennement connus satisfont bien à cette condition. Mais il n'en est plus de même pour certainssatellites récemment découverts : pour Jupiter, par exemple, on connaît un satellite à une distance de la planète égale à oô~ ravons. Il y a donc lieu de penser que. contrairement à l'opinion de Roche, les masses gazeuses abandonnées par les deux ]ioints coniques de la nébuleuse dans la seconde phase de son existence ont pu concourir à la formation de satellites. Gela, en elTet, ne parait pas impossible à imaginer : les masses successivement abandonnées auraient pu se répartir sur un anneau ; mais si, ce qui est le plus probable, aucun» anneau n'avait pu se former, on se serait précisément trouvé dans lesmêmes conditions qu'après la rupture de lanneau devenu instable.. Que cet état ait été atteint en passant par une phase d'anneau stable^

ANALYSE DE l'uYI'OTHKSE I>E LVPI.ACE 65

OU sans passer par celle phase, la foniialioii d'un salellile aurait toujours pu en résulter par un mccanisuie identique.

51. Cas (le la Lune. — Uociin estime que la Lune se présente, à divers points de vue, comme un satellite exceptionnel :

« Elle se dislingue, dit-il, par la grandeur de ses dimensions et de sa masse coniparées à celles de la Terre, par rexccntricité de son orbite, surtout par sa distance à la Terre. Saturne et peut-être Lranus en ont un aussi éloigné comparativement au rayon de la [)lanète, mais c'est alors le dernier d'une série de satellites. Ici le satellite est unique. » {Essai sur la coii^iUiUioii cl l'orif/uic du syslcmc solaire^ n" 52.)

Ces raisons lui font attribuer à la Lune une origine spéciale :

(( Il a pu arriver aussi exceptionnellement, et telle est l'origine probable de la Lune, quun amas de vapeurs déjà refroidies s'étant formé au dedans de la nébuleuse terrestre, dans la région équaloriale et à une certaine profondeur, cet amas soit devenu un centre de condensation autour duquel se sont groupés d'autres amas semblables. De cette agglomération est résultée, dans l'atmosphère même de la Terre, une nouvelle nébuleuse, origine de la Lune. » {loc. cil., n° 58.)

Le système Terre-Lune serait donc comparable, dans cette manière de voir, à une sorte de planète double. Nous sommes donc très loin des idées de L.\i'lace.

52. Anneau (Je Salurne. — Pourquoi le dernier anneau équalorial abandonné par la nébuleuse de Saturne est-il resté sous forme d'anneau et n'a-t-il pas donné un satellite ? C'est, d'après Roche, parce qu'à une aussi faible dislance de la planète, ime masse fluide ellipsoïdale n'aurait pas pu être en équilibre. l\appelons-nous en ellet ce que nous avons dit relativement à une masse fluide homogène, soumise à l'attraction d'un astre central éloigné (ici Saturne) et animée d'une rotation uniforme d'une durée égale à celle de sa révolution. Lorsque la masse fluide est très petite par rapport à celle de l'astre central fcas de u. = o , nous avons vu (n" 48) qu'il faut avoir

C4 IIÏPOTIIÈSES C05JI0G0MQUES

pour qu'une forme ellipsoïdale d'équilibre soit possible. Mais la lidisième loi de Kepler donne

M désignant ici la masse de Saturne et / sa distance à la masse fluide: il faut donc que