II = T

a une racine double r ; celte racine double salisiait aussi à l'équation

Inversement si la dislance aphélie annule , , l'équation précédente

a une racine double et l'orbite est circulaire.

Supposons donc qu'à l'instant initial / les deux équations

ïl = T et

rfll

ont une racine commune /•, rayon de l'orbile circulaire de la planète. Si, à une époque un peu ultérieure / + (//, l'orbite a cessé d'èlre circulaire, sa distance aphélie r,, sera donnée par l'équation

llo = T.

Eludions les variations de Fq, et pour cela différentions la dernière équation par rapport à /. Nous obtenons

du, di- f/IL

di- dt dl ~

^di -

~ dt

m l'OTlIllSES COSJIOGOMQUES

Or, t\ dilleianl [X'u de /', nous aMons

(/ll„ dli , , dm

(/II,, </II , N '/'Il

di — dt "^ ^''" '' drdC

Portons ces valeurs dans l'équation (G) en nous souvenant que -17 est nul ; nous trouvons l'équation

dm<h'^ dm

dr- dl drdt Comme r^ diffère peu de /', l'équation précédente s'écrit

dm dm dr

drdt ~^ dr^ dt '

, dU

Le premier membre est la dérivée totale de ,7 par rapport au temps.

Cette dernière équation nous montre que .,, nul à l'époque /, reste

nul à l'époque / -h <U. Lorbite initialement circulaire reste donc circulaire, mais son rayon /• varie avec le temps.

65. 11 y a un cas oii nous pouvons étudier la question de beaucoup plus près. Supposons que, dans la formule de Fate

c ir, t) ^= ar -\ ^,

a soit nul : ce serait, par evemplc, le cas où la nébuleuse de Favl: posséderait un noyau déjà très condensé, avec une atmospbère de dcnsilê négligeable, mais de masse importante vu la grande distance où elle s'étend ; cette atmospbère tombe peu à peu sur le noyau central pour augmenter sa masse. En d'autres termes, nous allons étudier le mouvement d'une planète attirée suivant la loi de Neavton par un soleil dont la masse (que nous désignerons par M) varie lentement avec le temps.

Dans ce cas, la fonction que nous appelons il a pour expression

ini'OTIIKSE DE H. l•^^E 7<(

par suite

ilT du I */M \U ~ lit "~ r <// ■

Or, 'I' est la constante tics forces vives (|ui. dans le mouvement képlé-

rien, a pour valeur — , a" étant le o'ranJ axe de l'orbite ; nous

avons donc

c/ / M\ I ./M dl \ 2fl/ " ;• '//

, M\ dMdt

Nous pouvons adincllre que, pendant le lomps d'une révolution de la planète, .j- reste sensijjlcment constant. Calculons . ou plutôt sa

valeur moyenne pendant une révolution. En désignant par n et u le moyen mouvement et l'anomalie excentrique de la planète, [)ar c l'excentricité de son orbite, nous avons

n/ = u — e sin »,

d'où nous tirons, n et e ne variant que très lentement,

n dl = du ( I — e cos (0 ;

d'ailleurs, une formule bien connue du mouvement elliptique donne

/• = a ( i — e cos II) ;

donc

dt du

Or, pendant une révolution, n est une constante, et du a pour valeur moyenne n dl ; donc

, dl dl.

niovenne de — = — •

La formule (7) donne par conséquent pour la variation séculaire du grand axe

8o HYPOTHÈSES COSMOGONIQUES

adM -h Mf/« = o,

et par suite

Ma = const.

Le ffrand axe varie donc inversement à la masse du Soleil.

D'ailleurs, si nous appelons b le petit axe de l'orbite elliptique, la constante des aires G a pour valeur

nous avons donc

= const.,

-., - = const.

Ma étant lui-même constant, Mb l'est aussi. Les deux axes 2a et 2^ de l'orbite de la planète varient donc proportionnellement l'un à l'autre. L'orbite de la planète — et ici nous n'avons pas eu besoin de supposer son excentricité très petite — reste donc constamment semblable à elle-même. Elle ss rapetisse à mesure que la masse M du Soleil augmente.

66. Ainsi, dans l'bvpotlièse de Fave, l'orbite d'une planète reste toujours quasi-circulaire, mais le rayon de cette orbite va en diminuant; les planètes s'approcbent de plus en plus du Soleil à mesure que celui-ci augmente de masse (').

Demandons-nous quelles pouvaient être, à l'origine, les distances des diverses planètes au centre de la nébuleuse. Pour une planète dont a est le rayon de l'orbite actuelle et dont w est la vitesse angulaire, le moment de rotation est

ce moment de rotation n'ayant pas dû varier, si w' est la vitesse an-

(') Si la planète a un satellite (ou plusieurs), ce rapprocliemcnt entraîne, comme effet secondaire, une légère augmcntalion de la distance du satellite à la planète : conséquemmcnt, la durée du mois augmente, tandis que celle de Vaiiiu'e diminue.

IlYPOrilliSt: DE II. FA\E

gulairc et à le ra}on de l'orhlLe de la [)lancle à roiiglno, on a

(8) ioa- = w'«'2.

Or, à l'oiifiinc, la nibuleuse de 1\\^e était sphcrique et homogène, rattraclioa était donc pioporlionnelU; à la distance au centre, par suite 0) était le même pour toutes les [)lanètcs. Supposons, par exemple, que la nébuleuse primitive homogène ait eu le rayon de l'orbite actuelle tie Ne[)tune f^cc qui est un minimum) : alors son attraction sur Neptune aurait été la même que si toute sa masse avait été concentrée en son centre. Sa condensation ultérieure en un Soleil central n'a rien dû changer au mouvement de Neptune, qui lui restait toujours extérieur. La valeur de ^i' est donc, dans cette hypothèse, la vitesse angulaire actuelle de Neptune, et la formule (S) permet de calculer la distance initiale a de chaque planète au centre de la nébuleuse. On peut ainsi former le Tableau suivant, où l'on a mis en regard la distance actuelle et la distance initiale des planètes au Soleil, le rayon actuel de l'orbite terrestre étant pris comme unité :

Planùles

Distance actuelle a

Dislance initiale a'

^[ercure . . . .

Venus

la Terre ....

Mars

.Jupiter

Saturne ....

l'raiins

ÎNeptuiic . . . .

Nous voyons, par exemple, que Mercure se serait formé à peu près à la distance où se trouve aujourd'hui Saturne. Si le rayon \\ de la nébideuse homogène primitive avait été encore plus grand, les dislances a' se trouveraient encore augmentées. L'attraction est initialement représentée par A/', A étant proportionnel à la densité de la

nébuleuse, c'est-à-dire à tv^^ ; w' égal à \/A est donc proportionnel à

R 2 ; comme u'a'^ a une valeur constante, nous concluons que a est proportionnel à l\* .

Poi>(

ga HYPOTHÈSES COSMOGOMQUES

Donc, si la nébuleuse primitive a eu un ravon double de la dislance actuelle de Neptune, c'est par 2^ qu'il faut multiplier les nombres de la dernière colonne du Tableau ci dessus. Si l'on admet quel» nébuleuse solaire touchait à l'origine celle de l'étoile la plus voisine- (a du Centaure), qui se trouve éloignée à une dislance de l'ordre de 200000 ravons de l'orbite terrestre, c'est par un nombre de l'ordre

de ( — y Y qu'il convient de mullijilier les distances a'. Dans l'hy-

potlièse de Faye, c'est donc à d'énormes distances que les planètes se seraient Ibrmées.

L'hypothèse de Fate présente en résumé un caractère ingénieux ;; mais elle rend moins facilement compte que celle de Laplace de la faiblesse des excentricités et des inclinaisons. Elle a été imaginée à 1» suite de certaines objections qui avaient été opposées à la théorie de Laplace ; nous avons vu plus haut comment la plupart de ces objections avaient pu être écartées et avaient été victorieusement réfutées par les partisans des idées de Laplace. La principale difficulté, ignorée d'ailleurs de Faye, provient du mouvement rétrograde des satellites extérieurs de Jupiter et de Saturne; mais elle n'est pas mieux expliquée par la nouvelle théorie que par l'ancienne.