III. — Cas général
103. Dans l'exposé qui précède, nous avons, pour simplifier, supposé nulles l'excentricité de l'orbite lunaire et l'inclinaison de cet orbite sur le plan de l'équateur terrestre. Nous allons à présent nous affranchir de ces hypothèses et entrer dans le détail de la théorie de Sir G. II. Daramn.
Auparavant, il est nécessaire de rappeler quelques points de la théorie statique des marées (').
Dans celte théorie statique, on suppose que la mer prend à chaque instant sa forme d'équilibre : la surface libre de l'océan est donc une surface de niveau relativement à la somme des potentiels de la gravité et de l'astre perturbateur qui produit la marée.
Le potentiel de la gravité peut se représenter par
Yo désignant la valeur constante de ce potentiel au niveau moyen des mers et Ç la dénivellation de la particule liquide superficielle envisagée (-).
Le potentiel dvi à l'astre perturbateur, nous le désignons par V,. Soient m la masse de l'astre perturbateur L (qui sera, par exemple, la Lune), /• sa dislance à un point A de la surlace de la mer {Ji(j- 29). ÎNous avons
(') Voir M. Levy : Leçons sur la Tliéorir drs Marées, t. I, cliap . I ; et 11. l'oi:ic\Kiî : Leruiis de Mécanique Célesle,l. III, Tliéorle des Marées, chap. l et 111.
(■-) Dans Vq il est tenu compte de la force centrifuge qui provient de la rotation diurne. Nous négligeons le potentiel dû à la couche d'eau comprise entre la surface moyenne et la surface vraie des mers.
TilKOniE DE SIR G. II. DARWIN l'43
Comme nous rapportons les points de la mer à des axes de coordonnées invariahleinent liés à la Terre, il faut, pour pouvoir regarder ces axes comme fixes, appliquer à chacpic^ point A les Ibrces apparentes dues à leur mouvement. Mais, puiscpi'il ne s'agit ici que de Téquilibre, la force centrifuge composée n'intervient pas; il ne reste que la force d'inertie dans le mouvement d'entraînement du point A
avec les axes. La Ibrce [)rovenant de la roUitiim diurne a déjà été i)rise en considération dans A,,. Il suffit donc, aux forces réelles, d'ajouter la force d'inertie due à la translation des axes, c'est-à-dire, puisque l'origine est au centre de la Terre, une force accélératrice — J égale et contraire à l'accélération J que l'astre perturbateur tend à imprimer à ce point.
Soient J, , J,,, J; les composantes rectangulaires de J. A chaque point A, on devra appliquer une force de composantes
— J,, — Ir — J3 ;
comme ces composantes ne dépendent que du temps, et non des coordonnées x, y, z du point A, elles peuvent être considérées comme les dérivées partielles de la fonction
(7) — {3jX -h J,/V H- J^j) = — Ja cosi'J, a),
en appelant a le rayon moyen des mers, égal sensiblement à la distance du point A au centre T de la Terre, et en désignant [)ar (J, a) l'angle de J avec le rayon TV. Finalement, en écrivant que la somme des trois expressions (5), (6) et (7) est égale à une constante, nous obtiendrons l'équation de la surface libre des océans rapportée à des axes invariablement liés à la Terre :
^8) Yg — y^ -+- ^ i — J<ï cos ( J, a) = const.
I la IIYPOTIllOSES COSMOGO'IQUES
Telle est l'équation qui, clans la théorie statique, donne la dénivellation 'Ç. Nous allons la transformer.
104. L'accélération J que la Lune L imprime au centre de la Terre
T a pour valeur ^ , et est diri"-ée suivant la droite TL = o. Donc
l'angle (J, a) n'est autre que l'angle désigné par 7 sur la figure 29 (c'est la distance zénithale géocentrique de la Lune), et l'on a
Ja cos (J, a) = ~r cos a.
Comme on a
/■^ = a- + p^ — 2ao cos a,
le potentiel Vi dû à la Lune peut s'écrire
[0- -+- a- — lao cos cr)
1 • cos J H- .,
m am a^m 3 cos'-a — 1
cos 0-
en négligeant les termes de l'ordre de ~x • Nous écrirons
Vl = Uo -}- u, + u,,
en posant
TT m Tj am ,, a-m ocos-cr — ^i
Ug =^ — , Ui^=-„ COS 7, Uo ^ — ^
Par suite, nous pouvons écrire l'équation (8) ainsi
^0 — f/C H- IJo + U^ = const.
Vq et Uq = - étant des constantes ne dépendant pas du point A, cette équation nous donne finalement, pour la dénivellation ^,
». U2 .1 à^m 3cos^(T — r
ç = — -h const. T=z 1- const,
TIIEOIIIE DE «lU i;. II. DAinVlN 1^5
La constante du second nienibio se déteiiuinerait en écrivant que le volume total de la met- est constant, c'est-à-dire que l'inléj-'^rale
Jï-"-
étendue à tous les éléments <h de la surface des mers, est nulle. On reconnaît ainsi que, si la mer recouvre toute la surface de la Terre, cette constante est nulle, et l'on a alors la formule définitive de la dénivellation statique
, , „ U., I a^in Scos^T — I
105. Dans la théorie statique, on ne tient pas compte de l'inertie des eaux de la mer. Dans quelle mesure cela est-il léjjritime? L'inertie, proportionnelle à l'accélération, joue un nMe dans les marées // coiirle période; au contraire, pour les marées à lomjue période. l'efTet de l'accélération, c'est-à-dire de l'inertie, est négligeable. Mais que doit-on entendre par longue et courte période? La période d'une marée pourra être qualifiée de longue ou de courte suivant que cette période sera ou ne sera pas très considérable par nipporl à la période d'oscillalion propre de la mer.
Par conséquent, si la période d'oscillation propre est tiès courte, toutes les marées, même les marées semi-diurnes, pourront être considérées comme étant à longue période, et la théorie statique s'appliquera. Or, si, avec Sir G. H. Daramn, nous considérons la Terreaux époques reculées où elle était entièrement liquide, nous trouvons que sa période propre d'oscillation est elTectivement très petite par rapport à la demi-journée : il est donc légitime de se contenter de la théorie statique.
Au contraire, l'inertie jouerait un rùle important, et la théorie statique deviendrait tout à fait insuffisante, si l'on voulait étudier le mouvement des océans actuels, dont la période propre d'oscillation est de l'ordre du demi-jour.
106. Mais si, dans le calcul de l'action des marées produites par la Lune sur la Terre, nous pouvons négliger l'inertie, nous devons en revanche tenir compte de la viscosité, puisque ce sont précisément ses effets que nous voulons étudier.
PoiSCARt. 10
£^(j HYPOTHESES COSMOGONIQUES
Reprenons la formule de la dénivellation statique Uj I a-ni 3 cos- j — I
Le mouvement de l'astre perturbateur L étant connu en fonction du temps t, le troisième membre de cette formule peut cire développé sous forme trigonométrique
^ A COS a/,
les A étant des fonctions des coordonnées x, y, : du lieu géograpliique et les (/. étant des constantes. Nous envisagerons séparément chacun des termes de la somme ^ et, pour tenir compte de la viscosité, nous ajouterons au second membre de l'équation qui donne 'Ç un terme négatif proportionnel à jj . L'équation en Ç prend ainsi la forme
t = A COS ai — k -, , dt
ou encore
(10) A- ^J H- C = A COS a<,
/,• étant une constante proportionnelle à la viscosité du liquide.
Pour intégrer cette équation linéaire à second membre, nous considérerons l'équation suivante :
(11) A-^ + C^Ae'^
où / désigne l'imaginaire \/ — i, et nous ne conserverons que la partie réelle de sa solution. Cette solution est de la forme
C = Ce'^' ;
en la substituant dans l'équation (ii), il vient pour déterminer C, l'équation
Posant
(12) /va = lg£,
TlIliOIUE DE Slll (;. II. DMIWIN" 14"
on aura
I + i k% = I 4- t Ifr £ = ;
° COSî
par suite
C = A cos £«"''.
El l'inlégralc de l'équation ( 1 1) est dont la partie réelle
^ =^ A cos t cos -Xt E
est rintcgraie cherchée de l'éqnalion lo .
ÎSous voyons donc que l'efTet de la viscosité est d'ahord de réduire l'amplitude de la marée dans le rapport de cos £ à i, ensuite d'amener pour la marée un retard de phase, un décalarje, égal à ê.
Si l'astre sur lequel se produit la marée, au lieu d'être liquide et visqueux, était solide et parfaitement élastique, nous aurions bien une réduction de ranq)lilude, mais nous n'aurions pas de décalage. S'il était solide et visqueux, nous aurions à la lois une réduction de l'amplitude plus grande que cosc et un décalage.
107. Reprenons la formule 112) qui définit £ (12) 'g^ = ''''•
Si la viscosité est très faible, c'est-à-dire si k est très petit, l'angle £ est petit, il se confond sensiblement avec sa tangente et il est proportionnel à a, c'est-à-dire à la vitesse de la marée : de même sin : et sin 2£ seront proportionnels à a ; quant à cos £ il sera presque égal à 1 . Au contraire, si la viscosité était très forte, /.• serait très grand,
tg£ aussi, £ serait voisin de - , et l'on aurait sensiblement
^ 2 kx
dans ce cas, sin £ serait très sensiblement égal à i; cos£, égal alors à cotgc, serait proportionnel à , et sin 2£ = 2 sin£ cos£ serait aussi
proportionnel à •
lYPOTIIESES COSMOi;ONI<^L"ES
Dans le cas actuel devons- nous considérer la viscosité comme faible ou comme forte? >ious devons la considérer comme fdihlc, car une substance comme la poix nous donnerait, si nous faisions le calcul,
un angle s très petit et non voisin de ^" . La poix doit donc être considérée, au point de vue qui nous occupe, comme un corps à viscosité très faible, et il y a lieu d'admettre que la Terre, à l'époque où elle était liquide, n'oll'rait pas une viscosité incomparablement su[)érieure à celle de la poix.
