DUS WIN

i"* Des termes indqxiuLinls de l'angle horaire .1 : ils donncionl les marées à longue période ;

2" Des termes en cosaJl dont la période est voisine d'un demi-jour: ils donneront les marées semi-fliiirnes ;

3° Des termes en cos.b dont la période est voisine d'un jour : ils correspondent aux marées (liurnes.

Introduisons les éléments usculalcursde l'orbite de l'astre L. Soient, sur la sphère céleste (//^. 00), E le plan de l'équateur terrestre, 0 le plan de l'orbite de l'astre troublant L, N le nœud de l'orbite sur

l'équateur, A^ l'origine des longitudes géographiques intersection de l'équateur avec le méridien de Paris), A' l'intersection de l'équateur avec le méridien du lieu géographique A, ttt le périgée de l'astre. Nous avons

A'Aq = /o longitude du lieu,

AqN ^= X angle horaire du nœud à Paris.

Nous désignons par ^ l'arc Nnr égal à la longitude du périgée moins la longitude du nœud ; et par / la longitude moyenne de l'astre dans son orbite, comptée à partir du nœud N.

Alors, si nous développons le troisième membre de la formule (g, autrement dit cos'c, en série de fonctions trigonométriques dont l'argument est une fonction linéaire du temps /, nous obtiendrons des termes tels que

(l3) Al COS ay + »-/„ -h ^/ -f- -^m).

M étant une fonction des coordonnées du lieu A, et a. ^b, y étant des

l50 HYPOTHÈSES COSMOGOMIQLES

entiers. C'est en effet des quantités

/. + Zo- ^ ^

que dépendent les coordonnées horaires de l'astre .i et r)'.

Puisque dans l'expression (i3), /q ne dépend comme M que des coordonnées du lieu A, et non de l'astre, nous l'isolerons en développant le cosinus sous la l'orme

(i4) cos a/g cos (a/ -f- p/ -4- vto) — sin «/q sin {^.y -}- j3/ -h ■^rs).

Et finalement les différents termes du développement trigonométrique de Ç seront de la forme

(i5) AX cos (a'x, + ^/ -h Y^ -H /*■)•

où la constante // vaut o ou ± - , suivant que l'on prend le cosinus ou

le sinus qui figure dans la formule (i4), et où nous désignons par AX le coelficient qui dépend des coordonnées du lieu géographique.

De quelle nature seront ces coefficients y\X en tant que fonctions des coordonnées du lieu ? Ils seront évidemment des fondions sphériques du second ordre comme l'est lui-même le troisième membre de la formule (9). Nous avons désigné chacun de ces coefficients par un produit AX : la lettre A désigne une constante numérique, et la lettre X une fonction sphérique du second ordre multipliée par un nombre con\enable de telle façon que l'intégrale

X'-dc

étendue à tous les éléments de surface de de la sphère, ait une mente valeur constante K pour toutes les fonctions sphériques que nous aurons à envisager.

Soient x, y, : les coordonnées du lieu par rapport à trois axes rectangulaires invariablement liés à la Terre et passant par son centre, l'axe des z étant l'axe de rotation, le plan des xz étant le méridien de Paris. îSous aurons (en prenant pour unité le rayon terrestre a)

X = sin 0 cos /„, y = sin 6 sin /g, z = cos 0.

TIIKORIE DE SIU r.. M. nUOVlN

Les fonctions .,l.é.iqnes X '!"'-'™;'";'f ^ 'l'"^,*",:' 'uPgonomélriquo du troisième memb.o ,1e la formule (9) =onl

vantes (') :

T- — V" sin-0

± -L ^= cos 2-/(

sln''û

.TV = sin 2/û,

.rr = sin o cos o cos •/(,.

yz := sin 0 cos 0 sin /q.

x^^h^}'^ - 2:^ ^ ^--^^cos^S^

Faisons malmenant quelques remarques sur les trois entiers a. [% '/•

Tout d'abord on aura

a = 0,1 on 2,

suivant que le terme considéré correspond à une ---j^|-^^^^ riode à une marée diurne, ou à une marée semi-dmrne. cai, dan rode, ^^^"e . e très lentement et peuvent

i::=s^:ot.e::nSi::e„fcons.i„.s.E„su

est nulle, on aura

car alors les deux plans E et 0 (/,• 3o) coïncident, le pomt > devient indéterminé, et les seuls angles qui interviennent sont 7 - - et / • Par suite, dans les termes indépendants de l'Inclinaison, on aura

Dons les termes qui contiennent l'inclinaison à la puissance ),. on verrait facilement que

(' On reconnaît aisément que l'intégrale

étendue à toute la sphère a, comme nous le désirions, la même valeur K pour toutes CCS fonctions sphériques X.

l52 IIYPOTUKSrS COS.MOGOUTQUES

doit être au plus égal à 1 et de même parité que À. Enfin, dans les termes indépendants de l'excentricité, w n'intervient pas, on a donc

et dans les termes qui contiennent l'excentricité à la puissance )., on verrait que | y | est au plus égal à ). et de même parité que )..

Gomme nous ne conserverons dans la suite que des termes du premier ordre au plus par rapport à l'excentricité e et à l'inclinaison /, nous aurons, dans les termes indépendants de e et de i,

dans les termes en e,

Y = ± I , a -+- p -I- Y = o ; dans les termes en /,

Y=:=:0, a4-[3=drt,

109. liref, nous avons prouvé que le troisième membre de la formule (g), qui représente (au facteur 7 près) le potentiel U^ générateur de la marée, peut se développer en une série de termes de la forme (i5) :

-^ = V AX cos (a/ 4- s/ -h Y^ -+- /O-

ce que nous écrivons simplement

-2 = y AX cos G,

en posant pour abréger

0 = oL/ -f- p/ + Y" + /'•

Si nous voulons maintenant tenir compte de la viscosité comme nous l'avons fait au n" 106 (p. i/|0), nous trouverons que ce potentiel perturbateur LU produit une dénivellation

oi'i c est donné par la formule

TlIl'jOKlE I>E SIH (;. 11. nvRUIN IJ*}

( ,. représente ici la vitesse de la marée que nous a[)[)elions a au

Nous nous proposons de clicrchcr l'action de la Terre, uin>i déformée par la marée (i6), sur un cor[)s extérieur. Pour fixer les idées, nous supposerons que la marée (i6) est [)roduite par le Soleil et nous clierclierons les perturbations que cette marée solaire (iG) fait subir au mouvement de la Lune.

Les quantités /, /, ^ sont donc relatives au Soleil. Nous appellerons /.', /', to' les mêmes quantités relatives à la Lune. Comme nous cherchons l'action, sur l'orbite de la Lune, du bourrelet soulevé par la marée solaire à la surface de la Terre, nous introduirons une fonction perturbatrice M' qui sera le potentiel dû à l'attraction de ce bourrelet.

f"j- •il-

Soit /•' la distance de la Lune L à l'élément Ç'h di\ bourrelet (//'/. ji). Nous aurons alors

lintégrale étant étendue à toute la surface de la sphère terrestre.

Nous pouvons développer , comme nous avons développé - au n" 104 (p. i\'\) et écrire

L'o, U',, L ., étant respectivement des fonctions sphériques d'ordre o, I, 2, par rap[)ort aux coordonnées du lieu <jréogra[)hique A.

(' Rappelons qno l'angle t est très petit et peut être confondu avec sa tangente ou son sinus (n° 107;.

I04 11\P0TIU:SES COSMOGO>'IQUES

Comme 'C est lui-même mie Ibnclion sphérique du second ordre par rapport aux coordonnées du même point A, on a

Nous avons donc simplement pour notre Ibnclion perturbatrice

(17) w^ffaiw..

Développons U', sous forme liigonométrique de la même manière que nous avons développé U^ un peu j^lus haut : nous aurons

U; = ^'^"^' cos (a'// + f!7' + vV + //)

a', fj, y' étant trois entiers, h' étant une constante égale à o ou à =t-,A' étant un coefficient numérique, et X' une Ibnction sphérique du second ordre telle que l'intégrale

étendue à toute la sphère ait une valeur constante donnée K, la même pour toutes les Jonctions sphériques \'. Nous éciirons simplement

(18) U; = ^A'X'cosO',

en désignant, pour abréger, par

G' = a'// ^- p'/' + 7'ttt' + h'

l'argument du cosinus. Alors, d'après (16) et (iS), l'expression (17) de AV peut s'écrire, en faisant sortir du signe I I tout ce qui ne dépend pas des coordonnées du lieu A,

( 1 9) W = V A A' cos t cos (0 — t) cos 0' ) f \X' ch.

Telle est l'expression de la fonction perturbatrice dont nous avons à chercher l'action sur l'orbite de la Lune.

TIIKORIE nE Slll i;. II. DAUWIN

110. Nous appliquerons la niélhotle de la variation des constantes. ?^ous commencerons par définir la position de la Lune par un système de six éléments canoniques ('), Aux trois quantités y'.ra',/', nous adjoindrons, pour achever de déterminer la position de la Lune, les trois suivantes :

• -, ' 2 sin- -

a', e', i' représentant le demi-grand axe, l'excentricité et l'inclinaison sur l'équateur de l'orbite lunaire.

Le vecteur des aires a alors pour valeur (à un facteur constant près dépendant des niasses et dont nous faisons abstraction)

et la projection de ce vecteur sur la perpendiculaire au plan de 1 équateur a pour \aleur

\/a' \ \ — e'- cos t" = ;'(i — t/) (i — \x).

Les six éléments

r. r(r-V). ?'(! -V)(i -[-'), l'-^', ^'^ - )•'forment un système de variables canonirjiies '-) entre lesquelles existent les équations de HAMu/rox. Nous aurons en particulier

dW

dt ~~ d{l' — m'y

d[^'{l — V)'. d^ \ dl ~ dm' '

di-yy

(') ^oil• H. PoiNCARÉ : Lerons de Mécanique Céleste, l. I, Cliap. III. (-) Ce sont celles t|iii ont clé désignées par

à la p. -(] fie rOuvrage de M. H. Poincaré : Leçons de Mécanique Céleste, t. I. Dans les trois premières de ces variables, nous faisons abstraction d'un même facteur constant où fisurent les masses de la Terre et de la Lune.

HYPOTIIKSES COSllOr.OMOUES

Telles sont les équations auxquelles nous conduit l'application de la méthode de la variation des constantes, pour calculer les perturbations des éléments lunaires sous l'action de la fonction perturbatrice AA.

111. Le calcul qui précède est relatif à l'action, sur l'orbite lunaire, du bourrelet liquide soulevé sur les océans terrestres par la marée solaire. ?Se pourrait-on pas appliquer le même calcul à l'action, sur l'orbite lunaire, du bourrelet liquide soulevé par la marée lunaire elle-même? On le peut certainement, mais à condition de prendre quelques précautions : -/', ro', /' devenant alors égaux à /, w, l, la fonction perturbatrice W se trouve dépendre de la variable -/ de deux manières différentes : elle en dépend par '/et ensuite par -/'. Dans le

calcul de -ï-7 , il faut donc supposer d'abord '/' ;zf /, puis dériver W

par rapport à "/', et enfin faire / = '/'• Les mêmes précautions doivent être prises dans le calcul des autres dérivées de W. En d'autres termes, il faut distinguer la Lune en tant qu'astre troublant producteur des marées et en tant qu'astre troublé par ces marées. C'est ainsi que Sir G. II. Dakwix appelle notre satellite Diane quand il est troublant et Lune quand il est troublé : alors '/, w, /, sont les coordonnées de Diane, /', w', /', sont les coordonnées de la Lune, et l'on a

y' = -/, Tir' = rn. /' = /.

Moyennant cette précaution, notre analyse s'applique à l'action des marées lunaires sur la Lune elle-même.

112. Nous reprendrons donc les formules {•lo), et comme nous ne nous occupons que des elTets séculaires, nous ne conserverons aux seconds membres que les termes constants indépendants du temps /. Nous avons d'après la formule (ig)

(20'""') • 'l~ =. — V A A' ros i cos (0 — s) (y' -h 'p') sin 0' / / XX' (/t.

jrzm) = "^^ A A' cos £ cos (0 — i) a' sin 0' M XX' ch.

TiiicouiE DE sut i;, ii. rmiwiN

Dans ces cxpicssloiis, le temps ne (lyuie que clans le produit

cos (0 — h) si 11 0', produit qui, dével(j[)|)é, rournil des termes en

et des termes en

cos sin

Nous aurons donc, aux seconds membres des expressions ("io), un terme indépendant de / chaque (bis que 5 — d/' ou 5 H- ^' se réduira à une constante. Comme \J + ■;' n'est jamais une constante, les termes séculaires correspondent à

0 — '/ := const., c'est-à-dire à

dl dt

Si l'astre troublant et l'astre troublé sont différents, celte condition n'est jamais remplie ('), car le rapport des moyens mou\ements de ces deux astres n'est pas commensurable. Nous [)ouvons donc dire que la marée solaire ne produit pas d'etTet séculaire sur Torbite lunaire.

Mais si l'astre troublant et l'astre troublé sont identiques, la condition (2 1) est remplie chaque lois que 6 = 0' et n'est remplie que dans ce cas : on a alors

cos (0 — s) sin 0' = ' sin (0' — 0 + s) + ' sin fe' + 0 — t),

qui donne le terme constant

^ sin (0' — 0 + ç) =. ^ sin t.

(') Excepté pour les termes sidéraux. Ces termes sidéraux n'ont d'ailleurs d'influence que sur l'inclinaison, et cette influence est faible.

l58 HÏPOTIlîvSES COSMOGOMQUES

Les seconds membres des formules (20'"'), dans lesquels on ne conserve que les termes constants indépendants de /, deviennent donc

V AA' ^ «' j j^XX'rf,.

Nous pouvons maintenant elTacer les accents « prime » devenus inutiles, puisque tout se rapporte au même astre, la Lune. Nous remarquons que le facteur

est /(' même pour tous les termes, puisque nous avons eu soin de choisir les fonctions spliériques X de façon que cette intégrale ait toujours la même valeur constante K (note de la p. i5i). Nous n'écrivons donc pas ce facteur, qui est le même partout (quitte à le rétablir plus tard), et les formules (20'"') prennent la forme

Rappelons-nous que l'angle z est très petit et que par suite sin 2 2

, , . - 1- •. I • 11 ' do ^

est proportionnel a tang s, c cst-a-du-c a la vitesse de la marec ■ . Ur,

(/O dy dl dm

dl^'^tl^^ dl "^ "^ (// '

et i'oii a

dl = "

dm , , ,

r=: O a très peu pros.

dl

vitesse angulaire de rotation de la Terre, vitesse angulaire de révolution de la Lune.

Tiii:oniE DE sin n. ii. D.vnwiN lOf)

Par suite, dans les formules (20'-'), nous pouvons remplacer sin 2 c par

(jui lui est pioporlionnel.

Finalement les formules (20), dans lesquelles on ne conserve que ce qui est relatif aux ternies séculaires, sont devenues

Ces dernières formules, par un calcul imincdial, nous fournissent les suivantes :

[ I ^T = ^ A-(a + ^ — !^?)(3"t + ,3i>) -h termes en r,.

Ces trois formules vont nous permettre de calculer les variations séculaires du grand axe, de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite lunaire, provoquées par le bourrelet liquide de la marée lunaire ellemême. Dans la troisième de ces fornmies (22), qui nous servira à calculer la variation de l'inclinaison (a =1 — cos /), nous négligerons les termes en r^ , car

s'annuleavec l'excentricité, et, dans le calcul relatif à l'inclinaison, nous pouvons, en première approximation, supposer l'excentricité nulle.

113. Les seconds membres de (22) sont des sommes de termes^ dont chacun provient d'un des termes

(i5) AX cos (a/ ~h '^l ^ Y^ -+■ /') = AX cos 6

en lesquels on a pu décomposer le potentiel U^ producteur de la marée lunaire. Parmi ces termes, nous ne conserverons ici que ceux qui

l6o lIYrOTIltsES COSMOGOMI^UES

sont du premier ordre au plus par rapport à rexcentricilé e et à l'inclinaisou . La théorie des marées (') nous enseigne que ces termes sont les suivants :

Termes semi-diurnes :

ÇSl^) = cos (2/ -+- 2/0 — il) (principal senii-diurnc),

(N) =: ^ cos (2/ + 2/0 — 31 -\- w) (elliptique majeur),

/T - e sin- 0 . , , / 11- ,• • N

(L) = — cos (2/ + 2/n — / — ra) (cilq)tique mmcur) ;

Termes diurnes :

(0) = siu sin 20 cos (/. + /o — 2 / -h - j (principal diurne), (Kj) ^= siu siu 20 cos f / H- /u — " ) (sidéral);

Terme à longue période :

[M,„) ^. ~ (i — a cos^ 0) cos (/ — TTî) (elliptique mensuel).

Ces six termes sont ceux que nous conserverons dans U^ (seul le premier (AI^) est indépendant de e et de /).

114. Tels qu'ils sont, ces six ternies ne sont pas tout à fait de la forme (1 5) (puisque Zq figure dans l'argumenl) ; or, il convient de les rendre de cette forme.

1° Les trois termes semi-diurnes sont de la forme

{sd) B^^cos(2/o + 0),

qui peut s'écrire

, siu- 0 nu ^i"" "■' • fa

\i cos 2/„ cos 0 — 13 SIU 2/0 cos G —

(') Voir Maurice Lévy : Leçons sur la Ihcorie des Marées t. I, Cli. III, et H. PoiNCAnÉ : Leçons de Mécanique Céleste t III, Théorie des Marées, Ch. II. Nous faisons ici abstraction d'un facteur constant, le mente pour tous les termes. Et nous laissons de côté les termes éveclionnels et variationnels, bien qu'ils ne contiennent e qu'à la puissance i ou o, [)arce qu'ils se trou\cnt alTectés de coefficients numéricpies très petits.

THÉORIE DE sni G. 11. D\RWi:« l6l

or,

sin'^ 0 X- — y^

et

COS 37n

sin- 0 .

— ^ sin 2/„ =r o-j

sont justement des fonctions spliérkjiies \ qui donnent à l'intégrale

la valeur K (note de la p. i5i). Donc chaque terme semi-diurne (sd) fournit deux termes de la forme (i5) ayant respectivement pour

coefficient B et — l>, et pour argument 0 et S — -. Par suite,

chaque terme semi diurne fournit aux seconds membres des formules (22) deux termes égaux, pour lesquels on a

2° Les deux termes diurnes sont de la forme

(t/j B sin -2 0 COS (Xo + 6),

ce qui peut s'écrire

r, sin 20 „ sin 20 . / -\ 2 B COS •/(, COS 6 — 2 B sm /q cos ( 6 1 ;

or,

et

sm 2 0

— -- COS Xo = xz

sin 2 0 .

— r— sin Xo = )'.

sont justement des fonctions sphériques X qui donnent à l'intégrale

la valeur K. Donc chaque terme diurne {d} fournit deux termes de la forme (i5) ayant respectivement pour coefficient 2B et — 2 B, et

PoiNCARK.

HYPOTHÈSES COSMO<;OSIQfES

pour argument 0 et S — -' . Par suite, chaque terme diurne fournit aux seconds membres des formules (>'i; deux termes égaux, pour lesquels on a

3» Le terme à longue période est de la forme

„ I — 3 cos- 0

B cos 0 ;

et, comme

3 co%- 0 a-2 + y

est une fonction sphérique X donnant à l'intégrale

X^da

la \aleur K, ce terme est de la forme i5), ayant pour coefilcient Bv/3- Il donnera donc aux seconds membres des formules (22) un seul terme pour lequel on aura

Comme cliacjue terme diurne ou semi-diurne en fournit deux éo-aux dans les seconds membres des formules (22), tandis que le terme à longue période n'en fournit (\\\un seul, il v a lieu de multiplier par 2 la quantité A" relative à chaque terme diurne ou semidiurne. Au lieu de cela, nous diviserons par 2 la quantité A- relative au terme à longue période ('), pour lequel on devra prendre, par conséquent,