CM,), (X), (L), (O), (K,) ,M

■') Cela revient à faire abstraction, ainsi que nous l'avons déjà fait plusieurs fois d'un mcine facteur constant aux seconds membres des équations (22 .

TiiEOuiE Di; «m i;. ii. dauwin

nous pouvons former le tableau suivant à tlouhle entrée

a/i -(- 'it>

Terme (M^)

■1 n — - ii

Terme (N)

■i n — ;5 fJ

Terme (L)

'l'erme (Oj

u — an

Terme fKi)

Terme (M„.)

Pour le calcul des quantités A^ t'^ a été remplacé par 2/; et

sin- .^ par -. Dans les deux dernières colonnes on n'a conservé les

termes en r, et en a que pour le terme principal (M^). Enfin, dans l'avant dernière colonne, on ne s'est pas occupé des termes (0; et (K,)

(|ui contiennent sin ^ en facteur; dans la dernière colonne, on ne s'est pas occupé des termes (N), (L) et (M„,) qui contiennent e en facteur; car, pour le calcul des variations de l'excentricité, nous supposons l'inclinaison nulle et, pour le calcul des variations de l'inclinaison, nous supposons l'excentricité nulle.

116. Le Tableau précédent fournit tous les éléments nécessaires pour calculer

dr 'dJ' '^dT

au moyen des formules (22). Nous trouvons ainsi di

= ( — Z|/i H- 4ii) -f- termes en r, et en tji,

-^J = -ir.hn — 2l>) — ^jr,{2n — 3l2) + --rX-^n — o) -f- 3r.lJ,

idiJ. ^dt

-TT^= 5^(2/1 2 il) 2|Jl(/t

2 an.

lIYPOTIlliSES COSMOGOMIQUES

Ces trois formules s'écrivent (en négligeant an second membre de la première les termes en rj et u. a côté du premier terme qui est fini)

1 [x al

Rappelons-nous que nous avons lait abstraction, aux seconds membres des formules (20) ou (22), d'un même facteur constant. Ce

facteur, il est facile de le voir, est négatif. Désignons-le par — t , et rétablissons-lc maintenant dans les formules (23) qui deviennonli ainsi

dn ^ dt

= k{n — il),

V [J. dt

Au lieu de conserver les variables -^ et 11, introduisons l'excentricité e et l'inclinaison / : nous avons, à des termes près d'ordre supérieur,.

. , t ia = 2 sin- - = — , 2 2

et par suite

dr, dt -

1 de ^ ë dt'

dix dJ-

-j di ~ i dt '

Les équations (2/1) s'écrivent donc

. di Id

'dt = -2"-

TMLOIUE DE SIR C. M. DVUWIN

Ces dernières cqualions donneront les variations du grand axe, de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite lunaire par suite de l'effet des marées.

117. Nous voulons aussi calculer la variation de la vitesse angulaire n de rotation de la Terre. Nous nous servirons pour cela du théorème des aires. Dans la Section II de ce Chapitre, nous avons posé

et l'équation des aires nous a donné (n" 98)

(;i) X -h Y = II.

En vertu de la Iroisièmo loi de Képleu, x est proportionnel à la racine carrée du grand axe, c'est-à-dire à ce que nous appelons ici £. Donc, en adoptant des unités convenables, cette équation (3) peut s'écrire

Mais cette équation n'a élé établie qu'en supposant nulle l'inclinaison de l'orbile lunaire sur l'équateur, hypothèse que nous abandonnons ici. Représentons {/}(/. .Sa) par 0 le plan de l'orbite lunaire,

fifj. 32.

par E celui de l'équateur terrestre, et par Yl le plan invariable (plan du maximum des aires).

-Modifiant im peu les notations précédentes, nous appellerons i l'inclinaison de lorbile sur le plan invariable et j linclinaison de celuici sur l'équateur.

Le théorème des aires donne alors les deux équations suivantes :

E co.si H- n cosj = h, : sin i — n sin j = o.

l66 IIYPOTIIKSES COSMOGOMQLES

Les angles / et j étant supposés petits, ces équations s'écrivent approximativement

( jn = ic.

Ces équations nous serviront à calculer les variations des éléments terrestres n et j, puisque les variations des éléments lunaires | et / sont données par les équations (25). Nous aurons d'abord

Ensuite, puisque nous appelons maintenant / -+- i, ce qui. dans les équations (25), est désigné simplement par /, nous devons, dans la troisième équation (25), rem[)lacer / par j + / (di n'étant pas changé) ; cette équation devient

Alors la seconde équation (2 G) donne

. dn dj . (/: ^ di

^ dt '^' " dl^'Jt'^'^ Il '

d'où nous tirons

118. Hennissons dans un tableau les deux [)rcmières équations (25) et les équations (27), (28) et (2<)) :

' dt=^'^"-'^'

du ,

(30) { ^^^ =^^ (lI»-I.So).

C'est de ces écpialions que nous allons tirer les varialions des éléments.

THtOIUE DP Pin n.

119. Kemarquons d'abord que les deux premières ne contiennent ni r, ni /. l-]llcs donnent les variations de la rotation terrestre et de la distance niovennc de la Lune. Ce sont ces variations que nous avons discutées en détail dans la Section II. Rappelons les résultats de cette

Jig. Où.

discussion. Prenant pour abscisse | et pour ordonnée n {Ji'J- 33), nous traçons la droite

et la courbe de rigidité

qui coupe la droite en deux points G et D. Le point représentatif (|, n) du système Ïerre-Lune est parti de G, état dans lequel le jour et le mois étaient tous deux égaux à 5''36"' ; actuellement, ce point représentatif est en P (c. = 0,2, n = o,(S) ; et l'état final sera représenté par D, où le jour redeviendra égal au mois, leur durée commune étant de 55 jours actuels.

120. Passons maintenant à la variation de l'excentricité c donnée

par la troisième équation (3o). Il s'agit de savoir si j^ est positif ou

négatif, pour reconnaître si l'excentricité e croît ou décroit. Or, le

de signe de -n dépend du signe de l'expression

l()8 HYPOTHÈSES COSMOGO>inLES

lin — i8i> >■ o,

l'excentricilé croît. Si, au contraire,

lin — 1 8 <> <; o,

l'excentricité décroît. Traçons sur la figure 33 la courbe

un — i8 ti ^ o, c'est-à-dire la courbe

Cette courbe (représentée en trait ponctué) coupe la droite AP] en deux points C et D'.

Lorsque le point représentatif (H, n) parcourait le segment de droite ce, on avait

c'est-à-dire

lin — 1 8 n < o ;

l'excentricité a donc commencé par décroître. En P état actuel), on est entre C et D', par suite

un — 1 8 1> >• o ,

et l'excentricité est en train de croître.

Enfin, lorsque le point représentatif parcourra D'D, l'excentricité recommencera à décroître.

Si l'on trace la courbe (fty. ofi) qui représente les variations de l'excentricité e en Ibnction de ç (ce qui est possible puisqu'on connaît l'état actuel P), on constate que cette courbe présente une asymptote verticale correspondant à l'abscisse du point C et que l'excentricité c passe par un minimum en C, par un maximum en D', ])uis décroît ensuite jusqu'au point final D où elle s'annule.

Il ne faudrait pas croire que l'asymptote verticale signifie que l'excentricité a été initialement très grande. Les équations (3o), en eiTct, supposent essentiellement e très petit et cessent d'être applicables dès que e devient grand.

TlIKOniE ME 5in <;. II. DAinvIN MlÇ)

D'ailleurs, ce n'est pas ainsi cpie le problème se pose. Supposons que l'excentricilé e ail été initialement nulle, la Iroisirme équation (3o) donnerait

donc

est une solution : elle correspond à une orbite circulaire restant indéiiniment circulaire ('). L'important est de savoir si celte solution est

stable ou inxlahlc. Supposons que e ail subi une petite variation : la troisième équation 3o étant de la forme

de y.

la solution

sera stable ou instable, suivant que ■NI, c'est-à-dire

sera négatif ou positif.

Donc, tant que le point représentatif [J"J- 33 est situé entre G et

C, la solution

est stable : l'orbite reste circulaire. ^lais à partir du point C celte solution devient instable, et l'excentricité, avant cessé d'être nulle

M, Cf., n" 97.

lyO HYPOTIIliSES COSMOGONIQLES

par suite d'une pelite perturbation quelconque, croît jusqu'en D' ;

de puis, à partir de là, ,. devenant négatif, elle décroît jusqu'en D où

elle s'annule.

La courbe représentative de l'excentricité (y/7. 34) se composerait ainsi de la portion de droite cC et du morceau de courbe CDD.

Par suite, le Jait qu'actuellement l'orbite lunaire est excentrique n'implique pas Ibrcément qu'à l'origine l'excentricité était difTérente de zéro : le frolLcment des marées a pu, d'après Sir G. H. Darwin, faire naître une excentricilé qui n'exislail pas inUialemeiit.

121. Etudions maintenant les variations des inclinaisons / et j, données par les deux dernières équations (00). Gomme ce qui nous intéresse c'est l'angle /+j que fait l'orbite avec l'équateur, nous ajoutons ces deux équations : il vient

Donc (/ 4- J) croîtra ou décroîtra suivant le signe de la quantité

Remplaçant n par 1i — ç, cette quantité s'écrit (au facteur positif n'z^ près)

— 2\' + 3/if — h'^ — 2;

ce polynôme en | présente deux variations de signe ; il a donc au plus deux racines positives. Dans le cas de la Lune, il a elfectivement deux racines positives qui correspondent aux abscisses de deux certains points G" et D' situés entre G et D {/kj. 33).

jNous pouvons donc faire pour l'inclinaison la même discussion que pour l'excentricité. Nous avons pour l'équation (3i) la solution

Gctte solution est stable lorsque le point représentatif est entre G et G" ; elle devient instable entre G" et D". Si donc nous partons d'un état initial où l'inclinaison / -+- / est nulle, l'inclinaison restera nulle au début; puis, lorsque le point représentatif sera arrivé en G', si elle cesse d'être nulle par suite d'une petite perturbation quelconque, clic

TMiiouiE nr siii