TIIKORIE IT >TU <;. II. DARWIN
2' Des ellipsoïdes à trois nxes inégaux, dits ellipsoulos de JACom.
Reprenant les notations du n" 45, nous appelons a, h, c les trois
demi-axes de l'ellipsoïde qui est une liguic d'équilibre, et nous posons
Nous avons vu que .v et / sont com|)ris entre o et i, c'est-à-dire que l'axe de rotation est toujours le plus petit axe de l'ellipsoïde, et que dans le plan des s, I, la courbe lieu du point (.v, /) représentatif de l'ellipsoïde se compose, à l'intérieur du carre
de la droite OA, et d'une ligne DB (Ji;/. o6). La droite OA correspond
Jiç,. 30.
aux ellipsoïdes de Mac-L\i ui\, la courbe DB correspond aux ellipsoïdes de Jacdiu.
Si l'on examine comment varie la vitesse angulaire o) lorscpi'on chemine sur ces deux portions de courbe, on constate qu'au point A où l'ellipsoïde de Mac-Lauri> est une sphère, la vitesse u est nulle; lorsqu'on décrit la droite AO dans le sens AO, 03 croît jusqu'à un certain point E où il est maximum, puis décroît jusqu'en 0 oii il s'annule do nouveau. Si, maintenant, on décrit l'arc DB qui correspond aux ellipsoïdes à axes inégaux, o) [)art de zéro en D, croît jusqu'en Ci où il passe par un niaximimi, puis décroît jusqu'en B où il s'annule. Deux points tels que M et M', symétriquespar rapport à OA, représentent- le même ellipsoïde de Jacohi, ayant simplement tourné de 90".
l86 ini'iiTIlÈSF.S COSMOr.OMQlF.S
Mais ces figures ellipsoïdales d'éf|iiilibic, de Mac-Lauiun ou de Jacoiîi, ne sont pas les seules possibles [)our noire masse fluide homogène animée d'un mouvement de rotation : il en existe une infinité d'autres (') dont nous allons maintenant parler.
134. Rappelons la définition des foo7'(/o/î/uV.<« cllipli(jiics de l'espace. Considérons la famille de quadriques lionioCocales
Par chaque point de l'espace passent trois de ces surfaces : en elTet, X, y, z étant donnés, on a pour déterminer /- une équation du troisième degré, dont les racines sont séparées par les nombres rr, b-, c-. Appelant o-, 'X', V" ces trois racines, nous aurons
?"- > a- > IX- > Ifi > v2 > c\
La plus grande racine o- corres|)ond à un ellipsoïde, la racine moyenne ir à un hyperboloïde à une nappe, la plus petite v^ à un hyperboloidc à deux nappes.
Réciproquement, si o, 'J., v sont donnés, on a trois surfaces se coupant en huit points placés symétriquement, par rapport aux divers plans de coordonnées. Si on ne considère que les points situés dans le Irièdre positif des axes de coordonnées, les trois nombres o, [X, v définissent un point et un seul : ce sont les coordonnées elliptiques de l'espace.
Soit R une fonction de o qui sera, soit un polynôme en o-, soit un tel polynôme multiplié par un, deux ou trois des radicaux
V'p- — et- . \ z- — Ir , \' f — C- .
Soient M la même fonction de y, et N la mcine fonction de v. M et N ne dilTèrent de R que par le changement de ^- en v.- et en v- respectivement.
Le produit RMN est une fonclion de .r. y, r. Si cette fonction est iiarmonique, c'est-à-dire si l'on a
dx- dy- «--
(i) II. I*oi>f:AitÉ : Sur réipiUlbrc d'une mai^sc fluide animée d'un mouvement de rotalion {Acla Malhemaliai, t. Vif, i8S5, [). 'iSo-GSo). Voir aussi H. l^oi\c.\uii : Figures d'équilibre d^une masse fluide (Ln.ons professées à la Sorbonnc en 1900).
THLORIE DE ïlll <i. H. DARWI!»
les fonctions l\. M, N sont dites foncLions de Lamk. On démonlro qu'il existe elTectivement une infinité Je fonctions de Lamé.
Considérons un ellipsoïde E correspondant à une valeur donnée 0 du paramètre, et définissons une surface 2i l'oisine de l'ellipsoïde E
[fit/. 07) : en chaque point de E nous menons une petite normale PP'
: = £ /MX,
de longueur
en posant
l est une fonction bien déterminée du point quelconque P de l'ellipsoïde E ; M et N sont deux fonctions de Lamé conjuguées ; i est une constante très petite.
Le lieu du point P' est une surface -qui coupe l'ellipsoïde E suivant des lignes de courbure : en effet, le long de l'intersection de ces deux surfaces, on a
c'est-à-dire
M = o ou N =r o ;
c'est dire que cette intersection est située sur un hypeiboloïde
u ^ const. ou v^const.,
hyperboloïde qui, on le sait, coupe E suivant une ligne de courbure.
IIYI'OTHIiSES COSMOGOMOUES
135. Revenons maintenant à nos ellipsoïdes de Mac-Lai ri\ et de Jacohi, figures d'équilibre d'une masse fluide homogène en rotation. On peut démontrer qu'il existe une infinité d'ellipsoïdes de Mvc- Lauhin, correspondant à des points N, Ni, N2, ..., (') de la droite AO [ficj. 36y, tels qu'une surface voisine 2 définie comme nous venons de le Caire soit aussi une figure d'équilibre. De même, il existe une infinité d'ellipsoïdes de Jacori, correspondant à des points M, M,, U„ ..., M', M',, M',, ..., de la courbe DB, tels qu'une surface voisine 2l soit aussi une figure d'équilibre.
136. Parlons maintenant de la stabililc de nos figures d'équilibre. On démontre que les ellipsoïdes de Mac-Lauiun sont stables de A en G et instables de C en 0 {fig. 36). Pour les ellipsoïdes de Jacobi, il suffit d'examiner la demi-courbe GB : ils sont stables depuis G jusqu'au point M où l'on rencontre pour la première fois une figure 1, ils sont instables de M en B.
Quant aux figures d'équilibre .i voisines des ellipsoïdes, on démontre qu'elles sont toutes instables, sauf peut-être une seule, celle qui correspond justement au point M où l'ellipsoïde de Jacoiu cesse d'être stable.
137. Gonsidérons alors une masse fluide homogène animée originairement d'un mouvement de rotation et se refroidissant lentement. Si le refroidissement est assez lent, le frottement interne détermine la révolution de l'ensemble dans toutes ses parties avec la même vitesse angulaire. Le moment de rotation demeurera d'ailleurs constant.
Au début, la densité étant très faible, la ligiue de la masse est un ellipsoïde de révolution peu diiïérent d'une sphère. Le refroidissement aura d'abord pour effet d'augmenter l'aplatissement de l'ellipsoïde qui restera cependant de révolution. Le point représentatif (/Z^. 36) décrira la portion d^ droite AC qui correspond aux ellipsoïdes de Mac- Laurin, et cela jusqu'en G où les ellipsoïdes de Mac-Laurin cessent d'être stables. Le point représentatif ne pouvant pas prendre le chemin GO prendra alors, par exemple, la direction GM ; l'ellipsoïde deviendra à trois axe inégaux, et cela jusqu'en M où les ellipsoïdes de Jacobi cessent d'être stables. A partir de là, la masse ne peut plus conserver la forme ellipsoïdale puisque celle-ci est devenue instable :
[') Les poinls N, >,, No, ..., sont tous situés entre C et O.
miiOUIE DE SIK U. 11. DAKWl.X
elle [)reiidia alors la seule l'oniie possible, celle de la siu lace ^ voisine <le l'ellipsoïde. Celte surface ^ ( //y. A-) présente une ligure piriforme, ollranl comme un étranglement dans la région marquée 3, tandis que les régions 2 et 1 tendent à se renller aux dé^)ens des régions i et 3, comme si la masse cherchait ;\ se diviser en deux masses inégales.
Il est dillicile d'annoncer ce qui arrivera ensuite. On peut penser que la masse ira en se creusant de plus en plus dans la région 3 et finira par se partager en deux corps isolés.
La figure piriforme 2i, avons-nous dit, csl peul-clrc stable; mais il n'est pas certain qu'elle le soit réellement. Sir G. 11. D.vkuin a trouvé que cette figure est stable, mais, d'après M. Liaimh Nofi-, elle serait instable. Pour trancher la question il faudrait recoiunumcer le calcul : or, ce calcul est extrêmement pénible.
Si cette figure 2^1 est instable, la rupture, la séparation de la masse fluide en deux masses inégales, au lieu d'être progressive, se produirait d'un seul coup et biusquemenl.
138. Quelles conclusions pouvons-nous tirer, au point de vue cosmogonique, de la discussion [)récédente ."^ Il est impossible de voir là une origine, même approchée, des planètes : car les planètes n'ont qu'une masse insignifiante relativement à celle du Soleil. Mais Sir G. H. Darwin estimef'; que certains satellites ont [)u se former de cette façon aux dépens de leur planète. Cela aurait pu arriver notamment pour le système Ïerre-Lune dans lequel les deux masses sont comparables, l'une n'étant pas une fraction extrêmement petite de l'autre. La Lune, s'étant ainsi détachée de la Terre, aurait décrit autour d'elle une orbite de très petit rayon; mais, par suite du irottement des marées, ce rayon aurait été en augmentant, ainsi qu'il a été expliqué.
On pourrait concevoir de la même façon la formation de certaines étoiles doubles, dont les composantes ont des masses du même ordre de grandeur.
'j Voir r.lc//es5e de Sir G. H. D.iuwiN à M. II. Poincaké ^Séance de la Société royale astronomique de Londres du 9 février I900), traduite dans E. Lebox : Savants du jour : Hesri Poinc.vué l^aris, Gaulhicr-Villars, 1909 , p. 38-4o.
CHAlMTKi: YlII.
