SLR L ORIGINE DE LA CHALEUR SOLAIRE ET DE LA CUALELR TERRESTRE
147. Mais nous avons, dans le calcul, supposé constante la densité p. Cette simplification n'est pas légitime, car il est bien certain que dans le Soleil la densité croît à mesure qu'on se rapproche du centre. Admettons donc que la densité o soit représentée, en fonction de la distance r au centre, par la loi suivante :
a et a étant deux constantes positives {^). Les formules trouvées précédemment [n" 146) nous donnent alors
d'où
dM ^ [\~ar- ^dr
3 — a M = IxT.n l
d\\' = - dM
par suite
{h^ay r'-'-'''
celte dernière égalité peut s'écrire
Dans cette hypothèse, l'énergie emmagasinée par le Soleil lors de sa formation est donc
M^ 3 — oc
par suite le Soleil ne peut pas rayonner depuis plus de
(i) - — . 32. lO*^
années.
(') Celte loi donnerait c = 3C au centre du Soleil; elle n'est donc qu'une approximation, de laquelle la réalité peut se rapprocher plus ou moins.
HYPOTHESES COSMOGOMQUES
Si nous supposons, à titre d'approximation, que la matière solaire est un gaz qui suit la loi de Mariotte, la pression p devra être proportionnelle à p. L'équation de l'Hydrostatique (équation d'EuLER) donne
Or,
donc
dp M
dr ~ ^ r'-
p est proportionnel à r" j\I est proportionnel à r^
-J est proportionnel à r' ^*,
p est proportionnel à r^~"^.
Nous voulons que p soit proportionnel ii p, c'est-à-dire à ; — '". jNous devons donc poser
c'est-à-dire
Alors l'expression (i) donne, pour l'Age du rayonnement solaire, 32 millions d'années.
Cette durée calculée du rayonnement serait un maximum. Elle est d'autant plus longue que l'on suppose plus grande la condensation centrale du Soleil, mais, quoi qu'on fasse, elle est toujours du même ordre de grandeur. En mettant les choses au mieux, le Soleil n'aurait donc pas, d'après la théorie de Helmhgltz, illuminé la Terre pendant 5o millions d'années.
148. Elude de la chaleur spécifique. — Nous avons dit (n" 139) qu'en supposant au Soleil une chaleur spécifique égale à celle de l'eau, son rayonnement abaisserait (si la chaleur ne se renouvelait pas) sa température à i^/j par an. Ce chiffre est évidemment beaucoup trop fort, et tout fait penser, au contraire, que la température du Soleil n'a que bien peu varié depuis des temps très reculés. Tout se passe donc comme si le Soleil possédait une chaleur spécifique très considérable, celle-ci pouvant être due à l'énormité des pressions qui existent à l'intérieur.
SLU L OIUGINE DE LA CHALEUR SOLAIHE ET DE LA ClIALELU TERnESTRE 20.)
Eludions la question au point de vue de la Thermodynamique.
Nous assimilerons tout d'abord le Soleil à un fluide parlait, c'est-àdire que nous supposerons en tout point la pression p uniforme et normale à l'élément plan qu'elle sollicite. Considérons un élément de volume
dz = dx dy dz ;
appelons o sa densité, X, Y, Z les composantes de la force (rapportée à l'unité de masse) qui lui est appliquée. Dans un déplacement virtuel (j^x, ây, âz) subi par cet élément, les forces accomplissent un travail
(X ox -+- Y oy -f- Z o;) p d- ;
et, pour tout l'ensemble de la masse iluidc, le travail accompli dans un déplacement virtuel a pour valeur
S W = jjj (X 0.T + Y 5j + Z or) p dz.
Les équations de l'Hydrostatique donnent
dx
px.
dp
dy-
pY,
dp
dz ~~
pZ:
nous pouvons transformer c?W par des intégrations par parties : nous avons par exemple
' If ''"'''' -fff"
or, l'intégrale double est nulle parce que la pression p est nulle à la surface libre du fluide. Il reste donc
.-i-i,- I I I (d.ox d.cY d . oz\ ,
2o4 HYPOTHÈSES COSMOGOMQUES
d'ailleurs, comme l'équation de continuité donne
d . Sa? d .cy d.CfZ
dx dy dz p '
nous pouvons écrire
ou, en remplaçant dans cette dernière égalité dr par — , dm étant un élément de masse,
Appelant v
le volume
spécifique, nous avons
d'oii
par suite
8W = — M i pZvdm.
Chaque élément de masse dm figure donc, dans la sommation, pour la quantité de travail
pc,v dm, soit
par unité de masse.
Appelons U l'énergie interne par unité de masse et âQ la quantité de chaleur fournie, également par unité de masse, dans la modification virtuelle envisagée. L'équation fondamentale de la Thermodynamique (') donne
oQ = oU +poi;.
(') Cette équation traduit le principe cr équivalence : la chaleur reçue par un corps (ou un système de corps) équivaut à l'accroissement de son énergie interne, augmenté du travail e«terne qu'il a fourni. Dans cette équation nous ne faisons pas figurer l'équivalent mécanique de la clialeur, parce que nous sup[)Osons oQ évalué en unités de travail, comme les quantités du second membre.
SUR l'origine de la chaleur solaire et de la chaleur terrestre 2o5
La chaleur spécifique, dans une modification quelconque, est représentée par le quotient
de la chaleur fournie par l'accroissement de la température absolue T :
oQ oU OV
Supposons la pression p très grande. Si la modification a lieu à volume constant, âv est nul, et la chaleur spécifique se réduit alors à
SU oT
qui généralement est une quantité finie. Mais à pression constante (ou plus généralement à volume non constant), le terme
i' oT peut-être très grand, si kj n'est pas très petit : il est possible en effet
que pour un solide, ou pour un liquide peu compressible, ^r.-, ne
soit pas très petit, même sous pression élevée ; toutefois ce n'est pas ce qui arrive dans le cas d'un gaz parfait ('). Nous comprenons ainsi comment, sous de fortes pressions, la chaleur spécifique peut atteindre une valeur considérable.
149. Considérons un globe chaud qui rayonnerait, comme le Soleil. Perdant de la chaleur ce globe se contracte et cette contraction tend à le réchauffer . L'ensemble du globe va-t-il s'échauffer, va-t-il se refroidir ; sa température va-t-elle croître ou décroître ? C'est une question qui sera discutée plus loin (Section III). Faisons cependant la remarque suivante : pour que le globe s'échauffe en
oQ .
perdant de la chaleur, il faut que la chaleur spécifique w soit né-
(') Pour les gaz parfaits, lo coefficient de dilatation à pression constante - ™ est constant ( et égal à — ^ 1 : quand la pression devient très grande, le volume spécifique v devient très petit, par suite -j. le devient aussi. Pour un gaz
parfait, la chaleur spécifique resterait donc finie sous les fortes pressions. Mais il n'en c«t pas ainsi pour les solides ou les liquides, ni même pour les gaz naturels.
206 intPOTHÙSES COSMOGOMQUES
qative ; nous verrons plus loin que cela n'a rien d'impossible. Il peut donc arriver ou que le globe s'écliaulïe, ou qu'il ne se refroidisse que très lentement si l'efTet de la contraction, en accroissant la pression, est d'augmenter la chaleur spécifique.
150. Précédemment (n" 148), nous avons assimilé le Soleil à un fluide parfait. Si nous l'assimilions maintenant à un solide élastique parfait, la même analyse et les mêmes résultats subsisteraient à peu de modifications près. ^Jous aurions, au lieu d'une seule pression p en chaque point, à considérer les composantes de la pression, bien connues dans la théorie de l'Elasticité,
Pyr, Pl/iJ, P;iz,
/^-. P-^u. P^^ ; ces composantes se réduisent à six puisqu'on a
Ps!j = P,j,, P,jz = Pz„, P.x = Pxz.
Les équations de l'Elasticité s'écriraient
dpx.v ^ dp:ru ^ dp,.
dx dy dz
-pX,
dpyr , dp,j,, dp„, dx ~^ dy "^ dz ~
