II. — Chaleur terrestre
155. Exposons les calculs de Lord Kelvin sur le refroidissement de la Terre. Reprenant une hypothèse faite antérieurement par
(») Nous verrons un peu plus loin (n° 163) que la découverte des phénomènes radioactifs fait entrevoir la possibilité d'augmenter de beaucoup cette durée.
PoKCAnÉ i4
3IO HYPOTHKSES COSMOGOMQLES
Poisson, Lord Kelvin suppose que la Teiie aurait autiefuis parcouru des espaces chauds où elle aurait pris, dans toute sa niasse, une certaine température uniforme, et que, étant arrivée ensuite dans des espaces plus froids, elle aurait commencé à se refroidir. C'est ce refroidissement que nous voulons étudier.
Prenons donc une sphère homogène dont la température initiale, à l'époque / = o, est uniforme et partout égale à V, et plaçons-la dans un milieu indéfini à température zéro ('). La sphère va se refroidir par sa surface, celle-ci prenant par hypothèse la même température zéro que le milieu avec lequel elle est en contact.
Comme le rayon de la sphère terrestre est très grand, nous le supposerons infini. Le problème se ramènera ainsi à celui qu'on désigne souvent, d'après Fourier, sous le nom de problème du mur indéfini se refroidissant par contact : deux milieux I et II sont séparés par un plan ; le milieu I sera la Terre, le milieu II l'espace céleste et le plan sera le plan du sol. Prenons pour axe des x une perpendiculaire à ce plan séparateur, dirigée vers l'intérieur du milieu I, ce plan séparateur ayant alors lui-même pour équation
Il s'agit de déterminer la température i' du milieu I (fonction de x et de / définie pour a; > o et / > o), sachant que pour / = o cette température est uniforme et égale à Y, et que pour / > o la température superficielle (pour x = o) est v = o.
La fonction v n'est définie que pour £C >■ o, mais nous pourrons compléter sa définition pour x <C o, en convenant de prendre pour v une fonction impaire de x
alors la fonction v (si elle est continue) s'annulera bien pour x ^ o, comme nous le voulons.
L'équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait v est celle de
FOURIEK
dv , d^v
dt dx^
(') C'est-à-dire que nous prenons pour zéro des tempcralurcs la tempcialure du milieii supposée uniforme et constante.
SLR L 01U(;i>E DE I. V CHALEUR SOLAIRE ET UE LA CMALELU TERRESTUi; 311
OÙ k est une constante positive (dépendant de la conductibilité du mur et de sa chaleur spécifique).
Considérons la fonction
dv
Cette fonction satisfera évidemment à la même équation aux dérivées partielles
. . du , d'U
^'^ 'dt=^',Lc^-
Comme, pour / = o, on a
t* = V pour a; >> o, u = — \ pour X <Ci o;
la fonction u satisfera, pour / =o, aux conditions initiales suivantes :
« = o pour X >• o,
u = o pour a; <<; o,
u ^ ce pour a- = o.
Il faut donc trouver une fonction u, de x et de /, qui satisfasse à l'équation (2) et qui, pour l tendant vers o, tende elle-même vers o quel que soit x, sauf pour a; = o, valeur pour laquelle elle tend vers l'infini. Il est facile de voir que la fonction
satisfait à toutes ces conditions, A étant une constante. On aura alors
ndx = A - e ''^\\x
Pour déterminer la constante A, nous écrivons que, pour x = -\- '-^ , le refroidissement ne s'est pas encore fait sentir et que la température est égale à V :
212 HYI'OTIIliSES COSMOGO:«IQL'ES
l'intégrale définie du second membre, qui est bien connue, a pour valeur
par conséquent la constante A a pour valeur
La température v a donc pour expression
e ''Ux.
