La quantité

représente l'inverse du degré fjéo thermique : le degré géothermique est la quantité dont il faut s'enlbncer à l'intérieur du sol pour voir croître la température de i°, La valeur de cette quantité pour x = o est

'dv\ A Jxl ^ /L V

Or, pour X = o, c'est-à-dire à la surface du sol, nous connaissons le degré géothermique : il est, en moyenne, égal à 35 mètres environ. Nous connaissons aussi la valeur de k, qui dépend de la chaleur spécifique et de la conductibilité thermique du sol. Mais nous ignorons la valeur de V et celle de /.

La valeur que Lord Kelvin adopte pour k correspond à

k = ko,

si l'on prend pour unité de temps l'année et pour unité de longueur le mètre. Il vient donc

'dv\ V y.dxl^ V/ZioTrf

SLH l'oHIOINE de LA CIIAI.ELII SOLAIRE ET DE LA CHALEUR TERRESTRE 21 S

Faisant

/,/,.\ I \dxL ~35

nous aurons

Y = ' ! s't soit -^ v'/.

00 ' lO *

La température uniforme A à laquelle on doit supposer que la Terre a été initialement chauHée, est donc [)rùporlionnellc à la racine carrée du temps / depuis lequel elle se relroidil. Si nous faisons

t =z loooo années, nous aurons

chiffre évidemment trop faible. Si nous faisons

l z= locoooooo d'années,

nous aurons

V = 3ooo",

température supérieure à la température de fusion de presque tous les corps. On peut penser que les parties profondes de la Terre n'ont pas une température supérieure à celle-là. Dans cette hypothèse, la Terre aurait donc commencé à se refroidir il y a cent millions d'années.

157. Examinons les objections qui pourraient être faites à la théorie précédente. \ous avons (n" 155) remplacé la sphère terrestre par le mur plan indéfini. Cette simplification est-elle légitime? La formule

(3) montre qu'à chaque époque l, le gradient ,- de la température est

proportionnel au facteur

(en adoptant pour /» la valeur correspondant à celle que lui attribue Lord Kelvin). Faisons

t= lO»

soit I milliard d'années; à quelle profondeur x faudra-t-il s'enfoncer pour que ce facteur devienne égal à e~" (c'est-à-dire pour que le gra-

2l4 HYPOTHÈSES COSMOGONIQI ES

dienl devienne pratiquement nul) ? Pour calculer cette profondeur il faudra écrire

ce qui donne x- de l'ordre de lo'^ et a; de l'ordre de lo". Il faudra donc descendre à i million de mètres, soit à looo kilomètres

ou à |T à peine du rayon terrestre. L'influence de la courbure n'est

donc pas très grande et l'assimilation de la sphère au mur plan est assez légitime.

158. Mais d'autres objections auraient plus de portée. iNous avons supposé que la sphère terrestre est partie d'une température uniforme et que le refroidissement a commencé brusquement, la superficie prenant immédiatement et conservant la température zéro du milieu froid dans lequel la sphère arrivait. Actuellement, le refroidissement n'aurait pas encore gagné les parties centrales de la Terre, qui auraient conservé leur température initiale.

On pourrait, au contraire, pour se rapprocher d'un autre problème classique de la théorie analytique de la chaleur, supposer que la sphère est partie d'une distribution initiale quelconque des températures, et qu'elle s'est trouvée plongée dans un milieu à température zéro. On sait qu'alors la température v, à une époque quelconque /, peut se représenter par une série de la forme

les a étant des constantes positives de plus en plus grandes; les U étant des fonctions dépendant des coordonnées x, y, z du point envisagé, mais ne dépendant pas du temps / ; les c étant des coellicients constants dépendant de l'état initial. Les e\ponentielles décroissent très rapidement quand / augmente, et, au bout d'un certain temps, la seule exponentielle non tout à fait évanouie est la première, celle qui correspond au plus petit des nombres 7.. Le premier terme

représente donc l'étal pénnUième de la sphère, état auquel elle arrive assez vite et que nous pouvons par suite supposer atteint actuellement.

SUR l'0RIGI>E de la CUALEin SOLilWE ET DE LA CllALELU TERRESTRE 21

Dans le cas actuel, qui est celui de la sphère, ce i)remier terme

se calcule facilement : la lonction U, ne dépend que de la distance r au centre de la sphère. L'équation aux dérivées partielles de Foluier

s'écrit alors, u ne dépendant que de /•,

dv . l'd-v 2 dv\

dt ~~ \d?'~^rdr)'

.Nous avons, pour cette équation, la solution suivante

,,, ,- — 7.1 sin /r

les constantes a et À étant liées par la relation

Pour déterminer 1 nous écrirons, en admettant toujours que le refroidissement se fait par contact, que la superficie de la sphère est à la température zéro. Par suite, en appelant R le rayon de la sphère, on doit avoir

sin XR = o.

Prenant donc

ÀR = -

nous obtiendrons la plus petite valeur de a

L'état pénultième de la sphère est alors donné par la formule (4). Nous en déduisons, pour le gradient de la température à la surface (pour 7' = R),

■ /dv\ T- — a( X COS ),R T- — aM

-[dr). = -^' ^R— = ^^ R'

2l6 IlYPOTHÈSliS COSMOGOî<IQUES

d'où et

Remplaçant — (-.'^| par ^^^ (inverse du degré géothermique) et R

j^ar 6.10'' (rayon terrestre), il vient