I. — Surfaces de niveau

14. \ous allons maintenant entier dans le détail de riivpolhèsc de Lapi.ace, et, comme l'a fait Kocme ('). soumettre celle liypothèsc au calcul.

Considérons la nébuleuse de Laplace, constituée, nous l'avons dit, par un noyau central condensé, entouré d'une atmosphère très ténue, dont la masse est supposée très petite par rapport à celle de la condensation centrale. Les couches atmos[)héri(]nes sont supposées parti- ■ciper, en vertu des Irottements, à la rotation du noyau qu'elles recouvrent, de sorte que l'ensendjle est animé d'une vitesse angulaire uniforme oj. Désignons par M la masse du noyau que nous supposons sphérique, et négligeons lattiaclion mutuelle des molécules de l'atmosphère. Quelle sera, dans ces conditions, la forme des surfaces de niveau !*

Prenons pour axe des x l'axe de rotation de la nébuleuse, pour plan des vc le plan perpendiculaire à l'axe de rotation mené par le centre de gravité o ; et désignons par

la distance d'un point quelconque à l'origine.

Le potentiel dû à l'attraction du noyau central est

INI M

(', Les travaux de E. [iocuE sur ce sujet se Irouvcfit résumés dans son Essai sur la conslitution et Corijine du sysl'eine solaire, 1878 Acad. de Montpellier, Sec. ion des Sciences, t. VIII, p. aSoj.

le polcntlcl dû à la force centrifuge est

L'équation générale des surfaces de niveau (surfaces équipolentielles) s'écrira donc

C désignant une constante. Les surfaces de niveau sont donc, comme il était évident a priori, de révolution autour de ox et symétriques par rapport au plan yoz. Nous obtiendrons l'équation des méridiennes de ces surfaces en faisant ; = o dans l'équation précédente, ce qui donne

\Jx^ -t- y^ ■« Lorsque la constante C est très grande, chaque méridienne (y?^. 2)

se compose d'une petite courbe entourant l'origine et de deux branches infinies très éloignées, coupant l'axe des y ; l'ensemble de la méridienne est désigné par i dans la figure. Lorsque C diminue, la courbe entourant l'origine se dilate, les deux branches infinies se rapprochent, et donnent l'ensemble de courbes 2. Si la constante G diminue encore, on obtient la courbe .'> qui présente deux points doubles sur l'axe oy, puis enfin des courbes telles que f\ et 5 qui ne coupent plus l'axe des y.

AN.VLTSE DE L UïrOTIIL>E DE HPL.VCE I-T

15. Quels sciont les points de ces courbes où la tangente sera parallèle à oy '} On obtiendra ces points en dilîérentiant par rapport à y l'équation (i) de ces courbes, ce cpii donne

My

„- -f- lo-V = O .

Celle équation est satisfaite pour v = o. les points de l'axe des x sont, en cITel, des somniels pour nos couibes ; elle est satisfaile également pour

le lieu des points où la tangente sera parallèle à ovest donc (en dehors de l'axe des x) un cercle V de rayon

En chaque point de ce cercle, on a

Mv

>lv,

c'est-à-dire que la force centrifuge est égale et opposée à la composante de la gravité parallèle à oy. En particulier, aux deux points doubles A et A', la force centrifuge balance exactement la pesanteur,

16. Cela posé, reprenons noire nébuleuse qui tourne tout d'une pièce. Son atmosphère, qui est supposée s'étendre aussi loin que possible, se termine nécessairement à la plus grande des surfaces de niveau dont la méridienne ne dépasse pas le cercle Y , car, au delà de ce cercle la force centrifuge l'emporterait sur la pesanteur. La surface libre de l'atmosphère est donc engendrée par la révolution delà courbe à points doubles o autour de ox : celle surface présente une arête saillante tout le long de l'équaleur. La surface de niveau qui vient immédiatement après n'enveloppe pas complètement les précédentes : elle s'ouvre à l'équaleur, puis se développe en deux nappes infinies, comme le montre la figure 2.

Lorsque la nébuleuse se contractera par suite du refroidissement, la vitesse de rotation w augmentera, d'après la loi des aires ; le ravon 7' du cercle F, défini par

PoiSCi

HYPOTHESES COSMOGONIQLES

diminuera : la surface libre de l'atmosphère se conlractcra donc, pour ainsi dire, en restant semblable à elle-même. Par suite de celle contraction, la couche fluide qui se trouve en e\cès descend des pôles vers réquateur en coulant le long des surfaces de niveau, puis elle s'échappe, comme par une ouverture, par l'arête saillante que nous avons signalée. Elle cesse dès lors de faire partie de l'atmosphère de la nébuleuse : elle forme une zone équatoriale dont les particules continueront à décrire des cercles autour du centre, dans le plan de réquateur, puisqu'au moment de l'abandon la force centrifuge faisait équilibre à la pesanteur.

?sous comprenons donc maintenant la formation des anneaux de- Laplace : elle est due à la présence, sur la méridienne de la surface libre, des deux points doubles A et A', dont l'importance a élé mise en évidence par Roche (').