IV. — Discussion de l'hypothèse d'une rotation uniforme
25. La conception de L\pi.a(;e repose sur le fait que la nébuleuse est animée d'une rotation uniforme, due au frottement des coucbes atmospliériques les unes sur les autres. C'est aussi le frottement qui, d'après Laplvce, doit, dans les anneaux, augmenter la vitesse des molécules extérieures et diminuer celle des molécules intérieures, jusqu'à rendre uniforme la vitesse angulaire de l'anneau (fi(j. i, p. lo).
Le frottement est-il vraiment capable de produire ces elTets? L'observation nous enseigne que, malgré les frottements, l'atmospbère du Soleil et les atmosphères des planètes ne possèdent pas une rotation uniforme. D'ailleurs, Uelauiolt/. a montré combien, pour de grands volumes fluides, l'influence des frottements est longue à se faire sentir. Ecrivons, en effet, les équations de l'hydrodynamique :
do dx
dV I (//)\ du du
dx p d.r 1 dl dx
d\] I dp\ dv dy p dy) dl
(/P I dp\ f/((' dw
dz p d: I (// dx
dl -^ dx ^''"^ + dy
du du
dv
dii' " dv
d'.' dio
'" dz
[pwj =^ o ;
les trois premières sont les équations de Navieu, la dernière est l'équation de continuité.
Dans ces équations P désigne le potentiel des forces extérieures, p
ANALYSE DE L HYrOTIlKSE DE LAPLACE 29
la pression, o ]a densité, y le coefficient Je viscosité, u^ r, xd les composantes de la vitesse.
Si, dans les équations (o), nous niulliplions
par une même constante n, et que nous ne changions pas
ces équations ne chan^'ent pas.
Si donc nous considérons deux volumes fluides Yj et ^^ homolliétiques l'un de l'autre dans un rapport n, et qu'aux points homologues nous ayons les mêmes valeurs initiales de
si, en outre, le coefficient de viscosité y est n fois plus grand pour le second volume que pour le premier, les phénomènes produits au bout du temps l pour le premier volume se produiront pour le second au bout du temps ni. Le frottement agira donc plus lentement sur le second volume que sur le premier, bien que la viscosité du second volume soit plus forte.
IIelmuoltz a reconnu que, pour une atmosphère de 8 kilomètres d'épaisseur, le temps nécessaire pour réduire par le frottement de moitié une différence de vitesse est de -laj'j^ ans, soit /|.io''. Ici l'épaisseur de notre atmosphère est le rayon de l'orbite de >»cplune, soit 4-io^ kilomètres; le temps nécessaire pour réduire les différences de vitesse de moitié serait donc
k.\0 • ^— = 2. lO'-* , . . . . ^. lO^
années, avec un coefficient de viscosité 'o- plus grand que celui de notre atmosphère ; avec le même coefiicient de viscosité, cela ferait
a.io'-*. — — = I0--
années. 11 faut donc, si l'on veut que la rotation ait pu se maintenir sensiblement uniforme, que le processus de refroidissement et de production des anneaux ait été excessivement lent.
;jo
mi'OTllCSES COSMOliO.NKIlES
26. CvUc faiblossc do rinnucncc du IVoIlcmciil, quand il s'agit de i;raiids \oluuics lluides, nous conduit à leclicrclicr sil ne serait [)as possible d'ahaiidoiitici- l'li\ [)otlièse d'une rotation uniforme de la nébuleuse, et à étudier les diverses hypollièscs que l'on pourrait faire sur la distribution des vitesses angulaires. Cette question présente beaucoup d'analogie avec le problème suivant : Quelle sera, dans une atmos[)hère (par exemple l'atmosphère terrestre), la distribution stationnaire des températures ? On pouirait dire, d'une [)art, (jiio si la température initiale de 1 atmosphère n'est pas uniforme, elle le deviendra bientôt par suite de la conductibilité : l'état d'équilibre des températures de l'atmosphère serait donc l'état isotherme. On pourrait penser, d'autre part, supposant la conductibilité négligeable, que les mouvements internes de 1 atmosphère et les brassages qui s'y produisent finiront par déterminer, pour les températures, l'état d'équilibre dit adiabalitjiie.
L'observation montre que dans les couches les plus basses de l'atmosphère, jusqu'à lo kilomètres environ, on suit la loi adiabalique parce que ces couches sont brassées constamment par les grandes perturbations et les cyclones. Plus haut, on retrouve la loi isolhermique ; plus haut encore, on ne sait rien. Quoique ni l'un ni l'autre
des deux étals ne soit effectixement réalisé })ar l'atmosphère, nous pouvons essayer d'étendre ces considérations à la distribution des rotations dans une masse lluide tournant autour d'un axe de révolution œ'x {fi<j. 7). Décomposons par la pensée la masse lluide en une infinité d'anneaux très déliés, tels que A A', tournant indépendamment autour de x'x. Chaque anneau possédera une vitesse angulaire gj, et
ANALYSE DE l'iIY1»(JTI1ÈSE DE LAPLACE 3 !•
celle \ilesse w vaiieia d'un anneau à l'aulic. Si nous adnn.'llons qu'il y ait fioltement des divers anneaux les uns sur les autres, il v aura tendance à runifornilsalioa des vitesses angulaires, et oj deviendra bientôt le même pour toute la masse qui, finalemenl, tournera d'une seule pièce. Cetclal final correspond à l'équilibre i^iolliernie de J'atmosphrre dont nous venons de parler, le froltcmcnl jouant ici le rôle que jouait plus baut la conductibilité tberniique.
Supposons au contraire que, le frottement élant négligeable, notre masse fluide soit le siège de brassages intérieurs, (ces brassages étant supposés conserver, pour simplifier, la symétrie de révoluLion de notre masse autour de x'x). Dans ce cas le moment de rotation de cbaque anneau demeurera constant ; et, si on appelle 1\ la distance de cliaque molécule à l'axe de rotation, l'élat permanent de distribution des vitesses angulaires sera défini par l'équalicn
coR- = consl.
Cet état (que nous pourrons encore appeler adiabatique) est analogue à l'équilibre adiabatique des températures : cbaque anneau emportant avec lui, dans son déplacement, son moment de rotation, comme tout à l'beure cbaque particule de l'atmospbère conservait la même quantité de cbaleur.
Remarquons que, dans cette distribution adiabatique des rotations, on aurait oj = x sur l'axe de rotation. Cet état n'est donc qu'un état limite idéal, dont on pourra s'approcber plus ou moins; il correspond au cas d'un tourbillon recliligne dirigé suivant l'axe.
27. Etudions les conditions déquilibro d'une telle m:isse fluide tournant d'un mouvement permanent autour d'un axe de révolution ox {fi<J- ~), la vitesse angulaire oj n'étant plus constante, mais variant d'un anneau AA' à l'autre. iNous reprenons les équations (3) de l'bydrodynamique dans lesquelles nous faisons y = o, car dorénavant nous négligerons le frottement. Les trois premières équations (3) dc- \iennent alors les équations bien connues d'Etri:!!. Cbaque molécule tournant, par bypolbèse, autour de ox avec une vitesse angulaire oj,. nous devons faire
H = o, i' = — m:, IV = (oj,
Sa IIVPOTllisES COSMOGONIQL'ES
cl les trois premières équalions (3) (.levienneiil
dx p dx
f/P I dp
dy p dy
= -Ir,
dP i dp dz ^ 0 (/;
= oj'-r.
Dans le cas d'isolliermie, p et o sont reliés par la loi Je Maiuotte ; dans le cas d'adiabatie ils sont relies par une autre formule ; mais, dans les deux cas, p est fonction de o et
'^P- = du
est une dilTérenliellc exacte. Multipliant les équations ('i) respectivement par dx, dy, dz et ajoutant les résultats obtciuis, nous trouvons
(/P 4- c/n =^ w'(r(// + zdz),
qui s'écrit
(5) (/ P + Il)r= w2RdR,
en appelant
la distance d'un point à l'axe de révolution.
Le premier membre de l'équation (o) étant une dilTércntielle exacte, il en est de même du second; donc 'jt ne doit dépendre que de U et nous pouvons poser
or-R = o\l\) ;
l'équation (5) s'écrit alors
ce qui nous donne l'intégrale
P -h n — cp = const.
Les surfaces d'égale pression, qu'on peut encore appeler surfaces de niveau, s'obtiendront en donnant à U une valeur constante ; elles auront donc pour équation
ANALYSE DE l'hypothèse DE LAPLACE 33
Dans l'hypothèse d'un noyau très condense de masse M, nous pouvons écrire
ce qui donne pour équation des surfaces d'égale pression
o H = Li.
Les méridiennes de ces surfaces s'obtiendront en faisant z =o dans cette équation, ce qui donne
Telle est donc l'équation des méridiennes des surfaces de niveau lorsque la vitesse angulaire oj n'est plus constante, mais varie avec la distance à l'axe de révolution suivant la loi représentée par
to2R = o';H).
28. La forme de ces méridiennes dépend essentiellement de la fonction 's^. Dans le cas adopté par Laplace et par Roche, oj est constant ; alors
Nous retombons sur l'équation
qui a donné les courbes représentées par la figure 2 (p. iG).
Si nous supposions que la distribution des vitesses angulaires suit la loi adiabatique, nous aurions, Q. étant une constante, les équations
coR^ --= Q et
L'équation des méridiennes serait alors
Poi>
inrOTllESES COSMOGOMQLES
ce qui doiincrail les courbes icprésenlées par la figure 8. Les surfaces de niveau auraient donc des lormes toutes difTérentcs ne se prêtant pas à la l'ormation danneaux.
Rcmarf[uons que, dans le cas de la figure 2, si l'on parcourt l'axe oy depuis 0 jusqu'à l'infini, la constante G commence par décroître, puis elle passe par un niininuim au point double A et croît ensuite
Jhj. 8.
indéfiniment. Au contraire, dans le cas de la figure 8, la constante C part de — =0 , passe par un maximum au point A, et ensuite décroît. Donc, lorsque la quantité
, , INI
passera par un minimum, quand r varie de o à — zr), les méridiennes présenteront un point double et il y aura formation d'anneaux de Laplace. Lorsque cette quantité passera par un maximum, les méridiennes alïecteront une forme analogue à celle de la figure S, incompatible avec la production d'anneaux.
Dans les deux cas, qu'il y ait maximum ou minimum, la dérivée première de la quantité (6) s'annulera au point correspondant :
ce qui s'écrit
AN.VLySK UE L HYPOTHESE DE L.VPLACE
donc en ce point la force cenlrifuge fait équilibre à la pesanteur. Mais il n'y aura niinimuni, et par suite formation possible d'anneaux, que si la dérivée seconde est [lositive, c'est-à-dire si
Ui'' -4- 2(>M0 V H j- > G,
^cequi s écrit, en remplaçant -^^ par son égal w%
3w^ + 2wco')' ]>. G.
Cette condition exprime simplement que l'expression
croît avec y. Cette condition n'est pas réalisée dans la distribution .dite adiabatique des vitesses, puisqu'alors on a
MY^ = const.
Nous voyons donc que, pour expliquer la formation des anneaux ■de Laplace, il est absolument nécessaire de supposer qu'on est très loin de l'adiabatie, et qu'on se rapproche d'une rotation uniforme de la nébuleuse.
