V. — Étude de la stabilité d'un anneau. Anneaux de Saturne
29. Quoi qu'il en soit des discussions précédentes, supposons qu'un anneau ait été formé et examinons les conditions de sa stabilité.
La question a été principalement étudiée pour la constitution et la stabilité des anneaux de Saturne. On peut faire sur la constitution de ces anneaux trois liypothcses : ils sont solides, ou fluides, ou formés d'astéroïdes indépendants très nombreux circulant autour de la planète. Nous allons voir qu'il faut rejeter les deux premières hypothèses pour des raisons mécaniques. La troisième hypothèse, proposée déjà par Cassim en lyiô, mais sans preuves à rap[)ui, semble confirmée par l'expérience : l'anneau intérieur de Saturne est en elVct transparent et la lumière le traverse sans trace de réfraction ; ce n'est donc pas un milieu continu. Les observations spectroscopiques montrent, de plus, que la vitesse d'une molécule de l'anneau n'est pas la même sur le bord interne que sur le bord externe.
36 IIYPOTIIKSES COS.MOGO^IOLE!?
30. Travaux fie Laplvce cl de IIikn. — Laplvge, supposant les anneaux de Saturne solides, a fait remarquer que, si ces anneaux étaient parfaitement réguliers, ils seraient nécessairement instables, car un anneau solide régulier, sous l'inllucnce du plus faible déplacement provoqué par la cause la plus légère, tendrait à tomber sur la surface de la planète.
Supposons, en effet, que le centre de Saturne soit en o, le centre de l'anneau déplacé étant en C (fig. 9). Soit ah la corde perpendiculaire en o à oC. Il est clair que l'atlraclion de la planète sur un arc tel que //!/(, l'emporte sur son attraction sur un arc tel que m'n' .
Donc le segment amnh de l'anneau est plus attiré par Saturne que le segment an'm'b. L'anneau tendra par conséquent à s'excentrer davantage et à se joindre à Saturne. Donc un anneau solide ne peut être stable que s'il est suffisamment irrégulier.
HiRN s'est demandé, d'autre part i '), dans l'bypotbèse d'anneaux solides, quelle résistance on devrait attribuer à ces anneaux pour qu'ils ne soient pas brisés par l'attraction des satellites. Il est arrivé à cette conclusion : aucun corps connu, si rigide ou si tenace qu'on le suppose, ne saurait résister, sans se rompre, aux efforts qu'il aurait à supporter.
31. Calculs de MA.x^vELL. — J. Clerk Maxwell avait aussi trouvé que les anneaux de Saturne ne pouvaient être solides, car leur stabilité exigerait alors des irrégularités si grandes qu'elles sont inadmissibles. Il examine donc l'bypotbèse qui fait des anneaux de Saturne une multitude d'astéroïdes indépendants : il les assimile à des cordons de perles disposées circulairemcnt autour de la planète et
fO HinN : Mi'in'iire sur les conditions d'rijiiHibre et sur la nature probable des cnneaux de Snlume, 187a.
ANALYSE DE l'hTPOTIIKSE DE I. VPLACE St
afTectées de vagues régulièi-es, soit dans le sens du rayon, soit dans le sens transversal ; chaque perle est un petit satellite. Puis il cherche les conditions pour que l'ampliludc de ces vagues, nées des perturbations, ne croisse pas indéfiniment. Voici les grandes lignes Je l'analyse de Maxavell (').
32. Prenons d'abord p satellites P,. P^, ..., P,,, de même masse 'j,M (M désignant la masse de Saturne), équidislants sur un même cercle
fig. lO.
de rayon a concentrique à Saturne {fuj. lo). La distance 2 5 de deux satellites voisins sur ce cercle est une constante :
Un mouvement possible est celui oii chaque satellite parcourrait le cercle avec une même vitesse angulaire oj déterminée par l'attraction de la planète à laquelle s'ajoute la force centrale due à l'attraction de tous les autres satellites. Appelions ce mouvement /?ïOHL'f/?2en/ normal^ et cherchons un mouvement plan peu dillcrent de celui-là. Désignons par
le rayon vecteur du satellite P,, et par
Vi r= 2 iO H- (.)/ -t- T;
(') Maxwki.l : On the stabillty of ihc niolion of Satiirii's rimjs. Cambridge, iSjc). Maxwell' s Scientific Pupers, t. I, p. 388-376. Voir aussi Tisseiiasd : Traité de Mécanique Céleste, t. II, (lliap. xn; et H. Poincauk : Figures d'équilibre d'une masse Jluide, Gliap. viii Paris, (îauthicr-Villars. 1900 .
38 n\roTiiî:sL:s cosM()f;oN"iQt'Es
son angle polaire. Dans le mouvcmenl normal non lroui)lé, on anrait
p, = O, ar,= G ;
et dans un mouvement peu dilTérent, -/, et 7, seront petits; nous négligerons leurs carrés et produits.
Ecrivons, en coordonnées polaires, les équations de nionvcnient de Tun quelconque des satellites, par exemple du satellite Pi :
f/Vi /dui^-^ M , dli
di' '■' l dl y ~ ri "^ (//•, '
dh'i di'i di\ I (/li|
''' "JF ~^^ dl dl ~ r\ dv^ '
M désigne la masse de Saturne, et
Kl
.■^ \/ri -]- r-j — 3 r^Vj (cos Vj
est le potentiel perlnrbateur dû à l'altraclion de tous les autres satellites sur le satellite Pj. (Nous négligeons les attractions exercées sur Saturne par les satellites, attractions qui se compensent d'ailleurs presque exactement.)
Chaque satellite donne ainsi deux équations telles que les équations (i) : il y a donc en tout 2 p équations entre les oi et les t,-. Ces équations devant admettre la solution
pi = o, ^i = o,
les termes indépendants des o, et des Ci dans ces équations se détruiront et disparaîtront d'eux-mêmes. Si, dans ces ap équations (i) nous ne conservons que les termes du premier ordre par rapport aux Oi et aux Ci, nous obtenons les équations
l 3to-pi + 2C07i — Pi = — ^- ^^^— ^ ,
I a," -h 1 top/ = -, ^-11 ,
où nous avons désigné par
I rf(oR,) 2 ^'^
ANALYSE DE l'|1\POThL;SE DE LAPLACE StJ
les pallies de
qui dépendent eiTeclivement des o, el des c,. Les seconds membres des équations '2] sont des fonctions linéaires des o, et des 7,, puisque nous nous en tenons aux termes du premier ordre. Les équations (2) forment un système d'équations différentielles linéaires à coefficients constants. On pourrait, suivant la méthode classique, les intégrer par des exponentielles de la forme
V 0 — Il e^'
Substituant ces valeurs dans les équations (2), on aurait un ensemble de 2 p équations linéaires homogènes, entre lesquelles on éliminerait les 11, et les K,. On trouverait ainsi une équation de degré Ap en N. A chaque racine N correspondrait pour les équations (2) une solution de la forme (3), Pour que le mouvement normal soit stable, il est nécessaire que ^, et c, restent toujours petits. Par suite, il laudrail écrire que toutes les ^aleurs de ^ ont leur partie réelle négative ou nulle. Cette méthode serait longue, aussi Maxwell procède- t-il indirectement. Il cherche pour les équations (2) une solution particulière de la forme
( Pi = A cos (ï -f- 2 7(0 -+- nfj,
oii A, B, n et a désignent des constantes et y un entier positif. Il se trouve que, si l'on substitue à O; et à Cj ces valeurs (4), les seconds membres des équations (2' prennent respectivement la forme
^u[ALy — BM-;]cos a + 27
i'I -^ ni ,
2[ji.|AMy -h BN-] sin (a H- 27
{6 -\-nt),
OÙ h', M", >.-. sont trois constantes dépendant de l'entier y. La substitution des valeurs ( 1) dans les équations (2) conduit donc aux deux équations
\ 3to2A 4- 2 w/iB + n\K = w^-J^ [ÂL-; — BM--], l n-n — 2 to/iA ^ oj^u [AM-; -+- BN-.l,
|0 llYPOTIlliSIÎS COSMOGONIQLES
liomogèncs en A cl en B el propres à déterminer n et le rapport . ,
une lois choisi l'entier y ('). Par l'éliminination de V et de Ji on obtient l'équation en n
(5) {n' -f- 3 io' — co-'iJiL„) (,j« + «o^aN.,) — {v. lun -|- (./-uM.,)^ = o.
A chaque racine ii de cette équation du (juatiiènie degré correspond pour les équations (2) une solution de la l'orme ('1). Comme, dans ces formules (4), 7 peut recevoir une série de valeurs entières (■'), on conçoit la possibilité d'obtenir ainsi les intégrales générales des équations (2).
33. Remarquons que, pour une solution simple telle que la solution (4), la position et la vitesse du satellite P, à l'époque / sont les mêmes que la position et la vitesse du satellite P,i à lepoquc
On peut donc dire que le mouvement se commvmique d'un satellite à l'autre dans le temps
n Chaque solution simple représente ainsi une onde ou vague élémentaire propageant le mouvement avec une vitesse angulaire égale à -. Le
mouvement total est la superposition des mouvements qui correspondent à plusieurs ondes élémentaires. Les ondes les plus dangereuses pour la stabilité sont les ondes courtes, c'est-à-dire celles qui correspondent aux grandes valeurs de y ; pour de telles ondes, en effet, deux satellites voisins pourraient se rapprocher d'une façon sensible, et leur action mutuelle ne serait plus très petite par rapport à l'action de Saturne.
34. Pour que le mouvement normal soit stable, il faut que toutes les valeurs de n soient réelles : sinon les formules (4) donneraient
(') Ces deux équations sont les mêmes, quel que soit 1 indice i du satellite que l'on considère.
(') Si, par exemple, le nombre des satellites est pair, p ■= 37, il sul'lira de donner à Y les valeurs i, 3, ....q. A chacune de ces valeurs correspondent 4 valeurs de 11, soit en tout ttq valeurs de n. Or, pour chaque valeur de n, les formules d) comportent deux arbitraires (savoir a et un facteur constant. On obtient donc ainsi 8q ^ 4/J constantes arbitraires, comme l'exige l'intégrale générale des équations (3).
