ANALYSE DE LIIVIOTHESE DE LAPLACE
pour oi et 7; des exponentielles en l ciolssanl indéfiniment. Montrons tout d'abord que, si le nombre des satellites est fini, on peut prendre la masse aM de chacun d'eux, et par suite la masse totale de l'anneau, assez petite pour assurer la réalité de toutes les valeurs de n. En eiïet, le premier membre de l'équation (5) en n est de la forme
n-{n- — 0J-) -\- A|JL + Bji.-.
Ce premier membre sera donc négatif si, v. étant très petit, on attribue à n} la valeur — par exemple. Si donc on substitue à n dans le premier membre de l'équation (5) les valeurs
tt) lo
on trouvera que ce premier membre prend les signes
Ces quatre changements de signe prouvent que les quatre racines de l'équation (5) sont réelles. Il v a donc stabilité si a est suffisamment petit. Bien entendu, si oi est nul il y aura instabilité, et a pourra être d'autant plus grand que w le sera lui-même : la stabilité croît avec la rotation, comme il arrive pour une toupie ou un gyroscope.
Si m = [j.p désigne le rapport de la masse de tous les satellites à la masse de Saturne. Maxavell a montré ainsi, qu'il faut, pour qu il y ait stabilité, que
On voit que si le nombre p des satellites augmente indéfiniment, leur masse totale rnS\ (c'est-à-dire la masse de l'anneau) doit tendre vers zéro ; c'est là un inconvénient de la théorie de Maxwell ; mais c'est un inconvénient artificiel, car l'hypothèse d'un grand nombre de petits satellites répartis sur une seule circonférence est trop simple. Il faudrait supposer une distribution des satellites occupant un certam volume de l'espace ; alors la difficulté signalée disparaîtrait.
35. Limile supcricurc de la (Jensilé d'un anneau fluide. — Maxwell étend son analyse au cas d'un anneau supposé fluide. Malheureusement, dans cette partie de son Mémoire, les raisonnements manquent parfois de rigueur et même de clarté, aussi faut-il les considérer seu-
42 UÏPOTIIKSnS COSMOGONIQLES
lemcnt comme un aperçu, dont la conclusion semble néanmoins devoir être acceptée.
Décomposons l'anneau supposé fluide en un grand nombre de tranches MXM'N par des plans méridiens {fuj- 1 1) et assimilons cliaquo
firj. Ti.
tranche à un des satellites précédents P,. Il s'agit de calculer Ics^ seconds membres des équations (2), c'est-à-dire (en effaçant l'indice /)•
On peut concevoir que la (pian li lé
puisse être faite égale à zéro, car elle représente (à un facteur près) letravail élémentaire du, dans un dé[)lacement radial de la tranche, aux. inégalités de l'anneau ; or, ce travail est très petit. Calculons à présent la quantité
(/(oR,
-dT'
qui représente (à un facteur près) le travail élémentaire dû aux inégalités de l'anneau, dans un déplacement tangentiel de la tranche.
Appelons D la densité du fluide dans le mouvement normal et D -h <^D sa densité dans le mouvement troublé. Le théorème de Poissox donne
A(R -^ rA\) = — li-(D -\- oD),
c'est-à-dire
A(oR)=.-/,.:^oD),
A> VLTSE DE I. IITPOTllt>E DE LAI'I.\CE
puisque dans le mouvement normal on a
Si nous adoptons, pour un instant, un axe des x langent à la circonférence moyenne de l'anneau, nous reconnaissons que la dérivée
est bien plus grande que les deux autres, car c'est dans le sens des x que l'onde de condensation se propage, et nous choisissons les ondes les plus défavorables à la stabilité, c'est-à-dire les plus courtes; l'onde étant très courte les variations dans le sens de la propagation, c'est-àdire dans le sens de l'ave des x sont très rapides; nous pouvons donc écrire, au lieu de l'équation (5),
(6) ^^ = -A:.(oD).
La contraction a eu pour ell'el de muilipller la densité de la tranche par
elle a multiplié son épaisseur par
comme sa masse totale n'a pas changé, on doit avoir / oD\/ ch
c'est-à-dire
DA^-^«Jx =''
^ dx ~ D
Alors l'équation (G) donne la suivante :
d où l'on lire, en inlégranl,
f/:oR) I f/(oR)
— j — ^ ou ^j -^ = li-aDi
dx a OT
44 HYPOTHÈSES COSMOCOMOLES
Le second membre de la seconde éqiialion (y) e^-t donc
nous avons vu d'ailleurs que le second membre de la première équation (2) peut être pris égal à zéro.
Si maintenant dans les équations (2) nous substituons les valeurs (5) de ^j et de 7, nous obtenons
l S'o^A -f- 2(o/iB H- n-X = o,
\ — n^B — 2oj;iA = 4^DB:
et l'élimination de A et de B entre ces équations conduit à l'équation en II
(«2 -j- 3w2) (n' -f- /irl3) — A'-^V- =r o OU
,1* (,«2 ^izjyy 4- lazw^D = o.
Celte équation bicarrée en n doit, s'il y a stabilité, avoir ses racines réelles, ce qui exige que
(to-2 47:0/2 /i8-to-D > o;
cette inégalité peut s'écrire ainsi :
oy — 5G7:Dtu2 -H iGt:-])- >> o.
Nous savons déjà que la masse de l'anneau et, par suite, sa densité doivent être petites pour qu'il y ait stabilité. Négligeant donc D^ nous obtenons la condition
co2 > 56-1), d'où nous tirons l'inégalité
qui fixe une limite supérieure à la densité de l'anneau. Maxwell conclut que si l'anneau était liquide sa densité ne pourrait pas surpasser 3;^ de celle de la [)lanète. Ce résultat est vrai pour un anneau de poussières cosmiques comme pour un anneau liquide : la stabilité ne peut exister que si la densité est suffisamment petite.
ANALYSE DE L II YI'OÏ II i;SE DE LAI'LACE 45
36. Limite iiifcricurc de hi densilc d'un anneau Jluide. — Un calcul que nous avons déjà fait à la fin de la Section II (p. 23), donne une limite inférieure pour la densité d'un anneau fluide homogène supposé tourner d'une seule pièce avec la vitesse angulaire oj : l'anneau n'est stable que si sa densité o satisfait à l'inégalité
Le même raisonnement nous permet même de dire que, pour une masse fluide homogène tournant autour d'un axe avec une vitesse angulaire constante 03 et soumise à l'attraction mutuelle de ses molécules, aucune fi fj are nest stable si l'iné(jalitc (8) nesl pas satisfaite ('}. Si, dans cette inégalité, nous prenons pour w la vitesse angulaire d'un satellite dont l'orbite coïnciderait avec l'anneau de Saturne, nous trouvons que la densité 0 de l'anneau doit être supérieure à -?. de celle de la planète. Cette condition est incompatible avec celle de Maxwell et elle nous force à rejeter l'hypothèse de la fluidité des anneaux de Saturne. Comme ces anneaux ne sont pas non plus solides, d'après Maxavell et d'après Ilriw, nous sommes amené à les regarder comme formés d'un grand nombre de corpuscules indé[)endants : le calcul de MaxwELL nous a appris qu'une telle constitution peut être stable si la masse totale de l'anneau est assez petite.
37. La limite inférieure de la densité, donnée par l'inégalité (8), a été trouvée en supposant que la vitesse angulaire o) est la même pour tout le fluide. AiïVanchissons-nous de cette hypothèse et considérons, comme dans la Section IV, une masse fluide tournant d'un mouvement permanent autour d'un axe de révolution x'x {fiq. 7, p. 3o), la vitesse angulaire w Aariant d'un anneau élémentaire AA' à l'autre. Conservant les notations de la Section IV, nous avons (p. 02) la
relation
(5 — n — P r= const.
Or, la pression p est nulle à la surface et positive à l'intérieur du fluide ; donc
"-jr
(') 11. PoiNC.Mti': : Sur Vriinilibrc (Vuiie masse Jluide animée d'un mouvrnienl de roialion, i885 (liullclin aslronojnlijue, t. H, p. 117).
lYPilTIlKSES <:osMi)<;o5Ii)CES
présenlc un maxiiiuiiu à riiUéiicui ; par consé(|uciil il eu est do même de l'expression
Il y a donc certainement, à rinléiicur de la masse iluidc, un [)oint (ou plusieurs) oi!i l'on a
Or, rappelons-nous que 'j ne dt'pend que de la distance
à l'axe de rotation ; on a
et comme on a (p. 02)
il vient
A'f = 2 wo)'R + 2 0)-;
d'ailleurs, le théorème de Poisson donne
L'inégalilé 9 montre donc qu'il existe à l'intérieur de la masse Iluide des points satisfaisant à la condition
(10) 210- -\- aOK.j'll /iTTO <; O.
Si nous supposions que oj ne varie pas avec R, nous retrouverions la limite inférieure de la densité donnée par l'inégalité (S).
38. iNous pouvons même serrer davantage l'inégalité 10';. Considérons un anneau fluide dont la méridienne est QQ' et qui tourne
lOo'
fuj. 12.
-•autour de son axe ox {fiQ- la). Nous venons de dire qu'il existe à l'intérieur du fluide des points A où -p — P est maximum ; le lieu de
ANALYSE DE LHYI'OTIIKSE DE LAPLACE 'l"]
CCS points est ici un cercle d'axe x'x et de rayon oV. Or, en un point où 'S — P est maximum, on a, non seulement
mais encore
dx'
Cf-
df'
Pour l'anneau de Saturne nous pouvons poser - p = :^J + ep.
— étant le potentiel dû à l'attraction de Saturne et c?P étant le polen-
liel dû à l'attraction de l'anneau sur lui-même. Calculons séparément les trois dérivées secondes en x, y, z de
^, — , oP, r
au point A de l'axe des y \ fi(j. 12) où '^ — P passe par un maximum. Nous trouvons qu'on a, en ce point A,
, , = tu- -+- 2ojto y, rtv-
dx- y^ ' d^(oP) ^ dx- '
dy^ y^
rf-(oP) , ,
d-J ~ y^ ' dz^ ——■' '
Z et z sont de petites quantités positives; d'ailleurs, au point A considéré, - -, diffère peu de oj" (troisième loi de Kepler), et l'on peut écrire approximativement
/J8 HYPOTHÈSES rOSMOGOMQUES
Il esl aisé de se rendre compte de l'crieur commise en écrivant ces équations ; on a remplacé ;., par r»)^ ; l'équation exacte s'obtient en
écrivant
ou
ou
(tc,V ...
L'erreur commise est donc de l'ordre de -— i- ; si les dimensions de la
section méridienne de l'anneau sont très petites par rapport au rayon
de l'anneau (c'est-à-dire par rapport à }' ou à R) --,- sera de l'ordre
de '- ; a étant l'une des dimensions de la section méridienne, il sera
donc négligeable non seulement d'une manière absolue, mais devant o, c'est-à-dire devant î et -' qui sont du même ordie que o. Alors les trois inégalités (ii) donnent les trois suivantes
dy
yj
do
dy r
doV
dy
f/oP
dy
o 10- -h 2 wto V -{- î -t- - — a ~p <; o,
La première et la troisième sont satisfaites d'elles-mêmes. De la seconde on tire, en remplaçant v par 1\, et se rappelant que i et i sont positifs, l'inégalité
fia) 3 w- -f- 2 oj co'I\
donnant pour la densité o une limite inférieure plus précise que la limite donnée par l'inégalité (lo).
Si donc la distribution des vitesses angulaires dans l'anneau est telle que le premier membre de l'inégalité i2j soit positif, il existera une limite inférieure de la densité; si, au contraire, ce premier membre est négatif il n'en existera pas : or, ce premier membre est positif ou négatif suivant que oj"R' croît ou décroît quand R augmente.
