Uevcnons à la formule de la déni\ellalion statique

, , „ U2 I a^ni 3 cos-(7 — i

et indiquons maintenant comment on pourrait développer eflcctivement son troisième membre sous forme trigonométrique.

Représentons sur une splière le pôle boréal P, le lieu géograpbique A et l'astre perturbateur L, de faron à former un triangle sphérique PAL (triangle Pole-Zénith-Astre) dont les trois côtés sont

PA ^ rj colatitude du lieu,

PL = 0" complément de la déclinaison de l'astre,

LA = 7 distance zénithale géocentrique de l'astre.

L'angle APL = .b est l'angle lioraiie de l'astre relativement au point A 011 on étudie la marée. La formule fondamentale de la trigonométrie sphérique, appliquée au triangle sphérique PAL, nous donne l'équation suivante :

ces 7 = cos 0 cos 0' -h sin 0 sin 0' cos^l), d'où nous tirons

. ,% • i^, I-|-C0S2il. . > ^ • ^/ ^, ,

cos^j^cos-ocos'o -j-sui-o sm^o H- 2 sino coso suio coso cos^b.

Si nous portons cette valeur dans in formule ((j), nous voyons que 'Ç contient trois sortes de termes (') :

(') Ç sera fonction du temps par l'inlermûdiairo de s, 0' et ^h. Observons que les coordonnées z et 0' de l'astre varient très lentement, tandis que son angle horaire ^b varie vile.

TMlJOlîlE DE SIU G. II. D.VinVI!*

i" Des termes indépcnclanls de l'angle horaire .1 : ils donneront les marées à loïKjue période ;

2° Des termes en cosad) dont la période est voisine d'un demi-jour: ils donneront les marées semi-ffiiumes ;

3° Des termes en cos^i dont la période est voisine d'un jour : ils correspondent aux marées diurnes.

Introduisons les éléments osculateurs de l'orbite de lastre L. Soient, sur la sphère céleste {/i;j. 3o), E le plan de l'équateur terrestre, 0 le plan de l'orbite de l'astre troublant L, N le nœud de l'orbite sur

firj. 3o.

l'équateur, Aq l'origine des longitudes géographiques (intersection de l'équateur avec le méridien de Paris , A' l'intersection de l'équateur avec le méridien du lieu géographique A, w le périgée de l'astre. Nous avons

AoN=-/

longitude du lieu,

angle horaire du nœud à Paris.

Nous désignons par m l'arc Nra égal à la longitude du périgée moins la longitude du nœud ; et par / la longitude moyenne de l'astre dans son orbite, comptée à partir du nœud N.

Alors, si nous développons le troisième membre de la formule (9), autrement dit cos-O", en série de fonctions trigonométriques dont l'argument est une fonction linéaire du temps /, nous obtiendrons des termes tels que

(l3) M COS \\/ -+- ay„ -h <{il -\- yro),

M étant une fonction des coordonnées du lieu A, et a, ^j, y étant dos

l''0 HYPOTHÈSES COSMOGOMQLES

entiers. C'est en effet des quantités

(jue dépendent les coordonnées horaires de l'astre A, et â' .

Puisque dans l'expression (i3), /q ne dépend comme M que des coord(^nnées du lieu A, et non de l'astre, nous l'isolerons en développant le cosinus sous la Ibrme

( 14) cos x/y cos (a/ -i- fj/ -f- vnj) — sin a/„ sin (ocy -h p/ -I- Ytn).

Et linalemenl les diflérents termes du développement trigonométrique de Ç seront de la forme

(i5) AX cos (a/ -I- ;3/ | .,j^ ^ f^y

où la constante // vaut o ou ± -, suivant que l'on prend le cosinus ou

le sinus qui figure dans la l'orniule (i/j), et où nous désignons par AX le coellicient qui dépend des coordonnées du lieu géographique.

De quelle nature seront ces coefficients AX en tant que fonctions des coordonnées du lieu? Ils seront évidemment des fonctions sphcriqiies (lu second ordre comme l'est lui-même le troisième membre de la formule (9). Nous avons désigné chacun de ces coeflicients par un produit AX : la lettre A désigne une constante numérique, et la lettre X une fonction sphérique du second ordre multipliée par un nombre con\enable de telle façon que l'intégrale

étendue à tous les éléments de surface dç de la sphère, ait une mthnc valeur constante K pour toutes les fonctions sphériques que nous aurons à envisager.

Soient x, y, z les coordonnées du lieu par rapport à trois axes rectangulaires invariablement liés à la Terre et passant par son centre, l'axe des z étant l'axe de rotation, le plan des xz étant le méridien de Paris. Xous aurons (en prenant [)0ur unité le ravon terrestre a)

X = sin 0 cos /o, y = sin 0 sin /(,, z = cos 0.

TIItORlE DE SIR G.

Les fonctions sphériqiies \ qu'introduit alors le développement trigonométriquc du troisième membre de la formule (9) sont les suivantes (') :