V- sin-o

■— = COS 27ft,

sin^o .

ry = ^— sin 2/o,

x: = sin 0 ces 0 cos /g, y- = sin 0 cos 0 sin /q, X- 4- y^ — 2c^ 1 — 3 ces- 0

Faisons maintenant quelques remarques sur les trois entiers a, j', y. Tout d'abord on aura

a ^ 0,1 on 2,

suivant que le terme considéré correspond à une marée à longue période, à une marée diurne, ou à une marée semi-diurne; car, dans l'expression (10), ^'^Z et y^ ne varient que très lentement et peuvent être regardés comme sensiblement constants. Ensuite, si l'inclinaison est nulle, on aura

car alors les deux plans E et 0 {f'j. 3o) coïncident, le point N devient indéterminé, et les seuls angles qui interviennent sont)f — ttt et / — /. Par suite, dans les termes indépendants de l'inclinaison, on aura

Dans les termes qui contiennent l'inclinaison à la puissance ),, on verrait facilement que

I « -f- P -f- Y I (') On reconnaît aisément que l'intégrale

étendue à toute la spliérc a, comme nous le désirions, la même valeur K pour toutes CCS fonctions sphéricjues X.

iSa

iirrnTinsrs rosMOr.oniocES

doit être au plus égal à ). et de même j)arité que ).. Enfin, dans les termes indépendants de l'excentricité, ttt n'intervient pas, on a donc

et dans les termes qui contiennent Texcenlricité à la ])uissance ).. on verrait que | y | est au plus égal à / et de même parité que )..

Comme nous ne conserverons dans la suite que des termes du premier ordre au plus par rapport îi l'excentricité <? et à l'inclinaison /, nous aurons, dans les termes indépendants de e et de /,

Y = o, a -h ^ = o ; dans les termes en c,

dans les termes en i,

Y r= o, a -f- ^ = rfc t.

109. Bref, nous avons prouvé que le troisième membre de la formule (9), qui représente (au facteur (j près) le potentiel U.^ générateur de la marée, peut se développer en une série de termes de la forme (lô) :

^^ = V AX cos (a/ -H 3/ 4- ^IT^ 4- h),

ce que nous écrivons simplement

^2 ^ y AX cos 0,

en posant pour abréger

0 = a/ H- p/ -h vM -I- /(.

Si nous voulons maintenant tenir compte de la viscosité comme nous l'avons fait au n" 106 (p. i/|()), nous trouverons que ce potentiel perturbateur L., produit ime dénivellation

où £ est donné par la formule

^^'~' dt

TIIEOIUE DE SIU G.

, represeiile ici la vitesse de la marée que nous ap[)elions a au

Nous nous [)ioposons de chercher l'action de la Terre, ainsi déformée par la marée (iG), sur un corps extérieur. Pour fixer les idées, nous supposerons que la marée (i6) est produite par le Soleil et nous chercherons les perturbations que cette marée solaire (i6) fait subir au mouvement de la Lune.

Les quantités X, /, tt; sont donc relatives au Soleil. Nous appellerons /', /', ra' les mêmes quantités relatives à la Lune. Comme nous cherchons l'action, sur l'orbite de la Lune, du bourrelet soulevé par la marée solaire à la surface de la Terre, nous introduirons une fonction perturbatrice VV qui sera le potentiel dû à l'attraction de ce bourrelet.

jifj. 3i.

Soit r' la distance de la Lune Là l'élément 'Ç(h du bourrelet (//'y. 3i). Nous aurons alors

l'intégrale étant étendue à toute la surface de la sphère terrestre.

Nous pouvons développer , comme nous avons développé - au n" 104 (p. i\\) et écrire

U'o, U',, l \, étant respectivement des fonctions sphériques d'ordre o, I, 2, par rapport aux coordonnées du lieu géographique A.

(' 1 IJaiipeloiis (|no l'angle t est liîs [iclil et peut être cotifonciii avec sa langcnlc ou son sinus (^n" 107;.

1J4 ini'OTIlLSES tOS.MO(;0>inLES

Comme 'Ç est lul-iiicivic une Ibnclion splirrique du second ordre par rapport aux coordoimces ilu mcuic [)oinl A, on a

jf: u,; ih = o, I A u; ih = o.

A^ous avons donc simplement [»our notre l'onction perturbatrice

(.7) \\=jj:i:,,h.

Développons L', sous l'orme trigonométrique de la même manière que nous avons développé L^ un peu plus haut : nous aurons

U, = ^A'.V cos (a'// + 'ii'l' + 7V + //)

a', fj, y' étant trois entiers, h étant une constante égale à o ou à ±-, A' étant un coenicicnt numérique, et \' une l'onction spliérique du second ordre telle que l'intégrale

étendue à toute la sphère ait une valeur constante donnée K, la même pour toutes les fonctions s[)hériques \'. Aous écrirons simplement

(18) U;=r^A'X'cOsO',

en désignant, pour abréger. [)ar

6' = a'// -;- p7' + 'l'm' + Il rargumcnl du cosinus. Alors, d'après (iG) et (iS), l'expression (17) de ^^ peut s'écrire, en faisant sortir du signe | | tout ce qui ne dépend pas des coordonnées du lieu A,

(19) W = V VA' cosi cos(0 — î) cosO' j l \)i'ch.

Telle est l'expression de la fonction perturbatrice dont nous avons à chercher l'action sur l'orbite de la Lune.

TIIKOUIE DE SIR (;. H. KAUWl.N

110. .Nous appliquerons la mélhode de la variation des consLantes. Nous commencerons par définir la position de la Lune par un système de six éléments canoniques ('). Aux trois quantités y',m',l', nous adjoindrons, pour achever de déterminer la position de la Lune, les trois suivantes :

fji !^ 2 sin- - = I — cos i ,

«', e', i' représentant le demi-grand axe, l'excentiicité et l'inclinaison sur l'équateur de l'orbite lunaire.

Le vecteur des aires a alors pour valeur (à un facteur constant près dépendant des masses et dont nous faisons abstraction)

et la projection de ce vecteur sur la perpendiculaire au plan de 1 équateur a pour valeur

\/a \/i — e'"- cos i" = ;'(i — t.') (i — \t!). Les six éléments

forment un système de variables canoniques - entre lesquelles existent les équations de Hamiltox. Nous aurons en particulier

(') Voir H. l'oiNCAUii : Leçons de Mécdiiiijiw Céleste, l. I, Cliap. III. (-) Ce sonl celles (|iii oui ôlf' désignées par

à la j). 7(1 (le rOuvragc de M. II. Poincauiï : Leçons de Mécanique Ci'lesle, t. I. Dans les trois premières de ces variables, nous faisons abstraction d'un même facteur constant 011 ligurcnt les niasses de la Terre et tic la Lune.

nyPOTIIliSES COSMOGOMOUES

Toiles sont les équations auxquelles nous conduit l'application de la méthode de la variation des constantes, pour calculer les perturbations des éléments lunaires sous l'action de la fonction perturbatrice Vi .

111. Le calcul qui précède est relatif à l'action, sur l'orbite lunaire, du bourrelet liquide soulevé sur les océans terrestres par la marée solaire. Ne pourrait-on pas appliquer le même calcul à l'action, sur l'orbite lunaire, du bourrelet liquide soulevé par la marée lunaire elle-même? On le peut certainement, mais à condition de prendre quelques précautions : /', w', l' devenant alors égaux à 7, ro, /, la fonction perturbatrice W se trouve dépendre de la variable / de deux manières dilTérentes : elle en dépend par -/et ensuite par 7'. Dans le

calcul de -j-r , il faut donc supposer dabord y ;zf y, puis dériver \^

par rapport à 7', et enfin faire 7 =7- Les mêmes précautions doivent être prises dans le calcul des autres dérivées de W. En d'autres termes, il faut distinguer la Lune en tant qu'astre troublant producteur des marées et en tant qu'astre troublé par ces marées. C'est ainsi que Sir G. II. Dahwi.\ appelle notre satellite Diane quand il est troublant et Lune quand il est troublé : alors 7, to, /, sont les coordonnées de Diane, 7', rn', /'. sont les coordonnées de la Lune, et l'on a

Moyennant cette précaution, notre analyse s'applique à l'action des marées lunaires sur la Lune elle-même.

112. Nous reprendrons donc les formules (20;, et comme nous ne nous occupons que des elfets séculaires, nous ne conserverons aux: seconds membres que les termes constants indépendants du temps /. Nous avons d'après la formule (19)

jrf^T^^ = —^ A.V cos£ cos (0 - t) |i' sin 6' i / XX' (/-,

(20'-) I ^^^VaA'cosecos(0 — E)(-;'-h[i')sinO' Ijw'ch.

jj^^rn = V A A' cos £ cos (0 — -.) a' sin 0' j 1 XX' dz.

THEORIE DE SIIl G. H. DAUWIN

Dans ces cxpicsslons, le temps ne figure que dans le produit

ros (0 — h) sin 0', piûduil qui, développé, l'ouinil des ternies en

^9^ (() QM

sui

et des termes en

cos , sin '

Nous aurons donc, aux seconds membres des expressions {'2o), un terme indépendant de t chaque lois que $ — 6' ou 0 ^ 0' se réduira à une constante. Comme 0 -+- 0' n'est jamais une constante, les termes séculaires correspondent à

0 — fj' = consl., c'est-à-dire à

Si l'astre troublant et l'astre troublé sont différents, celte condition n'est jamais remplie ('), car le rapport des moyens mou\ements de ces deux astres n'est pas commensurable. Nous pouvons donc dire que la marée solaire ne produit pas d'effet séculaire sur l'orbite lunaire.

Mais si l'astre troublant et l'astre troublé sont identiques, la condition (21) est remplie chaque fois que 5^5' et n'est remplie que dans ce cas : on a alors

cos (0 — s) sin 0' = -^ sin (6' — 0 + e) + ^ sin (G' + 0 — e),

qui donne le terme constant

' sin (0' — 0 + e) = ' sin z.

(') Excepté pour les termes sidéraux. Ces termes sidéraux n'ont d'ailleurs d'influence que sur l'inclinaison, et cette inlluence est faible.

108 IIÏPOTIIi:si;S COSMOGONIQL'ES

Les seconds membres des foiinules (20'"'), dans lesquels on ne conserve que les leiiucs constants indépendants de /, deviennent donc

- 2 AA' '-T^ (ï' + ^'ijj V^''-

INous pouvons maintenant elTacer les accents « prime » devenus inutiles, puisque tout se rapporte au môme astre, la Lune. Nous remarquons que le facteur

Iff'^'^

est le incmc pour tous les termes, puisque nous avons eu soin de choisir les l'onctions sphériques X de façon que cette intégrale ait toujours la même valeur constante K (note de la p. i ji ). Xous n'écrivons donc pas ce facteur, qui est le même partout (quitte à le rétablir [)lus tard), et les formules (20'"') prennent la forme