A-3 sm it

Rappelons-nous que l'angle £ est très petit et que par suite sinas

est proportionnel a tang -, c cst-a-dire a la vitesse de la marée tt. Ur,

et l'on a

dt = ''-dt-^^di-^'^

' dt '

.- = n vitesse angulaire de rotation de la Terre,

vitesse an"ulaire de révolution de la Lune.

dm , . ^

— : o a trt'S peu pros

TIllJOniE DE Sir\ G. II. DARWIN 1 Oft

Par suite, dans les formules (20'*'). nous pouvons remplacer sin 21 par

ofrt -i- p.>

qui lui est proportionnel.

Finalement les formules (20), dans lesquelles on ne conserve que ce qui est relatif aux leiincs séculaires, sont devenues

/ diil —r){l — [^V V KO .• ^ s

Ces dernières formules, par un calcul immédiat, nous fournissent les suivantes :

2 A-p(an + 3t>),

= ^ Â-(x -4- ^ — I^?)(^» -H ?ii) + termes en r,.

Ces trois fornmies vont nous permettre de calculer les variations séculaires du grand axe, de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite lunaire, provoquées par le bourrelet liquide de la marée lunaire ellemême. Dans la troisième de ces formules (22), qui nous servira à calculer la variation de l'inclinaison (y. = 1 — cos /), nous négligerons les termes en y;, car

s'annule avec l'excentricité, et, dans le calcul relatif à l'inclinaison, nouspouvons, en première approximation, supposer l'excentricité nulle.

113. Les seconds membres de (22) sont des sommes de termes dont chacun provient d'un des termes

(l5) AX cos (a/ 4- ^/ H- -j-ro -+- ii) = AX cos 0

en lesquels on a pu décomposer le potentiel U^ producteur de la marée lunaire. Parmi ces termes, nous ne conserverons ici que ceux qui

lOo IIYP()Tlli;<iES COS.MOliOMQUES

sont dn premier ordre au plus par rapport à rexcentricitc e et à l'iiiclinaison . La théorie des marées (') nous enseigne que ces termes sont les suivants :

Termes semi-tliarnes :

(M^) = cos (2/ -+■ 2/0 — 2/) (principal scMiii-divn-iK'),

(N) = ' — cos (2/ H- 2/0 — 3/ -t- to) (elliplique majeur),

(L) = cos (2/ + 2^,1 — / — TT!) (elliptique mineur) ;

Termes iliuriies :

(0) == sin - sin 20 cos ( / + /o — 2/ H- - I (principal diurne';, (K,) = sin sin 20 cos (/ + /o — ' ) (sidéral);

Terme à lonç/iie période :

(M,,,) = - (i — 3 cos^ 0) cos (/ — m) (elliptique mensuel).

Ces six termes sont ceux que nous conserverons dans U^ (seul le [premier (AI^) est indépendant de e et de i).

114. Tels qu'ils sont, ces six termes ne sont pas tout à fait de la i'orme(i5) (puisque Zq figure dans l'argument) ; or, il convient de les rendre de cette forme.

i" Les trois termes semi-diurnes sont de la forme

(sd) B— ^cos(2/o-hO),

qui peut s'écrire

i> sin- 0 ,j sin- 0 . /

15 cos 2/1, cos 0 — 15 sm 2/n cos l 6 —

(') Voir Maurice Lévy : Leçons sur la iJnUn-'ic des Marées t. I, Ch. III, et n. PoiNCAnÉ : Leçons de Mécanique Céleste t lit, Théorie des Marées, Cti. II. Nous faisons ici abstraction d'un facteur constant, le même pour tous les termes. Et nous laissons de côté les termes éveclionnels et variationnels, bien qu'ils ne contiennent e qu'à la puissance i ou o, parce qu'ils se trou>eiit alTectés de coefficients niimcjiques très petits.

THIÎORII; DE 5IH G. 11. DVHWIX l6l

or,

sin^ 0 X' — y-

COS 2/n = =^

sin- 0 .

—^ sin 2/, = xy

sont justement des fonctions sphétiqiies X qui donnent à l'intégrale

la valeur K (note de la p. iJi). Donc chaque terme semi-diurne [sd) fournit deux termes de la forme (i5) ayant respectivement pour

coefficient B et — B, et pour argument 9 et 0 — ^" . Par suite,

chaque terme semi diurne fournit aux seconds membres des formules (22) deux termes égaux, pour lesquels on a

A^ = ir-.

2° Les deux termes diurnes sont de la forme

(d) B sin -2 0 COS (/q -h 6),

ce qui peut s'écrire

T^ sin 3 0 „ sin 2 0 . 2 B COS 7n COS 6 — 2 B sm /„ cos

or,

sin 2 0

COS v„ = xz

sin 20 .

— — sin Xo = 72

sont justement des fonctions sphériques X qui donnent à l'intégrale

la valeur K. Donc chaque terme diurne (d) fournit deux termes de la forme (10) ayant respectivement pour coefficient 2B et — 2 B, et

PoiNCARt.

l62 nTPOTHÈSES COSMO(;0>IQCES

pour argument 5 el 0 — ^' . Par suite, cha(iuc terme diurne fournit aux seconds membres des formules (22) deux termes é^^aux, pour lesquels on a

3" Le terme à longue période est de la forme

„ I — 3 cos- 0

B cos 0 ;

et, comme

1 — 3 cos- 0

est une fonction spliérique X donnant à l'intégrale

la valeur K, ce terme est de la forme i5), ayant pour coefficient B\/3. Il donnera donc aux seconds membres des formules (22) un seul terme pour lequel on aura

Comme chaque terme diurne ou semi-diurne en fournit deux égaux dans les seconds membres des formules (22), tandis que le terme à longue période n'en fournit quun seul, il y a lieu de nmltiplier par 2 la quantité A" relative à chaque terme diurne ou semidiurne. Au lieu de cela, nous diviserons par 2 la quantité A"- relative au terme à longue période ('), pour lequel on devra prendre, par conséquent,