II
j. = -- (t -h j) [n — 2t»). dl 2/) "'^
C'est de ces équations que nous allons tirer les variations des éléments.
THEOniE DE SIR r,. II. r>\nT\-IN
119. Remarquons d'abord que les deux premières ne contiennent ni c, ni /. Elles donnenl les variations de la rotation terrestre et de la distance moyenne de la Lune. Ce sont ces variations que nous avons discutées en détail dans la Section II. Rappelons les résultat.^ de celte
jiij. 33.
discussion. Prenant pour abscisse c. et pour ordonnée n {fi(j- 35), nous traçons la droite
et la courbe de rigidité
qui coupe la droite en deux points G et D. Le point représentatif (i, n) du système Terre-Lune est parti de C, état dans lequel le jour et le mois étalent tous deux égaux à 5''36'" ; actuellement, ce point représentatir est en P (| = 0,2, 11 = 0,8) ; et l'état fmal sera représenté par D, où le jour redeviendra égal au mois, leur durée commune étant de ô5 jours actuels.
120. Passons maintenant à la variation de l'excentricité c donnée
.de par la troisième équation (3o). Il s'agit de savoir si j^ est positif ou
négatif, pour reconnaître si l'excentricité e croît ou décroît. Or, le
de , . , .
signe de -r. dépend du signe de l'expression
1 1 n — 18 ii.
l68 IIVPOTIli':;.SES COSMOGOMQUES
SI
1 1 « — 1 8 ii >> o,
l'exccntricilé croît. Si, au contraire,
lin — 1 8 ti ■< o,
l'excentricité décroît. Traçons sur la figure 33 la courbe
c'est-à-dire la courbe
Cette courbe (représentée en trait ponctué) coupe la droite AE en deux points C et D'.
Lorsque le point représentatif (H, n) parcourait le segment de droite ce, on avait
c'est-à-dire
1 1 71 — 1 8 il ■< o ;
l'excenlricilé a donc commencé par décroître. En P état actuel), on est entre C et D', par suite
lin — 1 8 < ) > o ,
et l'excentricité est en train de croître.
Enfin, lorsque le point représentatif parcourra D'D, l'excentricité recommencera à décroître.
Si l'on trace la courbe (fi'j. 34) qui représente les variations de l'excentricité e en l'onction de | ce qui est possible puisqu'on connaît l'état actuel P), on constate que cette courbe présente une asymptote verticale correspondant à l'abscisse du point G et que l'excentricité e passe par un minimum en G', par uu maximum en D', puis décroît ensuite jusqu'au point final D où elle s'annule.
11 ne faudrait pas croire que l'asymptote verticale signifie que l'excentricité a été initialement très grande. Les équations (3o), en elîet, supposent essentiellement e très petit et cessent d'être applicables dès que e devient grand.
TlIliORIE DE SIU G. II. DAUWIN
D'ailleurs, ce n'est pas ainsi que le problème se pose. Supposons que l'excentricilé e ait été initialement nulle, la troisième équation (3o; donnerait
de
donc
est une solution : elle correspond à une orbite circulaire restant indéfiniment circulaire ('). L'important est de savoir si cette solution est
firj. 3i.
stable ou instable. Supposons que e ait subi une petite variation : la troisième équation 3oj étant de la forme
de ,,
la solution
sera stable ou instable, suivant que M, c'est-à-dire
1 1 Al — 1 S 1 >,
sera négalil" ou positif.
Donc, tant que le point représentatif {J(g- 33) est situé entre G et
C, la solution
est stable : l'orbite reste circulaire. ^lais à partir du point C cette solution devient instable, et l'excentricité, avant cessé d'être nulle
(') Cf., n° 97.
IITPOTIIKSES COSMOGOMOUES
par suite d'une petite perturbation quelconque, croît jusqu'en D' ;
de puis, a partir do là, -j- devenant négatif, elle décroît jusqu en D oii
elle s'annule.
La courbe représentative de l'excentricité ( /i;/. 34) se composerait ainsi de la portion de droite cC et du morceau de courbe CD D.
Par suite, le iail qu'actuellement l'orbite lunaire est excentrique n'implique pas forcément qu'à l'origine l'excentricité était dilîérentc de zéro : le frollemcnt des marées d pu, d'après Sir G. H. Darwin, f'urc naître une excenfricilc qui n'cxisfail pas in'dialcmenl.
121. Étudions maintenant les variations des inclinaisons / et j, données par les deux dernières équations (3o). Comme ce qui nous intéresse c'est l'angle /+J que fait l'orbite avec l'équateur, nous ajoutons ces deux équations : il vient
Donc {i -hj) croîtra ou décroîtra suivant le signe de la quantité
Remplaçant n par h — ç, cette quantité s'écrit (au facteur positif nz-^ près)
— 2^' -{- 3/if — h\' — 2 ;
ce polynôme en £ présente deux variations de signe ; il a donc au plus deux racines positives. Dans le cas de la Lune, il a ell'ectivement deux racines positives qui correspondent aux abscisses de deux certains points C et D' situés entre C et D {fi'j- 33).
Nous pouvons donc faire pour l'inclinaison la même discussion que pour l'excenlricilé. Nous avons pour l'équation (3i) la solution
Cette solution est stable lorsque le ])oint re[)résenlatif est entre C et C" ; elle devient instable entre C" et D". Si donc nous partons d'un état initial où l'inclinaison i -+- j est nulle, l'inclinaison restera nulle au début ; puis, lorsque le point représentatif sera arrivé en C ', si elle cesse d'être nulle par suite d'une petite perturbation quelconque, elle
THliOlUE DE SIlî
augmentera jusqu'en D ; ensuite elle diminuera jusqu'en D où elle s'annulera de nouveau.
Nous voyons donc que le frollemeni des marées a pu faire nnîlre une inclinaison du plan de F orbite sur réqualeur, qui n existait pas initialement.
122. Nous venons d'exposer, d'après Sir G. II. Dakuin, l'évolution passée du système Terre-Lune. Mais quelle a pu être la durée de cette évolution ;* Nos formules ne nous l'apprennent pas. car il y entre le coefficient de viscosité inconnu qu'avait la Terre quand elle était encore pâteuse. Néanmoins nous pouvons reconnaître facilement qu il y a un maximum de l'action pcrlnrl)atrice, c'est-à-dire un minimum de temps nécessaire.
Les seconds membres des formules ('>o"'') sont de la forme
"^ A^3 sin 2£.
Les \- et les fj sont connus par la théorie des marées. Mais les sin 21, définis par les équations
Ig t = A- a/i
sont inconnus puisque k dépend de la viscosité. Or. un sinus est toujours inférieur à l'unité en valeur absolue. Nous exagérerons donc l'expression (Sa), par suite nous diminuerons le temps nécessaire à la variation de ç, si nous remplaçons les sin 2£ par l'unité et si nous prenons tous les termes avec le même signe.
Durée
Inverse
Distance
Durée
du mois
Incli-
de
(en
Chaleur
Epoques
du jour
en
jours
actuels
naison
l'aplatissement
rayons terrestres actuels
dégagée
