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C'est de celte façon qu'à procédé Sir G. II. Daiovin- pour introduire le temps dans son analyse. Il a dresse le Tableau ci-dessus, dans lequel
HYPO TIIKSES (JOSMOi;<)Mi)L'i;S
Ja pretnicre colonne indique le nombre d'années écoulées à partir de l'époque acluelle, et en arrière (ces époques sont de plus en plus raj)- ])rocliées à mesure qu'on remonte dans le j)assé, parce que, la Lune ôtaiil alors {)his proche de la Terre, les elTets des marées étaient plus considérables).
L'énergie mécanique du sysicnie Torre-Liine a loujouis été en diminuanl, le frottement la Iransl'onnanl en clialeiir. Si cette chaleur avait été employée à échaulî'er la Terre, elle aurait élevé sa tem[)érature d'un certain nombre de degrés (Fahenheit) : c'est ce nombre de degrés qui ligure à la dernière colonne du Tableau. Sir G. H. Daramn fait remarquer que l'on |)ourrait peut-être invoquer coltc cause [)Our expliquer l'origine de la chaleur interne du globe.
123. Sir G. H. Dauavin a aussi essayé de calculer une valeur du coellicientde viscosité inconnu de la Terre, en partant de l'accélération séculaire de la Lune. Des observations déclipses dans l'antiquité ont permis d'évaluer cette accélération à lo'. Or, le calcul indicpie une accélération théorique de 6' seulement. Il y a donc une accélération de V que la gravitation n'explique pas('). Sir(i. IL Dauwi.n cherche, comme le lit autrefois Delalnav (n" 95), à en rendre compte par l'augmentation du jour sidéral, due au frottement des marées. La Lune s'éloignant de la Terre subit réellement, non pas une accélération, mais un retard, et son accélération apparente ne serait due qu'à ia dillércnce entre le retard réel de la rotation terrestre et le retard réel de la révolution lunaire, le premier de ces deux retards étant plus grand que l'autre. C'est en égalant à V la différence de ces deux, retards^ telle que la lui donnent ses formules, que Sir G. 11. Daiovin a calculé le coeflicient de viscosité de l'intérieur de la Terre. Si l'on adoptait le coefficient ainsi obtenu, on trouverait pour la durée de l'évolution plusieurs milliards d'années; mais il importe d'observer que la Terre a pu être autrefois beaucoup plus liquide qu'aujourd'hui.
124. Jusqu'ici, nous avons toujours adopté des unités particulières destinées à simplifier les formules. Cela était légitime, parce que nous étudiions l'action des marées produites [)ar un même astre, la Lune,
(') t'eut-ètre qu'en ajoutant moins de loi à ccrlaiiis jiassages dWuteurs anciens, qui en sont parfois peu dignes, ou dont les textes sont plus ou inoins obscurs, quand ils rapportent des observations d'f'clipses, on arriverait à rétablir l'accord entre l'observation et la lliéorie de la gravitation.
TlllioniF. DE SIR G. H. D VRWI.N 1-5
sur un même astre, la Terre. Mais si nous voulons maintenant comparer l'action des marées produites par divers astres sur un même astre, ou par un même astre sur divers astres (par exemple si nous envisageons le système formé par une planète et plusieurs satellites, ou bien le système formé par le Soleil et l'ensemble des planètes), il faudra rétablir les coefficients de proportionnalité. C'est ce que nous allons la ire.
125. De même que la marée lunaire a une influence sur la longueur du jour et du mois, la marée solaire a une influence sur la longueur du jour et de l'année. Désignons par S, L, T les masses du Soleil, de la Lune, de la Terre. Nous appelons toujours
C le moment d'inertie de la Terre,
Il sa vitesse angulaire de rotation,
ù la vitesse de révolution de la Lune,
a le demi-grand axe de son orbite.
L'équation des aires, appliquée au système Terre-Lune, supposé seul, s'écrit
(33) La'-t2 + C/i = const.
Cn représente le moment de rotation dû à la rotation terrestre, La^ii le moment de rotation dû au mouvement orbital de la Lune. Le moment de rotation dû au mouvement orbital de la Terre autour du centre de gravité du système Terre-Lune étant très petit, nous le négligeons à côté de La-Ù. Quant à celui qui est dû à la rotation de la Lune sur elle-même, nous en faisons abstraction, envisageant ici la Lune comme un simple point matériel sans dimensions.
Ecrivons maintenant l'équation des aires pour le système Terre- Soleil, supposé seul. Appelant
Q! la vitesse de révolution de la Terre autour du Soleil, a' le demi-grand axe de l'orbite terrestre,
nous aurons
(3/,) Ta'*i2'-f-C/(= const.
Cn représente toujours le moment de rotation dû à la rotation terrestre ; Ta'-O représente le moment de rotation dû au mouvement
l'i nYi'OTiii;si:s cosmogo.moues
(jibllal (Je la J'eire auk)ur du Suleil, à cùlé duquel celui qui Cbt du au uiouNcaienl oibilal du Soleil, autour ilu centre de graxité du système TeiTc-Soleil, est négligeable. Nous Taisons aussi abstraction du moment de lolalion dû à la rotation du Soleil sur lui-uirme, en\isafi;eanl ici le Soleil comme un simple point matériel, ou, si l'on prélère, comme une sphère absolument ri^nde dont le moment de rotation est constant.
Transformons les équations (o,)) et (j'i), en introduisant les quantités
^ — il \ l' =^- il' '■ ,
et en nous servant de la troisième loi de Kiîi'Leu qui donne
ahi^ = T,
a'^^il'2 = S.
Les équations des aires (33) et (3'i) s'écrivent alors
f/r^ï -h C/i = const., TS"*;' -H Cn = const..
Considérons d'abord l'action de la marée lunaire. Celte marée donne, pendant un certain temps t. à la rotation n de la Terre une variation r}n, et il en résulte pour ç une variation ùz donnée par
(35) LT=^ oi + (>:n^o.
De même, la marée solaire fait, dans le même temps r, subir à ii une variation & n, et il en résulte pour z une variation r}''^ donnée par
(36) TS3 ô'r + Co'« = o.
Comparons ù'n à un : il s'agit de l'action de deux marées dill'érentes sur un même astre, la Terre. Le rapport de r}'n à an sera donc
A'approximativement égal au rapport ^r des carrés des coellicients des
deux marées. La marée solaire est enxiron trois fois moindre que la marée lunaire. On a donc
llltORIE DE blR G. 11. DARWIN
L'augmentaLlon Je la Juiée du jour prû\enant de la marée solaire est donc environ 9 l'ois moindre que celle qui provient de la marée lunaire.
Les équations (35) et (3G) donnent ensuite
'' 9tsï
or, le second membre est exlrèmcment petit; ù'c' est donc incomparablement plus petit que r)'z ; ce qui signifie que la marée solaire n'a qu'une influence insignilianlc sur la distance moyenne de la Terre au Soleil, c'est-à-dire sur la longueur de l'année.
126. Les marées que la Lune soulève sur la Terre ralentissent la rotation terrestre. De même les marées que la Terre pourrait soulever sur la Lune exerceraient une influence sur la rotation de la Lune. Actuellement, la Terre ne soulève pas de marées sur la Lune, puisque la Lune nous présente toujours le même hémisphère. Mais aux époques reculées, la Terre a dû soulever des marées sur son satellite, et c'est précisément, ainsi que l'avait déjà affirmé Laplace, à l'action de ces marées qu'est due l'égalilé actuelle de la durée de rotation et de la durée de révolution de la Lune.
Soit M la masse de l'astre perturbateur qui produit la marée sur un astre sphérique T de rayon a {fig. 35). Appelons c la distance
fuj. 35.
TM du centre de la sphère T à l'astre perturbateur et /■ la distance MA de l'astre perturbateur à un [)ûint V de la surface de l'astre T. Le potentiel dû à l'astre perturbateur est
MM/ a a'\ - \
— = — ( I — 2 cos 7 H 5 1
M Ma Ma} Scos^a— i
= Uo -i- U, + Uo.
l-jO HYPOTI£i:Sr;S COSMOfïONIOUES
Le potenliel générateur de la marée est
,^ Ma- 3 cos^j — 1
il est i)ro|)orti()ntiel à
La dénivellation statique est
elle est proportionnelle à
Le bourrelet liquide, du à cette dénivellation, produit sur Tastre M un potentiel perturbateur
où w désigne la densité du bourrelet liquide soulevé sur l'astre T. Or, nous avons, le signe ^vo indiquant la proportionnalité,
„ Ma- (h 2^= a'^, et — peut, sous le signe 1 1 être remplacé par U2 (') qui est proportionnel à ' ^oiis pouvons donc écrire
Le couple I' qui l'ait varier la rotation de l'astre T est proportionnel à
(1) Car on a
j j ll]^,dr! = n, jh\]id<J=0
puisque ^ est une fonction spliérique du second ordre.
THÉORIE DE Sllt <; . H. DAIUVIN I-J-J
puisque
représente le travail virtuel produit dans une petite rotation dy de la sphère T.
Gomme -,— est lui-même proportionnel à W (') le couple F est
proportionnel à
Wahv
Si, maintenant, nous tenons compte de la viscosité de l'astre T, nous trouvons
couple perturbateur F cxs — - — sin2£.
La dérivée ij de la vitesse de rotation de l'aslre T s'obtiendra en
divisant le couple perturbateur F par le moment d'inertie de la sphère
T qui est proportionnel à ivà\
Bref, nous aurons
dn Wa .
T7 c7«o — .— sin 2 s.
dt c'g
L'angle î est défini par l'équation
k étant une constante proportionnelle à la viscosité et a étant proportionnel à la vitesse de la marée. Pour la marée principale semi-diurne, on trouve, en faisant le calcul,
Il — 12
tg£ := 10 V ,
° ^ gaw
V étant le coefficient de viscosité de l'astre T. Comme l'angle £ est très petit (en prenant pour v le coefficient de viscosité de la poix, on trouve que cet angle ne dépasse pas lo" pour le système Ïerre-Lune), nous pouvons écrire
SUl 2 E c>^ tg t s>^
gaw
(I) IVicn entendu, nous ne conservons clans W que le terme le plus important, celui qui, pour les marées terrestres, est appelé terme principal semi-tliurne.
