III. — Équilibre adiabatiçiue d'un gaz parfait

164. Nous avons posé [n" 149) la question suivante : une masse chaude qui rayonne tend à se contracter, la contraction tend à l'échaufTer; la masse va-t-elle finalement s'échauffer ou se refroidir en perdant de la chaleur? Nous allons approfondir celte question en supposant que la masse est formée par un r/az parfait en équilibre adiahalique : nous entendons par là un état tel que l'équilibre destempératures ne soit pas altéré par la circulation, sans gain ni perte de chaleur, d'une partie de la matière dans un tube fermé siu" luimême.

La masse gazeuse va prendre évidemment, sous l'action de sa propre gravité, une forme sphérique formée de couches concentriqueshomogènes. Soient r le rayon d'une couche sphérique d'épaisseur dr, 0 sa densité, M la masse gazeuse intérieure à la sphère de rayon r. Nous aurons

(5) (/M = ^i-r'pdr.

Appelant p la pression, l'équation de l'Hydrostatique donne

D'ailleurs, puisqu'on suit la loi adiabatique, la pression p est proportionnelle à of Y = - désignant le rapport des deux chaleurs spéciQques du gaz à pression constante et à volume constant) :

p = Ko'' ,

'où nous déduisons

dp dz

Les trois équations 5), (G) et (-) forment un système de trois équations différentielles du premier ordre, propres à déterminer M,

(') J. HoMER I.ANE : 0(1 ihc tlœoretical température of ihe Sun (American Journal of Science, juillet 1870, t. 00, p. 57-7'i).

iivr'OTiii:srs (:osMO(;o>iof es

pour

on devra avoir

l)Our /

on devra avoir

iM = o

par

ixr.

pa r

par

lJ-~^p

par

p et c; en fonction de/', nioyoniiant les conditions suivantes servant de cctnditions initiales :

et p = o,

K désigne le rayon de la sphère et M^ la niasse totale.

L'intégration sellectuerait sans dil'ficullés, mais nous n'en avons pas besoin.

Demandons-nous ce qui se passera si la sphère se contracte, c'està-dire si l'on fait varier l\. \ous allons appliquer le principe de similitude mécanique. Remarquons que si l'on remplace

les équations (5), (()) et (7) ne changent pas. C'est dire que, si le rayon de la sphère varie, la pression varie comme l'inverse de la quatrième puissance du rayon, et la densité comme l'inverse du cube du rayon (cette variation de la densité était facile à prévoir d'après le principe de conservation de la masse).

Mais comment variera la tenq^érature T '.' L'équation caractéristique des gaz parfaits est (')

pv = RT.

Puisque, par la substitution (8), p, se trouve multiplié par a~* et /' par tJJ\ T se trouve multiplié par y.""'. La température varie donc en niison inverse du rayon : quand la sphère se contracte la température s'élève ; autrement dit, le coefficient de dilatation est négatif.

Si l'on avait elïectué l'intégration, avec les données relatives au Soleil, on aurait obtenu, en admettant que le Soleil est formé de gaz hydrogène, supposé monoatomique aux hautes températures, les résultats donnés par le Tableau suivant :

(') R désigne, dans celle équation, la conslante des gaz parfaits

la même lettre R désignait plus haut le rayon de notre sphère : aucune confusion n'est à craindre.

sun l'orkjine de la chaletr solaiiie et de i.a ciialelt. terrestre 228

Distance au centre en fraction du rayon

Densité

Pression en atmosphères

Températures en degrés

165. Etudions maintenant la chaleur spccijujiie de la masse gazeuse. L'équation fondamentale de la Thermodynamique donne, en appelant clQ la quantité de chaleur que reçoit l'unité de masse,

dQ = f/L H- pdu

<l[j désignant l'augmentation d'énergie interne et pdv\e travail externe dû à l'accroissement de du volume spécifique. Pour un gaz parfait, on a

dV = cdT et d'ailleurs

pv = Rï = (C — c) T.

Dans le cas d'équilibre adiabatique, T varie en raison inverse du

rayon, c'est-à-dire qu'il est proportionnel k v ^ : on a donc

par suite

Il vient donc

do

dv

dT , T '

pdv = pv~ = — 3 (C — c)dT.

dQ = cdT — 2{C — r)dT.

Cela revient à dire que la chaleur spécifique de la masse gazeuzc, dans les condilioiis d'équilibre adiabatique que nous supposons, est

Son signe dépend de la valeur du rapport - •

aai iiYPOïiii':si:s cosMonOMQUES

i" Pour les gaz monoatomiqnes (comme sont rhcllum, la vapeur de mercuie, et comme sont probablement tous les gaz aux hautes Icmpéralurcs du Soleil), on a

ce qui donne, comme chaleur spécifique de la masse,

quantité nc(jalivc. Donc, quand le gaz rayonnera, c'est-à-dire perdra de la chaleur, sa température aïKjmentcrn. Comme le coeflicient de dilatation est aussi négatif, le volume du gaz diminuera en même temps.

2" Pour un gaz diatomicpie. on a

c 5' ce qui donne à la chaleur spécifique la valeur