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■■'• , Les travaux de E. llociiE sur ce sujet se IrouNcnt résumés clans son Essai mr kl coiislltatiori et rori/jinc du syslciae solaire, 1878 [Acad. de MontiieUicr, Scclicn des Sciences, t. VIII, p. 'ïâ')).

IIYPOTIIESES COSMOGO>IQUES

le potentiel dû à la force centrifuge est

L'équation générale des surftices de niveau (surfaces équipolentielles) s'écrira donc

C désignant une constante. Les surfaces de niveau sont donc, comme il était évident a priori, de révolution autour de ox et symétriques par rapport au plan yoz. INous obtiendrons l'équation des méridiennes de ces surfaces en faisant r =^ o dans l'équation précédente, ce qui donne

Lorsque la constante C est très grande, cliaque méridienne i^fi'J- 2)

se compose d'une petite courbe entourant l'origine et de deux branches infinies très éloignées, coupant l'axe des y ; l'ensemble de la méridienne est désigné par i dans la figure. Lorsque C diminue, la courbe entourant l'origine se dilate, les deux branches infinies se rapprochent, et donnent l'ensemble de courbes 2. Si la constante G diminue encore, on obtient la courbe 3 qui présente deux points doubles sur l'axe oy, puis enfin des courbes telles que 'i et 5 qui ne coupent [)lus l'axe des y.

ANALYSE DE L IIYPOTIIL^E DE LVPLACE 1-J

15. Quels seront les points de ces courbes où la tangente sera parallèle à oy '} On obtiendra ces points en différentiant par rapport à y l'équation (i) de ces courbes, ce qui donne

Cette équation est satisfaite pour y == o, les points de Taxe des x sont, en eUel, des sommets pour nos courbes ; elle est satisfaite également pour

iu2,-^ = M ;

le lieu des points où la tangente sera parallèle à 03' est donc (en dehors de Taxe des x) un cercle V de rayon

En chaque point de ce cercle, on a

c'est-à-dire que la force centrifuge est égale et opposée à la composante de la gravité parallèle à oy. En particulier, aux deux points doubles A et A', la force centrifuge balance exactement la jiesantcur.

16. Cela posé, reprenons noire nébuleuse qui tourne tout d'une pièce. Son atmosphère, qui est supposée s'étendre aussi loin que possible, se termine nécessairement à la plus grande des surfaces de niveau dont la méridienne ne dépasse [)as le cercle Y, car, au delà de ce cercle la force centrifuge l'emporterait sur la pesanteur. La surface libre de l'atmosphère est donc engendrée par la révolution de la courbe à points doubles 3 autour de ox : cette surface présente une arête saillante tout le long de l'équateur. La surface de niveau qui vient immédiatement après n'enveloppe pas complètement les précédentes : elle s'ouvre à l'équateur, puis se développe en deux nappes infinies, comme le montre la ligure 2.

Lorsque la nébuleuse se contractera par suile du refroidissement, la vitesse de rotation w augmentera, d'après la loi des aires; le rayon r du cercle F, défini par

PoiNCARÉ. a

l8 llYPOnitSKS COSMOGOMQLES

diminuera : la siirlaco libre de l'atmosphère se conlractcra donc, i)our ainsi dire, en restant semblable à elle uk^'hio. Par suite de cette contraction, la couche fluitle qui se trouve en excès descend des pôles vers l'équateur en coulant le long des siu-faces de niveau, puis elle s'échappe, comme par une ouverture, par l'arête saillante que nous avons signalée. Elle cesse dès lors de li\ire partie de ratmos[)lière de la nébuleuse : elle forme une zone équaloriale dont les particules continueront à décrire des cercles autour du centre, dans le [)lan de l'équateur, puisqu'au moment de l'abandon la l'orce centrifuge faisait équilibre à la pesanteur.

Nous comprenons donc maintenant la Ibimation des anneaux de Laplace : elle est due à la présence, sur la méridienne de la surface libre, des deux points doubles A et Â', tlont rimportance a été mise en évidence par Roche (').