Leçons sur les invariants intégraux

Cet ouvrage est la reproduction d'un cours professé pendant le semestre d'été 1 920-1 921 à la Faculté des Sciences de Paris.

La théorie des Invariants intégraux a été fondée par H. Poincaré et exposée par lui dans le tome III de ses « Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste » .

Dans deux notes aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (16 et 3o juin 1902), l'auteur avait été conduit, dans l'étude des équations différentielles admettant des transformations données, à considérer certaines formes différentielles qu'il appelait Jormes intégrales : elles étaient caractérisées par la propriété de pouvoir s'ex-. primer au moyen des seules intégrales premières des équations différentielles données et de leurs différentielles. C'est en approfondissant ses recherches dans le même ordre d'idées que l'auteur était arrivé, d'une part à fonder sa méthode d'intégration des systèmes d'équations aux dérivées partielles qui admettent des caractéristiques ne dépendant que de constantes arbitraires (caractéristiques de Cauchy), d'autre part à fonder sa théorie de la structure des groupes continus, finis et infinis, de transformations.

Or il se trouve que la notion de forme intégrale ne diffère pas essentiellement de celle d'invariant intégral. C'est la confrontation de ces deux notions qui est à la base du présent ouvrage.

Considérons par exemple un système de trois équations différentielles du premier ordre à trois fonctions inconnues x, y, z, delà variable indépendante t ; on peut les regarder comme définissant une infinité de trajectoires d'un point mobile. Une forme différentielle, telle que Vdx H- Qdy -+- Kdz -+- Udl par exemple, peut être envisagée comme une quantité attachée à un état (x, y, z, t) du mobile et à un état infiniment voisin {x -h dx, y -h dy, z ■+■ dz, t -\- dt). Dire que cette forme est intégrale {wi invariante, suivant la dénomination qui sera adoptée dans ces Leçons), «ignifie évidemment que cette quantité ne dépend que delà trajectoire qui