INTRODUCTION

contient le premier état et de la trajectoire infiniment voisine qui contient le second état. Autrement dit, une forme invariante ne change pas de valeur si on déplace d'une manière quelconque les deux états [x, y, z, t), (x -h dx, y -h dy, z -h dz, t -^ dt) sur leurs trajectoires. Si l'on considère alors une suite continue linéaire de trajectoires et si on étend l'intégrale / Vdx -h QJy -f- Rc/z à l'arc de courbe lieu des positions prises par le mobile sur ces trajectoires à un même instant t, cette intégrale est indépendante de t : c'est un invariant intégral au sens de H. Poincaré. Inversement il existe un moyen très simple de remonter d'un invariant intégral / Pc/cc -+■ Qdy -+- Rc/z de H. Poincaré à la forme invariante correspondante Vdx -h Qdy -+- Kdz -+- lîdt.

Ces considérations ne sont pas limitées aux formes différentielles linéaires. Toute forme différentielle invariante susceptible d'être placée sous un signe d'intégration, simple ou multiple, donne naissance à un invariant intégral au sens de H. Poincaré, si l'on y supprime les termes qui contiennent la ou les différentielles de la variable indépendante (').

En définitive la quantité sous le signe d'intégration dans un invariant intégral de H. Poincaré n'est autre chose qu^une Jorme différentielle invariante tronquée. Le caractère invariant de l'intégrale complétée est conservé si elle est étendue à un ensemble quelconque d'états, simul' tanés ou non.

Les conséquences de ce rapprochement entre les deux notions d'invariant intégral et de forme différentielle invariante sont nombreuses. En premier lieu toutes les propriétés relatives à la formation des invariants intégraux, à leur dérivation les uns des autres, deviennent évidentes par elles-mêmes. Il en est de même des applications à l'intégration des équations différentielles.

Une autre conséquence, relative aux principes de la Mécanique, doit être signalée. H. Poincaré a démontré que les équations générales de la Dynamique possèdent la propriété d'admettre un invariant intégral (relatif) linéaire, à savoir

(0 ( Pi^qi -hp2^q-2 + ... -hp,f^qn,

où les ç, et les/),, désignent les variables canoniques d'Hamilton. Si l'on

(^) M. R. Hargreaves, dans un mémoire des Transactions ofthe Cambridge Philosophical Society (t. XXI, 1912), avait déjà considéré des intégrales contenant la différentielle de la variable indépendante ; mais son point de vue est tout différent de celui du texte, et il fait toujours jouer un rôle à part à la vatiable indépendante.

[NTRODUGTION

complète la forme différentielle sous le signe / , l'invariant intégral prend la forme

j Pi^<1i

(2) I pioqi + ... + p„^n — HS/,

où H désigne la fonction d'Hamilton. On voit ainsi apparaître, à côté des quantités de mouvement (pi, ..., p„) du système matériel considéré,

son énergie H. La forme sous le signe / acquiert ainsi une signification

mécanique extrêmement importante ; on peut lui donner le nom de tenseur n quantité de mouvement-énergie »(*). L'ac^ton élémentaire d'Hamilton n'est autre que ce tenseur considéré le long d'une trajectoire : la notion d'action est ainsi reliée à celles de quantité de mouvement et d'énergie.

11 y a plus. Non seulement les équations différentielles du mouvement admettent l'invariant intégral (2), mais encore ce sont les seules équations dilTérentielles qui jouissent de cette propriété. On peut alors placer à la base de la Mécanique le principe suivant, auquel on pourrait donner le nom de « principe de la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie » :

Les mouvements d'un systcnie matériel {à liaisons holonomes parjaites, soumis à des forces dérivant d' une fonction des forces) sont régis par des équations différentielles du premier ordre entre le temps, les paramètres de position et les paramètres de vitesses, et ces équations différentielles sont caractérisées par la propriété que l'intégrale du tenseur « quantité de mouvement-énergie », étendue à une suite continue linéaire Jermée quelconque d'étals du système, ne change pas de valeur quand on déplace d'une manière quelconque ces états le long de leurs trajectoires respectives.

Dans cet énoncé l'expression état désigne l'ensemble des quantités qui définissent la position du système dans l'espace, l'instant où il est considéré et les vitesses à cet instant.

L'énoncé précédent est plus abstrait et moins intuitif que celui de la moindre action d'Hamilton par exemple. H a néanmoins sur lui un avantage qu'il importe de signaler. Les équations de Lagrange permettent de donner aux lois de la Mécanique une forme indépendante du repérage adopté pour l'espace, et c'est ce qui fait leur importance. Mais le temps

(*) La forme indiquée se présente tout naturelicmeut quand on calcule la variation de l'intégrale d'action d'Hamilton ; elle a déjà été signalée à ce point de vue. C'est du reste ainsi qu'elle est introduite dans ces Leçons.

VIII IT^TRODUCTION

y garde encore une situation privilégiée. Au contraire le principe de la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie donne aux lois de la Mécanique une forme indépendante du repérage adopté pour l'Univers (espace temps) : si l'on effectue un changement de variables portant à la fois sur les paramètres de position du système et sur le temps, il suffit de connaître la forme prise par le tenseur « quantité de mouvement-énergie » dans le nouveau système de coordonnées pour pouvoir en déduire les équations du mouvement. On obtient ainsi un schéma auquel doivent se subordonner toutes les théories mécaniques, et auquel en effet se subordonne la Mécanique relativiste elle-même.

Il est important de faire remarquer que ce schéma ne s'applique qu'aux systèmes matériels dépendant d'un nombre fini de paramètres.

Le présent ouvrage laisse de côté un grand nombre d'applications de la théorie des Invariants intégraux ; en particulier celles, extrêmement importantes en Mécanique céleste, qui se rattachent à la théorie des solutions périodiques du problème des trois corps, à la théorie de la stabilité à la Poisson, sont systématiquement laissées de côté. On s'est limité principalement aux applications relatives à l'intégration des équations différentielles ; mais, même dans cet ordre d'idées, le problème n'est qu'amorcé.

On s'est cependant efforcé de montrer que ce problème ne peut pas être considéré isolément ; on ne fait que l'étriquer si on ne le regarde pas comme un aspect particulier d'un problème plus général dans lequel doit entrer la considération non seulement des invariants intégraux, mais encore des équations de Pfaff invariantes pour les équations différentielles données, et aussi des transformations infinitésimales qui conservent ces équations difiérenlielles. Un exposé complet du problème aurait dépassé de beaucoup le cadre de ces Leçons et aurait au surplus exigé quelque connaissance de la théorie des groupes continus. On s'est borné à montrer en quelques occasions le rôle fondamental joué en dernière analyse par le groupe G des transformations qui, appliquées aux intégrales des équations différentielles données, laissentinvariants tous les renseignements connus a priori sur ces intégrales ('). Tout système d'équations différentielles se ramème à des systèmes types, dont chacun correspond à un groupe G simple. Si ce groupe simple estjini, on obtient des systèmes d'équations

(') Cf. E. Gartam. — Les soas-groupes des groupes continus de transformations ; Ann. Ec. Norm. (3), t. XXV (1908), p. 57-194 (Ghap. I*').

INTRODUCTION It

différentielles qui ont été étudiés spécialement par S. Lieet M. E.Vessiot, qui leur a donné le nom de sytbmes de Lie. Ils se rattachent à la théorie des invariants intégraux en ce sens que, au besoin par l'adjonction de fonctions inconnues auxiliaires, ils admettent autant d'invariants intégraux linéaires qu'il y a de fonctions inconnues. On trouvera, en les envisageant de ce dernier point de vue, quelques indications générales dans le chapitre XV de ces Leçons.

Si le groupe G simple est infini, et si l'on fait abstraction du cas où c'est le groupe le plus général à n variables, auquel cas on ne sait rien sur le système d'équations différentielles correspondant, il admet soit un invariant intégral du degré maximum (théorie du multiplicateur de Jacobi), soit un invariant intégral relatif linéaire (théorie des équations réductibles à la forme canonique), soit une équation de Pfaff invariante (équations se ramenant à une équation aux dérivées partielles du premier ordre). Les chapitres XI-XI V sont consacrés à ces théories classiques.

La notion d'invariant intégral peut être envisagée d'un point de vue un peu différent du point de vue habituel, qui est celui de H. Poincaré, et qui est en somme celui où on s'est placé dans ces Leçons. Au lieu de considérer une intégrale multiple attachée à un système d'équations différentielles vis-à-vis duquel elle jouit d'une propriété d'invariance, on peut la considérer comme attachée à un groupe de transformations par rapport auquel elle est invariante. Les deux points de vue sont du reste connexes. Le dernier est celui auquel s'est placé S. Lie et qui lui a paru pendant quelque temps le seul vrai. Là encore la notion d'invariant intégral joue un rôle important puisque, comme l'auteur l'a montré (*), tout groupe de transformations peut, au besoin par l'adjonction de variables auxiliaires, être défini comme l'ensemble des transformations qui admettent un certain nombre d'invariants intégraux linéaires. Cet aspect de la notion d'invariant intégral est complètement laissé de côté dans ces Leçons.

Plusieurs chapitres sont consacrés aux règles de calcul des formes différentielles qui se présentent sous les signes d'intégration multiple. M. Goursat donne à ces formes le nom d'expressions symboliques ; je propose de les appeler formes différentielles à multiplication extérieure, ou, plus brièvement, formes différentielles extérieures, parce qu'elles

(*) E. Cahtàn. — Sur la struclure des groupes infinis de transformations] Ann. Ec. Norm. (3), t. XXI (190/1), p. i53-ao6; t. XXII (igoS). p. aig-SoS.

X INTROBUCTIO?»

obéissent aux règles de la multiplication extérieure de H. Grassmann. De même je propose d'appeler dérivation extérieure l'opération qui permet de passer d'une intégrale multiple de degré p — i étendue à une variété fermée à p — i dimensions à l'intégrale multiple égale de degré p étendue à la variété à p dimensions limitée par la première (*). Cette opération, qui se ramène aux opérations classiques de dérivation lorsque les

coelTicients de la forme différentielle sous le signe y admettent des dérivées partielles du premier ordre, peut conserver un sens lorsqu'il n'en est plus ainsi. Il se pose à cet égard des problèmes intéressants qui n'ont pas été systématiquement étudiés et qui mériteraient de l'être.

L'ouvrage se termine par deux chapitres, très sommaires du reste, sur les relations de la théorie des Invariants intégraux avec le Calcul des variations et avec les, principes de l'Optique.

On trouvera à la fin du volume une liste, qui n'a pas la prétention d'être complète, des principaux travaux relatifs à la théorie des Invariants jntégraux. Les mémoires relatifs aux théories classiques du multiplicateur de Jacobi, des équations canoniques et des équations aux dérivées partielles du premier ordre ne sont cités que lorsqu'ils se rattachent directement à la théorie des Invariants intégraux.

Le Chesnay, 34 novembre 1921.

(') C'est r« opération D » de M. Goursat.