II. — L'équation de Ptaff invariante de l'Optique
197. Considérons maintenant une famille de rayons lumineux dépendant d'un paramètre a et prenons chacun de ces rayons lumineux dans un intervalle de temps (/q, ^i) dépendant de a et correspondant à un point de départ (•^o> 7o' -0) 'vaiiatle avec a et à un point d'arrivée (x,, ji, ::,) également variable avec Jt. Si l'on désigne pour chaque rayon lumineux par X la fonction auxiliaire qui intervient dans les équations (4), et si l'on applique la formule (3), on obtient
De là résulte que le système différentiel des rayons lumineux, considéré
comme un système d'équations différentielles du premier ordre en x, y, z, t,
jT' jT-f 77, liées par (2), admet V équation de Pfaff invariante
ôF . ôF . ôF . ôF .,
* dx' dj -^ dz' dt'
Cette équation de Pfaff, qui ne dépend elle aussi que des rapporti mutuels
de x', y', 2', r, est au fond à six variables ; son système caractéristique est un système d'équations différentielles ordinaires, qui par suite ne peut qu'être identique aux éqiiations des rayons lumineux.
Nous arrivons donc à la conclusion que les rayons lumineux sont les caractéristiques de V équation de Pfaff
/.x ôF , ôF . ôF . . ôF .,
(5; — , ex -\ 7 oy H -fOZ-J^ ~, et = O'.
c'est l'équation de Pfaff invariante de l'Optique.
198. Dans la pratique l'équation de Monge (i) s'écrit sous la forme ^/ . dx dy dz\ i^-, , dx dy dz .
En posant
dx . dv . dz ,
dt
il est facile de former l'équation de Pfaff invariante. On a en effet
, ôF , ôF , ôF ., ôF
X — ; -hy — >-Hz — ? + ' -j7 = o; dx' -^ ày' dz dt' '
200 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAtX
par suite l'équation (5) peut s'écrire
., ôF . , ,, ôF . , „ ôF . / , ôF , ôF , ôF\.
t' —^ ox -\- t' — ; oy -H f — . 5:; — x' — ? 4- y — ; + 2' — r loi = o. dx' ay -^ dz' \ dx' ^ -^ àf ^ dz'j
Le premier membre étant homogène en x' , y', z' , l' , on peut remplacer respectivement ces arguments par k, j, z, 1 . On a donc, pour l'équation de Pfaff invariante, la forme
Prenons par exemple un milieu dans lequel la surface des ondes est une
sphère, et soit - la vitesse de propagation de la lumière, c étant la vitesse
dans le vide et n l'indice de réfraction (fonction de x, y, z, /). L'équation de Monge est ici
et l'équation de Pfaff invariante est
nr{x'îx -h yoy -\- z^z) — c'^U = O.
En posant
elle devient
n{a^x 4- [35y + yôz) — co< = o ;
se, P, Y sont alors les cosinus directeurs de la tangente au rayon lumineux. Si n ne dépend pas du temps, les lois de propagation de la lumière
admettent la transformation infinitésimale -^ et par suite les équations différentielles qui donnent les rayons lumineux admettent Xa forme invariante
of (aôx + |38j 4- ySz).
Les équations différentielles qui donnent les courbes (géométriques) décrites par les rayons lumineux admettent par suite l'invariant intégral relalij
i(û!5a; -h ^oy -f- ySz) : nous retrouvons le point de vue du Chapitre précédent (n" 191)-
199. Les équations caractéristiques de l'équation de Pfaff invariante de l'Optique peuvent se ramener, comme on sait (n° 152), aux équations caractéristiques d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre (la réciproque est du reste vraie, mais nous ne nous y arrêterons pas).
Vexislence d'un invariant intégral sera assurée toutes les fois que la loi de propagation de la lumière admettra une transformation infinitésimale ; dans tous
LE PRINCIPE DE FERMAT ET l'ÉQUATION DE PFAFF DE l'opTIQUE 201
ces cas on pourra ramener la recherche des rayons lumineux à un problème ordinaire de calcul des variations.
Prenons par exemple le cas où la loi de propagation de la lumière est donnée par l'équation de Monge
n\dx^- -r dy'- + dz^) — c-dl^ = o,
l'indice de réfraction pouvant dépendre de x, y, t, mais ne dépendant pas de z. On a alors la transformation infinitésimale
la forme
io(5) nicL^x -h S5y + vo:) — cof ^ a ^ 3 ^ c ,,
—V, == -^^ ^-^ ^—^ = oc 4- - Ix -f- - 0 y &f
w(A) /lY ï ï "ï
€st une forme invariante. Une fois connues les coordonnées ce et j en fonction de i, on aura z par une quadrature. Quant aux équations différentielles qui <lonnent x et y en fonction de l, elles admettent l'invariant intégral relatif
- ox -H '- oy
OU, ce qui revient au même, l'invariant intégral •où Ç, ïi, Ç sont trois quantités liées par la relation
Les équations des caractéristiques comprennent en particulier les équations
-. dl \/<^''-7Ad^'-^dy^')
dx dy
Les rayons lumineux rendent donc stationnaire l'intégrale
r__ ijx — T,dy + yt = f\/^ '^'' — ^^' — "^y""'
m. — Le principe de Fermât indépendant du repérage de ï espace-temps.
200. Il importe de remarquer que l'équation de Pfaff invariante de l'Optique est liée à l'équation de Monge qui définit la loi de propagation de
la lumière d'une manière indépendante du repérage choisi pour Vespace et le temps. Autrement dit l'équation
ôF . , ôF . ôF . ôF .,
àx' dy' -^02' dt'
est covariante de l'équation
F{x, y, z, t; x',y', z' , t') = o vis-à-vis de tout changement de variables effectué sur x, y, z, t. Cela résulte au fond du principe de Fermât lui-même ; mais on peut aussi retrouver cette équation de la manière suivante, où rien ne diflférencie les unes des autres les variables ce, y, z, t.
Considérons le système de Pfaff
f -. dx dy dz dt
o\x X, y, z, t, -p-, ji , j, sont supposés liés par l'équation (2), et cherchons le
système dérivé de (7). On appelle ainsi le système formé des équations de Pfaff qui sont des combinaisons linéaires des équations (7) et qui jouissent de la propriété que la dérivée extérieure de leur premier membre est nulle en tenant compte des équations (7). En posant, comme plus haut,
toute combinaison linéaire des équations (7) est de la forme
u{dx — xdt) + v{dy — ydt) -h w{dz — zdt) = o.
Si l'on tient compte des équations (7), la dérivée extérieure du premier membre se réduit à
\dt(udx -h vdy ■+- wd'z)] ;
la condition pour qu'elle soit nulle en tenant compte des équations (7) et de l'équation (2) différentiée est
[dl{udx -h vdy + wd'z) {dx — xdt) {dy — ydt) {dz — 'edt)dF] = o,
ou, en simplifiant,
dx dy dz dt{udx -+■ vdy -t- wdz) i—^dx-] dy -\ 7 dz\\= o.
I \oCC oV OZ j J
Cela donne
gF
dF
= ôF-
ày
Le système dérivé du système (7) est donc tout simplement l'équation de- Pfaff
g {dx - xdt) + ~(dy- ydt) -f- l' (dz - zdt) = o, dont les caractéristiques sont les rayons lumineux.
LE PRINCIPE DE FERMAT ET l'ÉQUATION DE PFAFF DE l'oPTIQUE 2o3
Il résulte de là que, même en Optique, la coordonnée temps ne joue pas un rôle essentiellement différent de celui joue par les coordonnées spatiales. Les lois fondamentales de l'Optique ne sont pas liées nécessairement aux notions classiques de l'espace et du temps et se transportent telles quelles dan» la tlicorie de la relativité.
201. Par exemple, en choisissant un repérage convenable pour l'Univers (espace-temps), les lois de propagation de la lumière dans le champ de gravitation produit par une masse unique (réduite à tin point), sont fournies par l'équation de Schwarzschild
^''' ■ r\dO^ + sin»6c/ç) — (i — ^)dt^ = o.
Ges lois admettent; la transformation infinitésimale J; les rayons lumineux,
considérés au seul point de vue de l'espace, sont donc définis comme réalisant l'extremum de l'intégrale
La propagation se fait dans un plan passant par le centre d'attraction et, si on suppose ce plan défini par ç = o, on a à réaliser l'extremum de l'inté-
dr^ r'dè^
de la trani gration n'offre aucune difficulté et donne
En se servant de l'existence de la transformation infinitésimale -4, l'inté-
dr
