I. — Le principe de Fermât
195. Nous avons dans le Chapitre précédent considéré un invariant intégral de l'Optique des milieux isotropes, en y supposant l'indice de réfraction indépendant du temps.
Prenons maintenant un milieu quelconque dans lequel nous supposons la propagation des ondes lumineuses définie par une équation de Monge
(i) F{x,y,z,t; dx, dy, dz, dt) = o
homogène en dx, dy, dz, dt. Cela signifie que l'onde émanée d'un signal lumineux émis à l'instant t au point (x, y, z) a pour équation, à l'instant i-^dl,
F{x, y,z,t: X — X, Y — j, Z — z, dt) = o.
La surface d'onde relative au point {x, y, z) et à l'instant t a, comme on sait, pour équation
Dans un tel milieu un rayon lumineux est défini en prenant pour œ, y, z trois fonctions de t satisfaisant à l'équation (i) et, de plus, à une condition supplémentaire qui constitue ce qu'on appelle le principe de Fermât. Parmi toutes les courbes satisfaisant à l'équation (i), ou, comme on dit, parmi toutes les courbes intégrales de l'équation de Monge (i), le rayon lumineux émané d'un point donné (a^g, Jo, z^) a. l'instant t^ et passant par le point donné (xi, ji, zi) est celle de ces courbes qui rend minimum le temps <i — t^ nécessaire à la lumière pour aller du premier point au second. Autrement dit les rayons lumineux sont les exlrémales du problème de Mayer défini par l'équation de Monge (i).
LE PRINCIPE DE FERMAT ET l'ÉQUATION DE PFAFF DE L'OPTIQUE I97
196. Rappelons rapidement comment le principe de Fermât conduit à la formation des équations différentielles qui définissent les rayons lumineux. Imaginons un rayon lumineux partant du point (a-g, y^, z^) à l'instant /(, et aboutissant au point (ce,, yi, Zj) à l'instant i,. Etant donnée une courbe intégrale quelconque de l'équation (i) infiniment voisine du rayon lumineux, on peut supposer que x, y, z, t sont, tant pour le rayon lumineux que pour la courbe intégrale, exprimés en fonction d'un paramètre u, les valeurs o et I de ce paramètre correspondant, pour le rayon lumineux, à l'instant t^ et à l'instant ti. Soient
les fonctions de u relatives à la courbe variée. Désignons par x', y\ 2', /', les
dérivées de x, y, z, t par rapport à u. On a, en écrivant l'équation (1) sous
la forme
et en variant cette équation,
ôF. ôF. , ôF. ôlv, ôF . , ôF., ôF. , ôF.„
— ox-\ oyH 0Z-] — -ot H -,ox -] .ov -\ -.oz -\-—-,ot' = 0.
dx dy '' dz àt dx dy '' àz dl
Multiplions le premier membre de cette dernière équation par Xdu, X étant une fonction indéterminée de «, et intégrons entre o et i ; nous aurons
ôF , dz , ôF , df
X — 5x4-X — ov-hX — oz + X— -Sf + X — >S-j — hX — , ^^ tdx ôj «^^ ô' 9^ "« 0/ au.
. ôF ^dz .liY^dl^, 4-X— 70-Î — hX— 70j-du = o, ôz' du. ^l' duj '
ou, en intégrant par parties,
Si la courbe intégrale voisine du rayon lumineux satisfait aux conditions initiales et finales imposées, on aura
et par suite
On peut se donner arbitrairement les fonctions Sx, Sj, oz pourvu qu'elles s'annulent aux limites de l'intervalle; déterminons alors la fonction X
ÔX
-âM)--
bz
-fM)--
-im-'>-
igS LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
par la condition que le coefficient de ot dans la cjuantité sous le signe I soit nul. Pour que (6«)i soit nul quelle que soit la courbe intégrale variée, il faut et il suffit que les coefficients de 8x, 8j, 5z dans la quantité sous le signe /
soient nuls aussi.
Autrement dit, en introduisant une quantité auxiliaire X, les rayons lumineux sont donnés par l'équation (2) jointe aux équations
L'élimination de X donne du reste, à côté de l'équation (2), les trois équations
.,,, ôa; du\dx') ôy du\ày') dz da\dz') dt lJu\dt'/ (^) w -" ^P = ôF ôF '
àx' ?>j' 02' M'
auxquelles il convient d'ajouter
• dx , dy , dz^ , di ,
du ' du' ^ ' du ' dû
On voit immédiatement que l'équation (2) dérivée par rapport à. u et les
équations {4') donnent -j- , -f- , --tj-t par quatre équations du premier
degré et les valeurs qu'on en déduirait ne dépendent pas deu. Le paramètre u n'intervient donc qu'en apparence, comme il est naturel, dans les équations finales, qui sont de la forme
dx dy dz dt dx' dy' dz' dl'
où X, Y, Z, T sont^des fonctions déterminées de x, y, z, t, x', y', 2', t', homogènes du second degré en x', y', z', t', et satisfaisant à
[dx '' dy dz dt bx by bz bt
En réalité les équations différentielles des rayons lumineux sont des équations différentielles ordinaires du premier ordre en x, y, z, t,-p,y, j,, ces sept quantités étant supposées liées par la relation (2).
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