MA . CA

Ml! ■ eu ~ M'U' ■ C'I3' Si ab c X sont les abcisses des points ABC M, . points correspondants A' B' C M' , on aura :

[■respondants a d'après la

jn tirant x', de cette équation, on a une expression de la lornic i' ^ - ■ - ^ Si inversement oa savait qu'il existe entre x et x' une 'dation de cette lorme, la propriété londamentalo se démontrerait à l'aide de la proposition du § 14, rappelée ci-dessus. Or il est lacile de prouver l'existence de cette relation, ce qui constituera une troisième démonstration du principe foudamenlal. Soit l' le pied de la perpendiculaire abaissée de S sur D, Q' celui dû la perpendiculaire menée de S sur D' ; en clinisissant un sens pour compLer les angles on a en grandeur et signe :

et d'autre part on aura en posant PSQ' — « : Q'S'M' - „ tg Q'SM' -- ta PSM

1 + tg PSM m (J'âW'

l'M.JJM' SP'.SQ'

appelons p q les quantités SI', SQ . lï I) les abcisses de P et Q', x,

les de M et M' on a ; (y « = -J^'j^l^;^l^f^-

équation qui, résolue par rapport à œ' a bien la forme annoncée.

LEÇOMS SUli LES MÉTUÛDI'LS 1>E OKOMÉTRIlî MOLKIINK 15

§ 19. — Raitort amiarmom!jue du quathe plans. ~ Considérons quatre plans P, P, P^ P., se coupant suivant une même droite L et soient deux droites A et i', la première coupant les quatre plans en A D C D, la seconde loa coupant en A' D' G' D'. Je dis que les rapports anUai'moniques (A B C D) (A' B' C D') sont égaux. Prenons en elîet sur la droite L deux, poinis S et S'. Les deux plans Si, S'i' se coupent suivant une droite w, rcnconlraot les quatre plans en « p y S. Et puisque la droite s. est à la lois dans le plan Si el dans le plan S'i', les points a fi'/ S sont â la fois sur les rayons du faisceau S (ABCD) et sur ceux du laisccau S (A'B'C'D') on a donc dans le laisceau S (ABCD).

(AliCD) = {«%■/ n) (§ f6)

et dans le faisceau S (A'B'C'D')

donc (AliGD) = (A'B'C'D') ce qu'il tallait diSmontrer.

Le rapport anliarmonique (ABCD) se nomme le rapport aiiliaimooique des quatre plans. En supposant que la droite i soit perpendiculaire à la droite L et en appelant par exemple P, Rj l'angle des deux plans P, Pj on voit que :

1 P. Pi

§ 20 — CoNsyquEKCEs uu tuéouèhe ro,\ dament al. — 1° Si dein systèmes de quatre points en li^ne droite ABCD AIl'C'D' ont un point commun A et si les rapports anharmoniques fABCDJ (ABCD' l «owï hjaux, tes droitex lïB' et Dff concourent en un même point.

Désignons par S le point oCi se coupent BB' CC DD' par D, le point ou SD' rencontre la droite ABCD. Dans le faisceau S (ABCD) coupé par deux droites, on a (§ 16) (ABCD,) — (AB'C'D') et comme par hypothèse (ABCD) — (AB'C'D'), il en résulte (ABCD) — (ABCD,) c'esl-à- C.V DA CA DiA ,, , DA D,A . ,0 c, . -,

*" ci ■ M = cS ^ d7b i ■> <»' 65 = d7b ' "•"' '§ *' '•" I»""'

D el D, coïncident. SD' et SD coïncident donc et par suite DD' passe par le point S fce qu'il fallait démontrerj.

§ 21. — 2* Soient quatre droitres a^yS passant fMV un même point, c'est un faisceau de quatre droites. Si deux faisceaux de quatre droites «pyS «jS^S ont un rayon coinmun a, si les rapports anharmoniques, ["PyS) («P7S) sont égaux, les points derencontrede ,5 et ^' de 7 et dey et de S et S' sont en ligne droite.

Soient et 0' les sommets des deux faisceaux, P le point ou ^

coupe ^', Q le poiat ou 7 coupe 7', PQ coupe S en R, et S' en R, A. le point

0(1 PQ coupe a. Le rapport anharmonique du 1"' faisceau est {APQR,)

celui du second est (APQR^) donc (APQR,) — (APQR,) ou ~ : |i^ ^

(JA . H,A HsA R,A , , - , n m V -j i \

jj^ ■ j,-p doft p p — p-.j donc les points R, et Rj coincident, donc

S et 3' coupent PQ au môme point, ce qu'il fallait démontrer.

Applications des deux principes précédents

!S TRIANGLES HOMOLOoiQUES. — Cousidérons deux friawj/i€s ARC,A'B'G'. J'appellerai toujours dans ce qui mil a le point de

î de BC et B'C, p celui de CA, C'A', y celui de AB, A'B', p (a droite AA', Q la droite BB', R ta droite GC. On a alors ta double proposition suivante :

Si p, Q, R concourent en un môme point S, », ^, y, sont sur une môme tiroite L, et rcciproqueui^ii!.

LEÇONS SUn LES MUTliODMS DU L,\ GEOMETRIE MODERNE

Supposons d'abord qua P Q R concourent en S ; soiant D et IJ' les points où P coupe BC et B'C, les droites PQU et Sa sont coupées en DBC« par BC, en D'B'C'h, par B'C'donc(DBC«)=(D'B'C'tt);dèslorsies deux faisceaux A(DBC-') A'(D'B'C'ft) ont môme rapport anhavmo- BÎque, et la droite P qui contient A,DiD' étant un rayon commun, AB, A'B', AG, A'C, Ah, A''/, se coupent en trois points en ligne droite; w § 7 sont donc en ligne droite (ce qu'il (allait démontrer). Supposons ensuite que k ^ y soient sur une mt'me droite L, il en résultera que les deux iaisceaux A(DBC*) A' (D'B'G'w) auront tous deux pour rapports anharinonique H y |5 «, H étant le point ou ADD' coupe L ; donc DB(; « — D'B'C «, donc DD' ou AA', BB', CC sont concourantes ('ce qii'il fallait dértiontrerj .

Lorsque deux triangles sont dans les conditions du théorème précédent on dit qu'ils sont homologiques, S est le centre d'homologie, L l'axe d'homologie. Nous étudierons l'homologie dans un chapitre spécial, nous hornant pour l'instant à faire connaître deux propriétés des triangles homologiques.

§ 23. ~ Théorème. — Si deux trimaks ABC, A'B'C, sont iiomologiques d'un troisième A"B"C" avec le même axe d'homologie, ils sont aussi homologiques entre eux et les trois centres d'homologie de ces trois ti-iangles pris dmx d deux sont en ligne droite.

Pour le démontrer, je remarque d'abord que AB coupant l'axe d'homologie L en y, A'B' le coupe aussi en 7, ainsi que A"B" parceque AB et A"B" doivent se couper sur L ainsi que A'B' et A"B". Do inÊme BC B'C B"C" coupent L au même point «, CA C'A' C'A" coupent L au même point jS. Ce;i lait voir d'abord que les deux ligures ABC A'B'C sont homologiques puisque leurs côtés correspondants se coupent en 3 points a jS 7 situés sur une même dro

oite L.

LEÇONS SUR LES MKl

Consiilérons maintenant le triangle AA'A" et le triangle liB'B", les lignes AB A'B' AB A"B" A'B' A"B" concourent en y. Donc ces deuï triangles sont bomologiqucs, donc AA' et liB' AA" et BB" A'A" et B'15'' se coupent en 3 points i", l\ P, en ligne droite, or Pa est justement le centre d'boraologie de ABC A'B'C, P, celui de ABC A"B"C', P, celui de A'B'C A"B"C"; le théorème est donc démontré.

TEiÉoRiîME. — Si deux triangles ABC A'B'C sont ho m o logiques d'un traisième A"B"C", avec le même centre d'homologie, ils sont aussi liomologiques entre eus et les trois axes d'homologie de ces trois triangles pris deux à deux concourent au même point.

En premier lieu les pointa A et A' étant en ligne droite tons les deux avec A" et le centre S d'homologie, la droite AA' passe par S. De mômeBB' et CC passent par S, ce qui prouve que ABC et A'B'C sont homologiques.

Considérons maintenant le triangle formé dea droites BG, B'C, B"C" et le triangle lormé par les droites CA C'A' C'A" ; le point C où se coupent BC et CA, le point C où se coupent B'C et C'A', le point C" oîi se coupent B"C' et C'A" sont par hypothèse sur la droite SC, donc les deux triangles considérés ci-dessus sont homologiques puisque leurs côtés correspondants se coupent sur SC ; donc la droite joignant le point de rencontre de BC et B'C au point où se coupent CA C'A', celle qui joint le point de rencontre de BC B"C" au point où se coupent CA C'A"-, celle qui joint le point de rencontre de B'C B"C" au point oCi se coupent C'A' C'A" concourent. Or ces trois droites sont les axes d'homologie des trois triangles donnés pris deux i\ deux ; le tliéorème est donc démontré.

§ 24. — 2" Faisceaux HAnMOSiQUEs, PnopniiiTÉ i QOADBiLATÈHB COMPLET. — Si Ig rapport (whaiinottîqtie d'.un faisceau

S(ABGD) est égal à — 1 , on dit que te droites SA et SB sont conjuguées l'une de l'autre par rapport à SC et SD, ou bien que SG et SD sont conjuguées par rapport à SA, SB. Dans ce cas une sécante quelconque coupe les droites en quatre points conjugués Mi-moniques .

Supposons que dans le rapport fyi : ^v, , CA et DA croissent indéfiniment le point A s'éloignant ; jt'^ aura pour limite l'unité, car CA CD 4- DA , , CD CD , . „ CA DA

^ —^^~ ^ 1 + Di «^ ID ^^"'^ ^"^ ^"''- ^™*= CB ■ Dli lend vers ™ . Si donc dans une division harmonique le point A est à l'infini on aura p.,^^ —1 ou CB = lîD. Lo conjugué do A asl lo milieu de CD.

On reconnaîtra donc qu'un faisceau est harmonique à ce qu'en menant une parallèle à SA, le point où elle coupe SB est le milieu de ceux où elle coupe SC et SD.

§^. — Etant données troin dioiles SA, SC et SD, proposons-nous de construire ta droite conjuguée de SA par rapport à SG et SD.

Par un point A pris arbitrairement sur SA menons deux sécantes AGD AG'D'qui coupent SG et SD la première en C et D la seconde en G' et D'.

La droite cLerchée doit passer par S, par le point B conjugué de A par rapport à G et D, par le point IV conjugué de A par rappoi't à C et D'. Soit T le point où se coupent DC' et D'G, les points B

2U LliÇDNS SUR LKS METHODES DE LA GlilOMETUlE MODERNE

et B' étant conjuguas de A par rapport ù C et D et par rapport à G' et D' sont sur la droite conjuguée de TA par rapport à TDC, TD'C, donc la droite BI!' passe par T. Cette droite est donc la droite ST.

Considérons! l'ensemble des quatre droites SDD' SCC TDC TD'C, ces quatre droites lorment ce qu'on nomme un quadrilatère complet, ST, CD et CD' sont les diagonales ; on voit donc que dans un quadrilatère complet chaciue diagonale est divisée liarmoniqiiement par les deux autres.

En faisant jouer à S le rôle de A et à A le rôle de S on verrait que T et S sont conjugués par rapport à B et B'.

On donne quelquefois aux diagonales d'un qiiadriiatùro complet le nom de faux côtés.

La figure formée de quatre points D C D' G' s'appelle un quadrangle complet, A S et T sont les faux sommets. Il résulte de ce qui précède, que les 3 faisceaux S(ATGD),T{ASCD), A{STGG') sont liarmoniques ; , donc, dans un quadrangle complet, les droites joignant un faux sommet aux deux autres sont divisées harmoniquemenl par les côtés qui aboutissent à ce faux sommet. U y a dans un quadrangle complet six côtés (CD, CD', ce, DD' CD' DC) de mémo qu'il y a six sommets dans un quadrilatère complet.

§ 26. — Avant de passer aux applications qui vont suivre, je vais

démontrer une propriété du rapport anharmonique,

.. CA . DA OA . D'A Supposons que. Ion ait cB ■ n!) ~ GB ' Dit

, ,. . CA . OA DA . D'A cette relation peut s écrire ^B ■ c'a ^^ DB ■ D^

c'est-à-dire que l'égalité (ABCD) — (ABC'D') entraine (ABCO— (ABDD') En joignant les points A B C D à un point S on a une propriété analogue relative au rapport anharmonique de deux faisceaux ayant deux rayons communs.

LEÇONS SUES I.IÎS MI!l'H0DE'5 DE LK. GEOMÉfRiE MODERNE

Propriétés des hexagones de Pascal et de Brianchon. Remarques sur la dualité.

§ 27. — 1" Hexagone be Pascal. — Soil un hexagone dont ies sommets sont A B G D E F. Nous désigaerons par AB la droite allant de A en lî, pai' A(GDEF) le faisceau de sommet A tormii des droites AG AD AE Al^ Cet hexagone sera dit de Pascal si l'on a l'égalité

(') A(CDEF} — B[CDEF)

dans cette égalité, les sommets A et B jouent un rôle particulier ; je dis qu'on peut faire jouer ce rôle à deux sommets quelconques; je vais démontrer d'aliord que l'égalité ('} entraîne la suivante :

(=) G (ABE[^):^D(ABEF)

En elîot, supposons que AC coupe EF en «, AD coupe EF on jS, BC coupe EF en 7, et BD coupe EF en 3, l'égalité C) entraîne (en coupant par EF)

(') («,SEF)=(î5EF)

ou on vertu de la remarque faite ci-dessus (') (nEF)=:(,5SEF)

d'où C (!'.7EF) = D (i55EF) maisCc-, C7 D,S DS sont prQcisémcnt G\ CD I1A DB; donc;

(') CCABEi') = D (ABEF)

ce qui démontre la proposition.

On aura aussi (") A(BBEF)= G (BDEF)

en effet, d'après ce qu'on vient do démontrer, l'égalité (') en traînera

E (BDAC)=: F (Bl)AC)

et l'égalité iiréeédente cntraincra l'égalité ('■}

§ 28. — Hexagone DiilJiUANCHON.— Soil un hexagone dont les côtés sont A B C D E F. Nous désignerons par AB le point de renconlr.e de A et de B, par A (GDEF) le système de points situés sur la droite A lormé des points AC AD AF. Cet hexagone sera dit de Brianchon si l'on a l'ego lité.

('] A (CDIÎK) = B (CDEF)

Dans celte égalité, les cotés A et B jouent un rôle particulier. Je dis qu'on peut faire jouer ce rôle à deux côtés quelconques. Je vais démontrer d'aljord que l'égalité C) entraîne la suivante : (") C (ABEF) = D(âBEF)

Un elTet, supposons que la droite qui joint AC à EF soit «, celle qui joint Al) â EF soit ^3, celle qui joint BG à El"' soit y et celle qui joint BD à EF soit S- L'égalité P) eotraino {en joignant au sommet EF)

ou en vertu do la remarque laite ci-dessus

C) («ïEF) = (f,^ EF)

d'où G [«yEF) — D(f;5EF)

mais les points C« Cy D,3 DS sont précisément CA CB DA DB.

(»] donc C (ABEF) — I) (ABEF) rn qu'il fallail démontrer/

on aura aussi

(') A (I!DE1'') = C(DDEF)

En eilet, d'après ce qu'on vient de démontrer, l'égalité (') entraînera

E (BDAC)= F (BDAC) et cette dernière égalité entraînera l'égalité (').

En comparant les deux propositions précédentes et leurs démonstrations, on voit qu'elles se translorment l'une dans l'autre en changeant la signification des lettres, do telle sorte que ce qui désignait des points dans la première, désigne des droites dans la seconde et inversement. Deux pareilles propositions sont dites corrélatives. Voici encore deux

LKÇONS SUR LES MKTIIÙDES DE LA GKOMETRIE MODI'.l

propositions corrélatives, relative I'q l'autre à un hexagone de Brianclion.

hexagone de l'ascal,

s [)oioLs de rencontre dns

S 29. — 1° Dans un hexagone do Pascal côfés opposés sont en ligne droite.

C'est-à-dire que si nous numérotons les côtes AB 1 , BC 2, CD 3, DE 4, EF S, FX G ; 3 le point a où se coupent 1 et 1, le point ^ où se coupent 2 et 5, le point 7 où se coupent 3 et 6 sont en ligne droite.

Prenons les sommets A et C (pii ne sont ni opposés, ni conséculits ; de ce que l'hexagone est de Pascal, on déduit :

(') A(BDEF) — C{BDEF)

AB coupe par hypotliûse DE en c, AD coupe DE en D, AE coupe DE en E, soit M le point où AF coupe DE, on aura

O Â(BDEF) = (aDEM)

dei môme CA coupe EF en ^3, soit N le point .où CD coupe EF, CE et CF coupent EF aux points E et F, donc (') C(BDEF) = (.'îNEF}

Des égalités (') {") et C) on déduit; (') (-yDEM) — (.^NEF)

le point E étant commun à ces deux divisions, a.p, D.V, MF se coupent au môme point. Or, N est sur CD, DN c'est CD, de même M est sur FA MF c'est A F, le point de rencontre de DN et MF e:it donc ■/. doue ^,5 passe par y {'ce qu'il fallait dhnontrerj .

s METHODES DE LA GEOMETRIE MODERNE

§30. — 2" Dans un liexagonc do Brianclion loa droites joignant les somiiicta opposés conraarciit on un mêms point.

I C'est-à-dire C[ue si nous numéro-

tons les sommets : .ABl BQ2 CD3 DE4 Kl'' 5 TA 6, la droite « qui joint 1 et 4 ia droite p qui joint2 et o, la droite'/ qui joint 3 et 6, sont concourantes.

Prenons les oûtéa A et C qui ne sont ni opposés ni consécutifs.

De ce qne l'hexagone est de Brianclion, on déduit:

O A (BDEF) — G(BDEF)

La droite joignant AB à DE est par hypotliÈso a, la droite qui joint AD à DE est D, la droite qui joint AE à DE est E, soit M la droite joignant AF à DE, on aura ; f») A(1!DEF) — (cUEM)

Do même la droite joignant CB ù EF est ^^, soit N la droite joignant CD à EF, les droites joignant CE et CF à EF sont E et F ; d'où {') C (BDEF) ^ (SNEF)

Des égalités [') (') et (■') on déduit