TROISIÈME LI'ICON

Pôle et polaira par rapport à un cercle;

Polaire réciprociuss dans le plan ;

Pôle et plan polaire par rapport à une sphère;

Polaires réciproques dans l'espace ;

Dualité.

§ 32. — A cliaque point A du plan, nous allons laire correspondre une di-oile do la façon suivante. Désignons par un point fixe c[ue nous nommerons lo cmtre; par k une certaine constante. Joignons A au point et sur !a droite OA, preaons le point P tel que l'on ait en grandeur et en signe, OP X OA ;^ k, enfin par !e point P menons uae droite D perpendiculaire à OP. C'est cette droite que nous ferons correspondre au point A. Nous la nommerons polaire du point A, et le point A s'appellera pôle de la droite D. Remarquons que si k est positif, A et P sont du mèms côté du centre 0, mais qu'ils sont de côtés différents si k esinégatif.

^ 33. — 1" Si la polaire d'un point A passe par un point B, la potalre du point B passe par le point A,

Construisons, comme il est dit ci-dessus, la polaire 1) de A, qui est perpendiculaire sur OA et coupe OA en P. Supposons qu'eile passe par B. Joignons OB, menons du point A une perpendiculaire sur 0B rencoQtraut Olïau point Q. Je vais démontrer queAQ est la polaire de lï; il ïaut pojir cela taire voir que OQ X OB := k.

Or, les deux triangles OPB, OQA, tous les deux rectangles, ont un angle aigu égal. (Si jt > ils ont un angle aigu commun, si ^' < leurs

LEÇONS SUR LES METHODES HE LA GEOMETKIlî MODEBKi; Zl

angles en sont opposés par le sommet.) Ces deux triangles étant

semblables oa a ^ ^ |? ou OA X OP = OB X OQ

Or le premier membre est égal à k par hypothèse; on a donu :

OB X OQ = fe En outro si A; > 0, 013 et OQ sont de même signe, ils sont de sifini;s contraires si fc < 0, l'égalité est donc vraie en signe, Ce qui démontro la proposition.

■ On peut déduire de cette proposition les deux coroHaîres suivants. Soit D uue droite passant par un point A, B le pôle de D, i la polaire de A. Si D toarno autour de A, B décrira la droite lixe A. Si A décrit D, A tourne autour de B. Par conséquent, si un poiat décrit une droite, sa polaire tourne autour d'un point fixe, pùle de cette droite. Si une droite tourne autour d'un point, son pôle décrit une droite polaire de ce point.

§ 34. — 2™ Le rapport anhavmonique de quatre points en ligne droite est égal à celui de leurs quatre polaires.

En effet, soient A B C D quatre points sur une droite a. ,/ ■; y ,1 juurs quatre polaires, qui passent par le pôle P do A, on a

{ABCD):::0(ABCD) or le faisceau (ABGD) s'obtient en taisant tourner d'un angle droit celui des quatre polaires, et le transportant ensuite parallèlement à lui-môme. On a donc:

(ABGD) = (m [^y S) donc (ABCD) — (« ,ft ^ 3) (ce qu'il fallait démontrer) .

' Quand la constante K est positive, posons K ^ ït', et considérons un cercle déctit de comme centre, avec R pour rayon.

Soit A un point, D sa polaire, et B un point de cette droite, choisi de laçon que AB coupe le cercle on P et Q. Je dis que P et Q sont conjuguée harmoniques par rapport A et B.

Menons BE perpendiculaire sui- AO, OH perpendiculaire sur AE de façon que H est le milieu de PQ.

Les triangles EAE AOH ayant on angle aigu commun sont semblables, et l'on a ;

AIÎ AO

a"ë ~ Ali

ou bien ÂO X AE — AB X AH, et cette égalité a lieu aussi en signe.

Remplaçons AE par OE — DA, AB par HB — IIA; l'égalité précédente

deviendra ;

OA [OA ~ OEj = HA [HA - IID] comme OA X OE = B' et que OA' — HA' = OH' il vient : HA X HIS — H' - OH' Si commeon l'a supposé onaH> OH, on a aussi B' — OH' =111" et par suite HA X HB r:: HP'.

Ce qui démontre la proposition.

Si la droite no coupait pas le cercle, on aurait tout de mi^oïc la relation :

HA X HB = R' - OH' nous dirons encore, et ceci devra être considéré jusqu'à nouvel ordre comme une simple locution, que les points A et B sont conjugués par rapport aux deux points imafi'mciifes oh la droite AB coupe le cercle. Ce n'est là qu'une manière d'énoncer l'égalité précédente.

g 36. — Cas ou la constante k est nbûative. ~ Si la constante k est négative, on peut poser k^= ~h^. Elevons au plan de la ligure par le point une perpendiculaire OS égale à h. Soit A un point, D sa polaire, P le point où OA rencontre D. D'après l'hypothèse on a OA X OP — — ft', ce qui prouve que io triangle ASP est rectangle en S. Comme OP est perpendiculaire sur D, il en est de môme de SP d'après le théorème des trois perpendiculaires. SP étant perpendiculaire sur D, le plan SOP (et par suite sur SA situé dans ce plan) est perpendiculaire sur D. Donc le planSD est perpendiculaire àSA,

La droite D se déduit donc du point A par la construction suivante :

s MlîTKODES DE LA GEOMETRIE MODERNE

On joint AS et par S an mène un plan perpenclioulaire à cette droite ; ce plan coupe, suivant la droite, D, le plan de la figure.

§ 37. — Courbes POL.vmEs iiéoiproques. — Considérons nne ligae brisée polygonale dont les sommets sont A B C D, et soient «SyS les polaires de ses sommets ; le point «,5 où se coupent les droites «et (5 étant à la lois sur la polaire de A. et sur celle de B, a pour polaire la droite A8 (§33), Ces polygones ABCD K^ïyS sont réciproques. Les côtés de l'un ont pour pôle des sommets de l'autre, et inversement.

Au lieu d'une ligne brisée, considérons nne ligne courbe C ; menons la tangente en A à cette courbe, soit A, son pôle. Quand A se déplacera sur ia courbo C, le point A décrira une certaine oouri)e C, . Je vais démontrer que !a tangente à G, au point A, a pour pôle le point A. Enedet, soit Bun pointvoîsiadeA,B,lepôlede la tangente en B, D le point où se coupent les tangentes en A et en B. Les tangentes en A et B passant par D, la polaire de D passe par les pôles A, et B,, de ces tangentes, c'est donc A,B,. Quand B vient en A, il en est de même de D un point d'une courbe pouvant être considéré comme le point d'intersection de deux tangentes infiniment voisines. Alors B, se rapproche de Aj, et la droite A, B, devient la tangente en A,, qui est ainsi la polaire de A (position limite de D).

(Nous nous appuyons sur ce fait facile à constater que la position limite de la polaire d'un point est la polaire de !a position limite de ce point).

Les deux courbes C et G.'se nomment deux courbes polairen réciproques.

§38. — PoLAiBERKciPROQiiE n'vs GÉnçLE. — Nous démontrerons d'abord le théorème suivant :

Le rapport des distances de deux points A. et h au centre est égal au rapport des distances de eltaoun deces points à la polaire de l'autre.

l LES METHODE?

^. GEÛMEÏiUE MODl!',RNE

Soit Pie point où la polaire do A rencontre OA, Q celui où la polaire de lî rencontre OB,on a : OA X 0P= \\\ OB X OQ ^ I!'.

Du point B menons RM perpendiculaire sur la polaire de A, el la coupant en M; menons de même AL perpendiculaire sur ia polaire de B et là coupaDt en L. Enfln supposons que la parallèle menée par A à la polaire de B coupe OB en H, et que la parallèle menée par B à la polaire de A coupe OA en K. De cette façon ALQII, BMPK sont des rectangles, et l'on aura (§ 4)

OP = OK - PK Or PK ^ MB comme côtés opposés d'un rectangle, donc OP = OK — MB pour la même raison, OQ ^= OH — LA .

La relation OA X OP = OB X OQ donne alors :

OA X lOK - MB) ^ OB [OH - LA] Mais les triangles rectangles semblables OBK, OAII donnent : ol ~ ÛK °" OA X OK — OB X OH (ceci a lieu aussi en signe) il reste donc dans l'égalité précédente :

OA X BM = OB X AL ou encore :

OIS~ liM

ce qu'il fallait démonlrer.

I* METllODKS DE LA fiEOMETEllE MODERNE

§ 33. — Considérons maintenant un cercle de ceolie G eL de rayon a : soit ï une tangente, i la polaire de G, M le pôle de T. Désignons par le signe M, i la distance du point m à la droite à. On aura d'après le lemme ci-dessus :