OB

OC

— - est une constiinie que nous désignerons par e. Le lieu cherché, polaire réciproque du cercle G est donc le lieu des points dont le rapport des distances à un point fixe et à une droite fixe 4 est égal à une constante e.

Nous verrons plus tard qu'une telle courbe est une section conique. est un foyer, 4 une directrice, e l'excentricité.

On peut voir dans quel cas la courbe a des brandies inlinies. On voit sans peine que si 1 vient passer par 0, le point M s'éloigne à l'infini dans une direction perpendiculaire à T.

Or si est extérieur au cercle G, deux tangentes T passent par 0, il y aura donc sur la courbe deux points à l'infini. Il en sera ainsi si OC > a ou e > 1. Si OG = a, {ou e — 1) les deux directions se réduisent à «ne seule. Si e < 1 il n'y a plus de tangentes issues de S C, partant plus de branches infinies. On a ainsi les trois formes de sections coniques, hyperbole, parabole, ellipse.

§ 40, — PoLË ET PLAN POIJIIBE PAR RAPPORT A ONE SPHÈRE. —

Donnons-nom ■maintenant dans l'espace un centre et wne constante K; à tout point A de l'espace nous feions correspondre un plan P de la fiteon suivante.

Prenons sur OA un point H, tel que OH X OA^^K, (on grandeur et signe) et par ce point nous mènerons le plan P per-

6'i LEÇONS SUR LES METHODES DE LA, r.EOMKÏRU: MODEltNK

pendiculaire sur OH. Le plan l* ainsi construit seia le plan polaire de A.

Si on mùnc par OÂ un plan quelconque, il coupera le plan P suivant une droite D, perpendiculaire à OH, de sorte que dans ce plan D sera ia polaire de A. Cette propriété permet de ramener l'étude du plan polaire à celle do la polaire dans le plan. Ainsi :

i° Si le plan polaire d'un point, A passe par wn point D, Je plan polaire de B passe par A; en ellet le plan AOIi coupe le plan polaire suivant deux droites qui sont lea polairÈs respectives de A et de B, et l'on est ainsi ramené à ce théorème démontré antérieurement, que si la polaire de A passe par B, celle de B passe par A.

§41.-2" Supposons que plusieuis points soient en ligue droite sur une droite D, il est facile de voir ce que sont leurs plans polaires. Us sont d'abord tous perpendiculaires au plan OD puisque chacun d'eux est perpendiculaire à une droite de ce plan ; de plus si de on abaisse une perpendiculaire sur D, qui coupe D en K, et si on prend sur cette droite le point L tel que OK X OL — k lea plans polaires passeront tous par L, parce que le plan polaire de L contient D ; tous ces plans passeront donc par une même droite menée par L perpendiculaire à D, soit A cette droite. Ces deux droites sont dites conjuguées.

On voit que deux droites conjuguées D4 sont rectangulaires entre elles et perpendiculaires toutes deux à l'intersection des plans OD, OA. Enfin le produit des distances OD X OA est en grandeur et signe égal à K. Quand un point est sur l'une de ces droites son plan polaire passe par l'autre.

§ 42. — 3' Le rapport anhannonique de quatre points en ligne droite est égal à celui de leurs quatre plans polaires. — On le voit de suite en coupant par le plan qui contient la droite et passe par 0. On est ramené au théorème analogue de géométrie plane.

LEÇONS SUU L

g 43. — Cas ou l\ constante k i;aT positivk. — Si la conslanLe l est positive, on peut poser k ziz R\ et considérer uue sijlière de rayon R ayant le point pour centi-e. Si une sécante passant par A coupe en B le plan polaire de A et rencontre la sphère en P et Q, P et Q seront conjugués harmoniques par rapport à A et B. On le voit de suite en coupant par le plan OAB.

§ 44. — Polaires récipboques dans l'espace. Dualité. — A un point A de l'espace faisons correspondre son plan polaire a. Aux diiléronts points A d'un plan P, correspondront des plans a, passant par le pôle oj de P ; car si le plan polaire P de si passe par A , le plan polaire de A passe par r„. Aux dilîérents points d'une droite correspondront des plana passant par la droite conjuguée. Considérons une surlace S non développable, c'est-à-dire une surface qui n'est touchée qu'en un point par ses plans tangents. Le lieu des pôles des plans tangents à la surface S sera alors une surface s que l'on nomme la polaire réciproque de S. lly a réciprocité entre S et s, c'est-à-dire que la. surface S est Je lieu des pôles des plans tangents à s-

Pour démontrer cette proposition, désignons par A un point de S, par T son plan tangent, par e le pôle de T, Prenons sur S deux points A' et A" voisins de A, nous désignerons par T' T' les plans tangents en ces points, par 6' 6" leurs pôles. Nous ferons tout à l'heure tendre A' et A" vers A. Nous supposerons que ces points tendent vers A de iaçon que le point de rencontre de ÏTT' ait une position limite bien déterminée, c'est-à-dire que la position limite de la droite d'întersec. tion de T et T" ne soit pas la même qiie celle dH T et de T'.

Soit D îe point où se coupent TTT', w le pian polaire de D, de ce queT,T',T" passent par D, on conclut que r,, contient fl ff fj", mais quand A' A" tendent vers A, le point D tend vers A, et le plan w vers le plan polaire de A, le plan limite de e, f/, r/', est d'ailleurs hien déterminé d'après l'hj-pofiièse faite ; il coïncide donc avec le plan « polaire de A. Mais ce pian limite est le plan tangent en fj, ce qui démontre la propo-

LK<;0KS SUR J.iS MKTHODi;t

lEOMlîTRie MOni;ilS'Ë

g 45. — Suppoious maintenant que la surlace soit une dèceloppàble, «'est-à-cLire que ses plans tangents la louuheat aoa pas en un seul point, mais suivant une di-jite. Pour voir ce qui se passe dans ce casi observons que si deux surfaces sont inscrites dans cette dêveloppable, de façon que tout plan tangent à la dêveloppable touche à la fois ces deux surfaces, les pôles de ces plans tangents seront à l'interseclion des dons polaires réciproques des deux auriaces considérées. Ainsi le lieu des pôles des plans tangents d'une dêveloppable i n'est plus une surface mais une courbe C. A la droite d'intersection de. deux plans tangents T et T, correspondra la droite joignant leurs pôles (/ . Quand T SB rapprocliera do T, la droite IT sera une droite située sur la dêveloppable, la droite '// deviendra alors la tangente en Vj à la courbe. Ainsi à une génératrice de la dêveloppable i correspond une tangente à la courbe t A un flan rassant [a ine tai gento h C correspondra un po nt s la d o te ju cône [ li à cette tangente; ainsi aux po nt de i o e jo 1 nf des, | i<i is la's'nnt par dciS tangentes à C, (|ue 1 n n s le 1 1 t n nt (

§ 46. — Si A est un cous, tous ses plans tangents passent par son sommet ; la courbe correspondante a donc tous ses points dans le plan polaire du sommet, c'est une courDs plane.

Si i est un cylindre, son sommet ost à l'inlinî, le plan polaire de ce somraetest le plan passant par perpendiculaire aux génératrices du cylindre. La courbe correspondante est donc encore plane et son plan passe par 0.

§ 47. —En résumé:

La figure polaire réciproque lîst

d'une une

Surlace non dêveloppable Surlace non dêveloppable

Dêveloppable Courbe

Suface conique Courbe plane

Surface cylindrique Courbe plane dont le plan passeparO.

Le pnwipe de dualité consiste dans ce fait qu'à une ligure on peut

LKÇOiXS SUU LKS MÉTHODES DE LA GÉOMKTIUK MO[)i:UXE ^5

toiijom'3 faire correspondre une seconde ligure dite corréUittce, et telle qu'à des points et des plans delà 1" correspondent respectivement dans la seconde des plans et dRS points. Les propriétés de la première ligure se traduisent par des propriétés de la seconde. Ainsi aux propriétés des points d'une courbe correspondent les propriétés des plans tangents à une développable.

Nous avons donné précédemment des exemples de dualité dans le plan. Nous rencontrerons des exemples de dualité dans l'espace, dans l'étude des surfaces du 2"" ordre. Nous terminerons donc là ce chapitre dont les applications ultérieures feront mieux comprendre toute la portée.

QUATRIÈMK LEÇON

Figures homologiques dans le plan et dans l'espace

§48. — Dans le plan, considérons un point et une droite D, que nous nommerons respectivement centre et axe d'homolonie ; désignons en outre par K une constante que noua appellerons constante d'homoloijie. A étant un point d'une ligure F, prenons sur la droite OA un point A' tel que, en désignant par« le point où OA coupe l'axe D â'homologîe

on ai' 7o ■ âI ~ ^' ^^ '^'^'^ ''^'' ^'^^ ~ ■^■

Les points A' correspondants des différents points A de la ligure F en lormeront une autre F qui sera dite komotogique de F. . On voit que si D était à i'inUni, on aurait simplement -:^ = K, et la ligure F' serait la figure homothétique de F.

Deux points correspondants A et A' scmt en ligne droite avec le point fixeO. Voici d'autres propriétés des figures homologiquos,

§ 49. — 1° La ^gure homologîque d'une droite i est une droite y qui rencorttre j sur l'axe d'komologie. En effet, soit A un point de i, A son homologue, B le point oui rencontre l'axe d'homologie ; M étant un point quelconque de 1 il s'agit de démontrer que son bomologue est le point M' où A'B rencontre OM . Désignons par « et k les points où OA et OM rencontrent l'axe d'homologie, on a, en coupant le faisceau BO a A'Apar OA et parOM;

(0 yk' A) = (0 «■ M'M)

Or, le premier membre est égal à K parce que A' est l'homologue de A, donc le second est aussi égal à K, et M' est l'homologue de M. Ce qu'il fallait prouver. On voitpar ce qui précède, comment on construira l'homologue M'. d'un point donné M, connaissant le centre, l'axe d'homologie, et deux points homologues, A et A'.

LEÇONS StTK LES METHODaS DE LA GEOMETRIE MODERNE il

§50. — 2" Le. rapport a/nharmonique des quatre points ABGD m ligne droite est égal à celui de leurs quatre homologues. A' B' C D'.

En effet, AA', Bit', GC concourant en 0, chacun des deux raijporlg anliarmoniques est égal à celui du faisceau (ABGD).

g 51. — 3" Le rapport anharnonique de quatre droites coiicotuxmtex est égal à celuides quatre droites correspondantes.

Soient en eUet quatre droites concourantes coupant l'axe d'homologie aux points V ,3 7 3. Les quatre tlroites correapondantus couperont l'axe d'homologie aux mêmes points (§ 40), le rapport anharmonlque des quatre droites données sera donc égal à celui des quatre points apyii, de même que celui des quatre droites correspondantes ; d'oii résulte la pro position à démontrer.

§ 52. — 4' Deux figures F et F' étant Iwmologiques, le lieu des points de F dont les homologues dans ¥' sonlàl'in^ni, est uns droite 1 parallèle à l'axe d'homologie. De même te lieu, des points de la seconde jigui'B F' ayttftt leurs homologues dans F à l'inlini, est une droite 3' parallèle à Vaille d'homologie.

Soient en eflet A et A' deux points homologues, projetons ces points en H et H' sur une perpendiculaire menée par t l'axe ; AH et A'H' étant parallèles ù cet axe, h étant le point où OA rencontre l'axe d'homologie,)? le point où OH rencontre ce m&meaxc, onaura (O-i A'A)=^ !■; or (0 a A'A) = (0 ,S H'H) donc on a (0 (i H'II) = K ou bien ; H'O . Hû

Si H' est il l'infini, le rapport ^'| est égal à l'unité, et l'on ii : I : — ^= i, éj'alité qui détermine le point H. Ce point étant fixe, le lieu de A est la droite I menée par H parallèlement à l'axe d'homologie. De mémo si II est àl'intini (A y étant par cela mè.-ne) on a , y ;=; li. Le point H' est déterminé par cette égalité. Le lieu de A' est alors une

38 LKÇONS SUR LES MËTHOUES DE L\ GKOMKTIilF. MODF.KNE

droite J' menée pavalièlement à l'axe d'Iiomologic par le point H' ainsi déterminé.

Les points à l'inlini ayant leurs homologues en ligne droite, nous les considérerons comme en ligne droite, et nous dirons la droite de Finfini en parlant des points à l'infini d'un plan.

g 53. — Etant donnés le centre et l'axe d'homologia, ainsi que l'une des deux droites 1 ou J', proposons-nous de cofistnàre t'hoinolofiue d'un point quelconque,.

M étant un point de la première figure, joignons OM, sur laquelle doit se trouver le point M' que l'on chcrcbe. Menons par M une perpendiculaire sur l'axe d'iiomologie, qui coupe cet axe en « et ta droite I en G. L'homologue de G est i, l'inDni sur OG ; la droite homologue de IMG doit passer par ce point, c'est-à-dire être parallèle à OG, et elle doit passer par a, c'est donc la parallèle menée par k à OG ; elle coupe OM au point M' cherché.

I,es deux triangles semblables OGM M'hM, donnent : -7 ^= ^r- et cette égalité a lieu aussi en signe. G a est une constante 35 ; CM est la distance de M à la droite I, donc le rapport des distances d'un point M au centre d'iiomologie et à la droite de la figure F, qui correspond à l'infini dans F' est proportionnelle à la distance de M' au contre d'homologie. (Prière au lecteur de faire la figure.)

Cette dernière propriété des figures homologiquCs donne immédiatement la figure homologique d'un cercle ayant pour centre le centre d'homologie. Nous supposerons, pour garder les mêmes notations que ci-dessus, que ce cercle appartient à la seconde figure. Alors c'est OM' qui est constant, et la propriété ci-dessus montre qu'il en est de même de w^ .

Nous retrouvons ainsi le lieu des points dont le rapport des dislances à un point fixe et à une droite fixe est constant, lieu qui a déjà été étudié comme polaire réciproque d'un cercle.

§ B4. Rapports enthe l'homoloqie et la perspectivk. ~ Etant donnés un plan P dans l'espace et un point S hors de ce plan, si l'on join

S.EÇOXS SUR LKS MKTHODRS DE T.\ r.lMMtlTnTR HUDrElXh l'I

S à un [loint quelconque M de l'espace, le poinl M' où la dioite fe\i perce le plan P est la perspectine ou projection conique du point M sur le plan P. S est le centre de projection, P est lo plan do piojecSion

La perspective d'une droite D est la droite D' intersettion du plan P par le plan SD, car si M est sur D, la droite SM est dan^ le plan SD

Considérons plus parliculiûremont une figure plane situcedans un plan Q, Soit i l'intersection des plans P et Q. Une droite D située dans Q coupera i en «, et le point a sera à lui-même sa perspective, puisqu'il est dans le pian P; D' passera donc par h ; si nous rabattons, le plan Q sur le plan P, en le iaisant touraer autour de 4, D' ne cessera pas de passer par a. Deux droites correspondantes D et D' se couperont donc après rabattement sur une droite lîxé A.

Mais alors les deux ligures seront homologiques, car si nous prenons 3 points ABM et leurs 3 correspondants (rabattus) A'B'M', nous aurons deux triangles dont les côtés correspondants se coupent en 3 points en ligne droite. Il en résulte que AA' BR' MM' sont concourantes, donc quand M variera, la droite MM' ne cessera pas de passer par le point fixe où se coupent AA' et BB'.

Ceci sodit à démontrer l'homoiogic des deux figures, car si AA coupe i en ;5 et si MM' coupe 1 en y, et si désigne le centre d'Iiomologie, on aura « étant le point de concours de AM et A'M' sur i.

(0 ,5 AA') — s,- (0 fi AA') — a (O'/MM'l — (O7MM') ]ernpporlaiiliiiniinoi(|iii? (O7 MM') fst dnne constant.

§ 55. — Réciproquement si deux ligures sont liomologîquos et si autour de Taxe A d'Jiomologie on lait tourner l'une des deux figures d'un angle quelconque, on aura deux figures perspectives l'une de l'autre.

11 suffit, pour le démonirer, de faire voir que chaque droite MM' joignant deux points homologues, passe par un point S fixe. Après le déplacement, les droites homologues ne cessent pas de se rencontrer sur A ; soit un triangle ABM et son homologue après déplacement A'B'M'. AB, AB' se coupant sur A sont dans un même plan H, de même AM, A' M' sont dans un plan IV, BM, B'M' dans un plan H" la

di-oito MM' étant dans le plan H' et dans le plan H" est l'intersection de ces deux plans ; cette droite coupe II en un point S, {[uî est ie point commun aux trois plans H H' H", et qui est sur A A' intersection de H et H', et sur BB' intersection de H et de H", donc la droite MM' passe constamment par le point S ofi se coupent les tleux druites fiscs AA' et BB' {ce qu'il fallait démonirerj.

§ 56. — Si deux (igures sont les perspectives d'une troisième figure (non plane), avec le même centre S de projection, elles sont évidemment perspectives l'une de l'autre; donc, d'après la proposition précédente, en les ramenant dans le même plan, on les rend liomologi-

Homolo^ie dans l'espace

§ 57, — Nous considérons un plan P, et un point 0, nommés plans et centre d'homologie; 'entin une constante k, dite constante d'homologie. Soit M un point d'une figure F, menons OM qui coupe P au point B, et prenons le point M' tel que le rapport anharmonique (OwM'M) soitégalà ft; les points M' correspondant aux différents pointsM de la figure F formeront une figure l' dite l'homologique de F. Les propriétés de l'homologie dans l'espace sont analogues à celles de i'iiomologie plane.

§58. — V La fiçjurB homologique d'une droite D est une autr droite T}' rencontrant la première dans le plan d'homologie.

En eftet, menons par D et par le centre d'homologie un plan Q qui coupe le plan P suivant une droite i. On voit que la figura lioraologiquc de D sera la même que s'il s'agissait d'une homologie plane dans le plan Q, i étant l'axe d'Lomologie. Celle figure est donc une droite D' qui coupe i au même point que D, et par conséquent D' coupe le plan P au même point que D, puisque a est dans le plan P.

Lt proposition est donc démontrée.

LEÇONS SUR LES MÉTHODES DE LA GKOMî^lTRIR MODBUNli 4!

§ 59. — 2" La figni-e homologique d'un plan at est un plan lo'; la. droilû d'intersection de ces deux flans est dans le plan d'homolotiie.

Soit A un point quelconque du plan i,i, D la droite (qui peut Étro à l'infini) suivant laquelle il coupe le plan d'homologie, A' l'homologue de A, et B un point delà droite D, D'aprùs le théorèmeprécédent, la droite A'B est l'homologique de AB, mais quand B décrit la droite D, de laçon que AB engendi'e le plan u, A'B engendrera le plan o.' du point A' et Aa la droite D. ce qui démontre iaproposition,

§ 60. — 3' Le rapport anharvionique de quatre points en ligne droite est égal A f.elm de leurs quatre homologues.

En effet, chacun des deux rapports est égal à celui des quatre droites Joignant ces points au centre d'homologie.

§ 61. — 4° Le rapport anharmonique d'un faisceau de quatre droites situées dans un même plan est égal à celui des quatre droites correspondantes.

En effet, chacun de ces deux rapports es\ égal à celui des quatre points en ligne droite, où les droites rencontrent le plan d'iiomologie.

§ 62. — 0° Le rapport anharmonique d'un faisceau de quatre plans passant par une même droite est égal à celui des quatre ptams homologues.

Car chacuQ d'eux est égal à celui des quatre droites suivant lesquelles ces plans coupent le plan d'homologie.

§63.-6° Etant données deux figures homologiques F et F', le lieu des points de F qui ont leur homologue dans F' à l'infini est un plan ï, parallèle au plan d'homologie; le lieu des points de F' dont les homologues dans F sont à l'infini est un autre plan 3' également parallèle au plan d'homologie.

Considérons en effet un plan Q passant par et perpendiculaire au plan P d'homologie. Ce plan coups les deux figures F et l" suivant

43 i.EIJONS SUR I.r.S MKTHODRS DK H GKOMIÎTRTE MODEUNIî

deux figures liomologiques planes, cai' \c,s droil.cs lioraologues situées dans ce plan vont concourir sur la droite d'intersection des plans Q et P. Dans cette liomologie plane, il y a deux droites i et /; i par exemple est le lieu des points do F situés dans Q ayant leur homologue à rinflni. En faisant tourner Q autour do la perpondicûlairc menée de sur P, la droite i engendre un plan I, qui est le liou des points de F dont les homologues dans F' sont à l'inrini. De mômo on aura le plan J' engendré par la droite/ tinimant autour de la perpendîculaire menée de sur P.

§ 64. — T Si M et M'. sont deux- points Jiomolofiues, P ta dislance de I à P, on a ;

En eiîet, si nous menons par OMM' un pian perpendiculaire au plnn d'homologie, cette relation a lieu pour les figures liomologiques planes obtenues en coupant les liguros F et F par ce plan.

§ 65. — 8' DeuT courbiis planes hofiwlogiques l'une de l'autre, mais situe.es dans d&uxplans di/férents, peuvent to'i jours être placées de fiKon à être homoloniques d^ans le même plan.

En effet, la droite joignant doux pointe homologues passant par un point fixe, ces deus figures planes sont la pôrspectivo l'unu de l'autre, et l'on sait que deux pareilles ligures peuvent être pl.iciîes de façon à être liomologiques dans le même plan.

CINQUTI^,ME LKÇON

Homographie

§ 66. — Considérons une droite L sur laquelle nous clioisissons une origine A ot un sens positif AX. Cliaque point M de la droite sera délinl par son «basse AM que nous désignerons par x.

Si au iicu du point A on choisissait une nouvelle origine Ai dont J'abcissc AA, est a, la nouvelle abcisse ir, du point M serait lice à l'ancienne par la relation

AM+MA, + A,A = ou AM = AA, + A,M c'esl-ù-dire x — a-\-.!;

On pourrait aussi déliuir le point M en donnant le rapport j^-^^ des segments déterminés par le point M et deux points fixes P et Q ; si A désigne ce rapport, j) et q les abcissoS de P et. Q on a, comme on l'a vu dnns la première leçon {% lî)

Enfin, on peut délinir le point M en donnant le rapport anliavmonique 1577 '. -7^ où 1*, Q tt R sont trois pointa lites do la droite.

Si l'on appelle ;'- c^lte ipi.iiitiii' et l\ 1( lappoil constant ■^^on aura :