X : K~« d'où 'i.—.'j.K et par suite x^^~r
X est une fraction du premier degré en ). ou en y., de sorte que si XiXiXsXi sont quatre valeurs de 31, )., ;.,li X, les quatre valeurs correspondantes de i, «. u,u.j«i les quatre valeurs correspondantes de it,' on aura, d'après un théorème du chapitre 1"
44 LEÇONS son LES METHODES DE L\ (iEOMETRlK MODERNE
§ 67. — Cunsidérons maiiilenanl une seconde droite L' sur laquelle on a choisi une origine B' ; soit x' l'al^cissB d'un puinl M de la droite.
S'il y a entre x &\. ^ une relation de la lonne;
(') Axji' + Bx + Ûc' + D ^
On dit que les points M et M' sont detw points corresjiondants de deux divisions homographiques. La relation précédente ne change pas de lorme par nn changement d'origine, c'est-à-dire Bi l'on pose a; = a-]-a;, nl^^b' -{-nf,.
Si A est nul, on dit que les deux divisions sont semblables ; dans ce cas on voit que si -t grandit indéfinimenl, il en est de même de x" et inversement.
Si au contraire A n'est pas nul on a:
On voit que a; grandit indéliniment quand le dénominateur devient nul, c'est-à-dire quand x' devient égal â — "i- On verra de mênie que x' devient infini quand x déviant égal
§63. -- D'après la lormule (') a; est une traction du premier degré en x\ donc d'apr&s un théorème du chapitre premier, le rapport anliarmoniquedeqiiitre pjimtaMest è-gal àceluidesqu<itre points correspondimls M'.
On peut encore démontrer cette proposition comme il suit. Choisissons sur la première droite piur origine lo point 1 dont le correspondant est à l'inlini sur la seconde droite, puis sur la deuxième droite 1 ■ point J' ayant pour correspondant le point à l'inlini de la premièree Avec ces origines — r- ^^ ^ "T" seront nulles, la relation (') se réduira donc à- Aa;/ -f- D = ou bien a;j/ ^ K en posant — ^ =: K
On aura donc M et M' étant deux points correspondants :
LEÇONS SUR LES METHODES DE L\ GÉ'JMÉTniE MODERNE 4a
O IMXJ'M' = K
Nous avons écarté le cas où I et J' seraient à l'infini ; dans ce cas, du reste, iavériflcatioa directe du tliéorèma que nous allons démontrer serait bien iacile, nu segment joignant deu;ï points M et M^ étant dans un rapport constant avec le segment M'M/, formé des deux points correspondants.
Laissant donc de côté ce cas, on tire de (') J'M' = j^j de même : J'M'^^ j^ par suite :
