IM" "IM
>ù par division
M'M'i ■ M'ijM'i ~ MM, ' MiM, ou (M'|M'sM'M'„) ^(M,M»MM„) ce qu'il fallait démontrer .
§ 69. — Ce tUéorème admet une réciproque. Si l'on a sur la droite L trois points P Q R etsur ta droite L' (rois points F Q' R', si à l^utpoint de L on fait correspondre un point de L' tel que l'on ait entre ces deux points M et M' la, relation
(PQRM) = (P'Q'R'M') les points M et W sont deux points correspondants de deux divisions hoinographiques.
En eflet, soient p q r x, p' (( r' x' les abcisses des points PQRM P' Q' R'etM'; la relation précédente s'écrira :
, LES METIIUDES DK l.\ (iBllMETHI]': MOIIF.IINI';
el en chassant les dénominateurs, on obtient une relation de la forme (') Nous emploierons souvent des relations liouio graphique s écrites sous la forme (')
S 70, — TuÉOKÎiME. — Deux dioislons homographiqites d'une troisième sont homographiqiies entre elles :
4" Dèiïionstratlon. — Soient deux points M et M' ayant pour cori'capondant M", x, 3^ -Jf' les abcisses de ces trois points . M et M'' étant homographiques, on a une relation de la forme A^i" + Bœ + Gi" + D =^ de même M' M" étant homographiques on a ;
A'a/a," + BY + CV' + D' — éliminant ,1" entre ces deux relations, ou a la suivante :
[lto+ D)(A'j;'+ C; - {Aj: + G){BV4- D') = qui montra que les points M et M' se correspondent Uomograpliiquement.
§ 71 . — 2" Oèinoastration. — Pour écrire que les points M et M' se correspondent homographiquement, nous écrirons (M) — jM') en entendant par là que le rapport anharraonique de quatre positions de M est égal à celui des quatre positions correspondantes de M'. De ce que M et M" se correspondent liouiograpliiquement, on conclut (M) ^^ (M") de même (M') = (M") d'où l'on conclut (M) = (M') ce qui démontre la proposition énoncée.
§ 72. — Faisceaux homographiques. ~ En joignant les points correspondants M et M' de deux divisions Iwinographiques à deux points
LEÇONS SUR LES MCTHOULS DE LA GF.OMKTRU; ^[01>I':II^■E 4i
lises S et S' on obtienl deux faîdceaux SM S'M', dits iiomograpliitiues. Nous appellerons S (M) le rapport anliarmonique de quatre rayons
On aura S(.M) = (M) = (M') = S'(M') d'où S(M) = S'(M')
§73. — Différentes manières d'obtenir des divisions et des faisceaux liomographiques.
Si un rayon tourne autour d'un point S les points M et M' où ce rayon coupe deux droites l> et D' forment deux divisions homograpliiques, car (M) =z S{M) = S(M') — (M')
Si on joint à dons points fixes Set S' un point variable M d'une droite, les rayons SM S'M lormeot deux laisceaux honiograpliiques. CLir S(M) — (M) — S' (.M)
Si on lait tourner un angle autour de son sommet, les ci^tés de cet angle lorment deux faisceaux homographiques.
En effet, l'angle M'SM étant constant, quand SM tourne d'un certain angle SM' tourne du même angle dans le même sens, donc quatre rayons SM' forment une figure qu'on peut superposer à celle tormée par les quatre rayons SM en la laisant tourner d'un certain angle; doncSfM) = S(M').
S 74. — L'Itoinographie est complètement déterminée par S couples d'éléments correspondants f Points ou rayonsj.
Car soient AA', BB', GC, ces trois couples, un élément M étant donné son correspondant M' est donné par la relation ; (ABCM)^(A'B'CM')
ÏHÉORÎîMK : Si dans deux faisceaux il existe trois couples de rayons correspondants SA, S'A', SB, S'B', SC, S'G'^ tels que les angles de SA avec S'A', de SB avec S'B' de SC avec S'C soient égaux entre eux, l'angle de SM avec S'iM' est constant.
En eltet, soit K la valourde l'angle SA, S'A'. Considérons unu droite
48 LEÇONS SUR LES METdODES DE LA GÉOMliTRIE MODEllNE
S'M', qui fait avec SM l'angle K, S'M', et SM iorment deux faisceaux homographiques, et SA, S'A' SB, S'B' SC, S'C sont 3 couples de rayons correspondants. D'où il résulte que S'M', coïncide avec S'M', ce qui démontre la proposition.
I 75. — Théorème. — Si deux droites se coupant en A portent deux divisions hoinograpliiques tel que le point A considéré comme appavtenanl à la première droite ait pour homologue le point A sur la deuxième, la droite MM' joignant deux points correspondants passe par un point fixe.
ïoient en eflct B et B', C et C deux couples de points correspondants ; on aura (ABCM) — (A'B'G'M') .
Ces deux rapports anharmo niques égaux ayant un point commun A, BB' ce et MM' concourent ; donc M.M' passe par le poinf S où an coupent BB' et CC
. § 76. — Théorème, — Si deux points situés sur une droite A sont les sommets de deux faisceaux homographiques, et si au rayon A du 1" faisceau correspond le rayon  dans le second, les points où se coupent deux droites M et M' correspondantes sont sur une droite use.
Soient en effet B et B', G et C deux couples de rayons correspondants ; on aura (ABCM) — (AB'C'M') .
Ces deux rapports auharmoniques égaux ayant un rayon commun \, les points de rencontre de B et B', de G et G', de M et M' sont en ligne droite, donc le point de rencontre de M et M' décrit la droite L qui jointle point de rencontre de B et B'au point de rencontre de G et C.
fOn remai-qmm gîte nous avons /«it deux lUmonstmtions cornia-' tivesj.
g 77. — Application. — Considérons deux droites OX et OY, prenons sur OX un segment OP égal à x sur OY un segment OQ ^j/ et
PM parallèle à OV, QM iiarallèle à OX qui se coupent en M ;
sait que x et y se nomment les coordonnées du point M. Je dis que
LEÇONS SUR LES MÉTHODES DE LA GJÎOJlÉTIUJi MO])lï[iXE 40
.s'il y a entre x et y vue relation du premier degré A x -{-ii ;;+C — le litu du point M est une droite. En effet, dans ce cas, les pointa 1^ et Q forment deux divisions liomograpliiques semWabies ; P allant à l'inflnî sur OX, son coiTOspondant Q va à l'infini sur OY ; il en l'ésulto que PM et QM forment deux faisceaux homographiques, dont les sommets sont à l'infini, et que la droite de l'infini qui contient les sommets des deux faisceaux se correspond à elle-même, par conséquent le point M de rencontre de deux rayons correspondanls PM, QM décrit une droite.
La réciproque est waie; si M décrit une droite, il y a entre x et y. une relation du premier degré ; en effet, on a (P) ^^ (M) ; (Q) ^^ (M) donc (P) ^ (Q), par conséquent les points P et Q forment deux divisions iiomograpliiques,'mais si M est à l'infini, P et Q sont aussi à l'infini ; par suite les deux divisions sont semblables, et la relation entre T et y ne contient pas de terme en xy.
Elle est de la forme i A^ + Bi; -(- C — 0.
§ 78. — Faisceaux nosioGRArniQUES de plans. — Si l'on a doux droites D et i, et deux divisions homograpliiques sur deux autres droites, M et M' étant deux points correspondants de ces deux divisions, les plans passant l'un par D et M, l'autre par i et M' sont dits former deux faisceaux homograpbiques de plans. Alors le rapport anharmonique de quatre plans D M, est égal {§ 19) à celui des quatre plans correspondants iM'. Il est clair que deux faisceaux iiomographiques de plans sont coupés par un plan quelconque suivant deux faisceaux homograpbiques de droites.
§ 79. — Divisions HOimonArniQUES suit l'nk miSme droite, points iiou- BLES, — Si deux divisions homographiques sont sur une même droite, nous conviendrons de prendre une seule origine pour les abcisses des points M et M'. Cherchons alors si les points M el M' peuvent coïncider; faisons a; = a^. dans la relation d'homographie ; nous obtenons une équation du second degré. Air- -|- (B -|- C) x -]- '* — "-
Si (B -{■ O' — 4 AD est positif, cette équation <v deux racines ; tl y
50 LEÇONS SUR LES MÉTHODES DE LA GÉOMÉTIUK JIOJIKtlNE
a donc deux points I' et Q tels que chacun d'eux coïncide avec son correspondanl ; si (B + C)' — 4 A» est nul, les deux racines de l'équation deviennent égales entre elles, les points P et Q viennent se confondre: Si(B+C)'~4AD est négatif, ils disparaissent: on dil qu'ils sont imaginaires. Lorsque P et Q existent, le milieu de PQ a pour abcisse la demi-somme des racines de l'équation précédente c'est aussi le milieu de la droite 1 .1' car les points I et J'
ont respectivement pour al)cissc8 — t- et — t— .
On conviendra de continuer à appeler ce point le milieu de PQ quand P et Q sont imaginaires, de même, quand P et Q existent on a ;
(PQ)= =(0Q-0P)'=(OQ + OP,'-4XOPXOQ =i (-^-')'
(B 4- C) i.— 4AD .
Si Pet Q sont imaginaires (B + C)' —4 AD est négatif, on convient encore de dire que l'expression ti —est le carré de P Q.
Ce sont lA de simplts laçou'ï de parler. Nous avons déjà trouvé des façons de pailer analogues poui les conjugués liarmoniques(§ 35).
Si l'on joint a un pnmt S les points correspondants M et M' de deux divisions homoerapliLques on a deux faisceaux homofjraphiques dont on obtient les rajons doubles tn i lignant les points S et S' aux points doubles de deux dnisions
§ 80. — Nous allons démontrer ici quelques propriétés importantes des points doubles.
Lorsqu'on a deux divisions homograpbiques, un point M de la droite qui les porte toutes deux, étant considéré comme appartenant à la première division, a son bomplogue M' de la deuxième, mais on peut aussi considérer M comme appartenant à la deuxième division; il a alors pour homologue un point M, de la première. Les deux divisions M' et M, sont homograpbiques; leurs points doubles sont les mêmes que ceux des deux divisions données.
En ellet, on a {M,)=(M); (M) — (M') donc (M,) — (M') ce qui démontre la première partie du Uiéorème.
LEÇONS SUR LUS MKTHODES DE LA GÉOMÉTRIIL MOIIEIINË ijl
De plus, poui- que M, coïncide iivec M il iaut que M' coïncide avec M, ce qui démontre la deuxième partie, car alors M coïncidera avec M'.
Cette deuxième partie subsiste encore quand ii n'y a pas de points doubles, en ce sens que le milieu du segment des points doubles et le carré de leui- distance sont les mêmes.
Pour le véi-ifler, il suffit de remarquer qu'on a x, a/ et x, étant les abscisses des points M, M' et M,.
Aja-.+lUi + Cic-I^D — o et l'équation qui donne les points doubles est
A3!' + (li + C);ï + D:=0
pour avoir la relation entre x' et x, éliminons x entre les deux relations précédentes ; on a :
A ;C - H) x'x, + {AD - B=) X, + (C - Ail) x' +Xi (C ~Yi} =0 en laisant .Ti^^îe' et divisant par C — ii qui n'est pas nul, car dans ee cas les points M, et M' coïncideraient, on a;
Ax=-|-(B + C)a;+D^O c'est la même équation du second ^degré que ci-dessus, ce qui suffit à démontrer la proposition énoncée.
§ SI. — Supposons qu'on prenne pour origine un point quelconque 0, dont rhomolo|{ue dans la deuxième- division sera désigné par »'.
Ecrivons la relation d'Iiomographie sous la forme : xx'-^\ix+Cx'+n=0 en supposant A =; l ce qui est permis quand les pointa 1 et ,1 ne sont pas à l'inliiii.
5a LEÇONS SUii LliS JlETHdDES DK LA r.LMMCTitlLl MODILRNU
On sait que pour .< ^ ot on a s:' = — B ainsi li ^ — ai' (le m6iiie C==— lïl. Maintenant pour .e = ou trouve ,r';=— j.d'oii D=^— CXaa'— alXttft'-
La relation peut donc s'Ocriie:
xx^ — ai'.x — al.x' -\-al.aa'^=0 On pourrait de même l'écrire en appelant a, le point de la preniiùrc division tiui a pour bomologne a dans la seconde. œx' - ar XX- al Xi>^ + aï X' aa' — O Je vais démontrer que le conjugué harmonique do a par rapport à a'a, est le même <iue par rapport aux points doubles. Soit en elîet v ce point. Il est caractérisé par la relation:
D'autre piirt si c et / désignent les points doubles on a poiii déterminer leurs abcissos, l'équation
x'-{al + ay)3: + alXaa' —
ou .r'- -{al + ai')x + ar X(M'=0
d'où
ae.+af'-^al + ay
ac.af^aLaa- = arAia-
donc on a bien :
ce qui démontre la proposition, mais si (es points e et yn'existent pas, cette relation continue d'avoir un sens, puisque
îili/o.lîl?~' ae+aj al+oJ'
On dit que <t et v. sont conjugués par rappnrt aux iwiuls dou-
LEÇONS SI!R LES METHODES DE LA fiEOMCTlSIR MODIÎIINE 00
bles imaginaires. Il est facile de vérifier cjue si est le milieu de W et R' le carré (négatif) de la demi-tlfstance de ces points
§ 82. — PnopuîÉTÉs OR l'homoghaphië dans le cvb ou les points nouBLF.s SONT iM\.GiN.\(Riîs. — Quaiùl Ics po'mU doubles de deux divisions homographiqties sont imaginaires, il existe dans le plan de la figure, deux poinU S et S' symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite, tel que si M et M' so7it de>ix points correspondants, l'angle MSM' et l'angle MS'M', soient constants et toujours de même sens.
Ea eflet, prenons le point milieu des points IJ', puis en co point élevons une perpendiculaire à la droite, et prenons sur cette perpendiculaire une longueur OS égale à la racine carrée du carré changé de signe de la demi -dis tance des points doubles; c'est-à-dire que : les
points doubles étant lournia par l'équation j;' + (li-)-C) 3!-|- D=:0, et cette équation n'ayant pas de racines réelles, le carré de la derai-
dislance des points doubles est :
(B j,C)s — 4Dî
— ■ — -^ quantité qui est négative
on pre.Kl donc OS - V^n'-iJi + c r
On prendra de même OS' de l'autre côté do la droite, sur la m^me perpendiculaire S' ot S seront symétriques par rapport à la droite.
Cela posé, je vais montrer que l'angle MSM' est constant ; ou sait d'après une remarque faite, qu'il suffit de montrer que trois positions de cet angle sont dos angles égaux de même sens (§ 74).
Menons par S une parallèle PSQà la droite MM', S étant entre P et Q étant le milieu de J'I, les angles J'SO et OSl sont égaux et de môme sens ; il en est de même de leurs compléments PSJ' ISQ. Or SP est riiomologuo de ï.Y, SI l'Iiomologue de SQ, Cela fait déjà deu\ angles égaux.
54 LEÇONS suit LKS MUTKODES DE LA GEOMETRIE MODERNE
Il reste à montrer qu'un troisième angle est égal à ces deux, et de même sens ; or soit 0' l'iiomologue de 0, étant considéré comme appartenaDt à la première figure ; 01 X 00' est le terme constant de l'équation du 2' degré qui donne les points doubles et qui (avec l'origine considérée) est œ' -f" 01 X 00' ^^ donc on a en grandeur et signe 01X00'— 0S% et puisque OJ' :=— 01, ; OJ' X 00' — — OS' donc SJ' est perpendiculaire à SO ; l'angle J'SO' étant droit ainsi que l'angle i'SO {et de même sens) en enlevant J'SO on voit que les angles PSJ' et OSO' sont Égaux et de môme sens ; ce qui démontre la proposition.
§ 83, — Autre démonsthatiox. — Nous avons vu que la relation d'homographie peut s'écrire (en prenant le point comme origine) :
ra' — OJ'.^ — Ol.x- + 01.00' — or ici on a: OJ' — — 01 et 01 X 00' = 0S= donc : xa^.— 01 {x' - x) + OS' "
or i^ c'est tgte OSM, qô c'est tg OSM' en grandeur pt signe, on a donc, en divisant l'égalité précédente par OS'
ig OSM X ta OSM' - ^ (tg OSM' - Uj OSM) + l z^ d'où l'on tire
g OSM' — tg OSM
01 ~ i + tg OSM X tg OSM'
= Ui (OSM' - OSM) ^ ttl MSM'
Q-j est la tangente de l'angle OIS — V,. on a donc: [g MSM' — fgV d'oi MSM' — V, ce qui démontre la proposition. Remarquons que si autour de la droite portant les deux divisions, on (ait tourner le plan de la figure, le point S décrit dans un plan perpendiculaire à la droite un cercle de centre 0. Dans chacune de ses positions le point S possède la propriété énoncée.
§ 84. — Propriété de ceux faisceaox homobraphiques a rayons DOUBLES IMAGINAIRES. ~ Deiix fuisceaux hoTHographiques, de même sommet, peitoenf toujours être considérés comme la perspective de
LEÇONS sua LES METHODES DE LA GEOSICTRIE MODERNE 05
deux faisceaux homographiques enoenâré^ par tes deux côtés d'un angle constant, tournant autour de non sommet.
Coupons en cflet les deux faisceaux PM, PM' par une droite quelconque D. Nous obtenons deux divisions M et M' à points doubles imaginaires; considérons Pun des points S du tliéorÈme précédent, amenons-le en S en faisant tourner le plan de la figure autour de la droite, l'angle M5M' sera un angle constant tournant autour de ï. En plaçant un centre de projection en un point quelconque de la droite PS, la droite PM sera toujours la perspective de sM, et PM, celle de IW, ce qui démontre la pro-
On peut remarquer que SM et PM sont liomologiques, puisque SM s'obtient en rabattant ïM dans le plan de la fiijiire (§ 54) ; ainsi dans l'énoncé précédent, on peut remplacer le mot perspective par figure komologique.
d'abord remarquer que les questions relalives aus faisceaut peuvent, en coupant par une droite, se ramener à des queslions relatives à des points, li ne sera donc pas nécessaire d'indiquer chaque fois deux constructions corrélatives.
7" Problènie. — Trois couples de points A.V BB' CC fiant donnés une homographie est déjlnie, construire le point M' correspondant d'un point donné (Voir § 31).
On doit avoir (ABCM) = (A'B'C'M'), il 1-aut trouver le point M' satisfaisant à cette condition. Ce problème a été résolu à la fin du second chapitre. Nous rappelons ici la solution. Supposons que AliCM. et A'B'C'M' soient sur deux droites difïérentes, on joint AB' et A'B qui se coupent en ,S AC et A'C qui se coupent en 7 puis A'M qui coupe ^y en S, la droite AS coupera A'C en M'. En eflet, soit h le point où pï coupe AA' on aura ;
A'B'C'M' — A(A'B'C'M') ~ '^yS == A' «^-/S) — A'(ABCM) = ABCM
yGoosle
S6 LEÇOKS SUR LES MiîCHOnKS DU l,.\ CIÎOMCTHIE MODERKE
Si les points étaient sur la même droite, on joindrait les points ABCM à un point S quelconque et l'on couperait le laisceau S (ABCM) par une droite en A,B,C|M| on serait ramené au cas précédent.
Celte construction n'exige que l'emploi de la règle ; il y en a d'autres, mais elles exigent l'emploi du compas. On peut par exemple mener par A' une droite sur laquelle on prend A'B, ^^ AB A'C, ^^ AG A'M, ^^ AM, on joiDt B'R, et C'C, qui se coupent en S ; on joint SM, qui coupe A'B' au point M'.
En elTet on a ;
A'B'C'M' = S(A'B'C'M') — S(A'I1,C|.\I() = AliCM.
On voit que cette construction n'exige pas le tracé des cercles, mais le transport d'un segment sur une droite, ce qui se lait à l'aide du compas à pointes sèclies ou d'une ij.inde de papier. L'autre construction n'exige strictement que la rùgle; elle n'est d'ailleurs pas plus compliquée.
I 86° ~ Den.nèm6 prohtèine. — tes données étant les mêmes que adessux, construire les points Ict J',
On peut considérer ce prolslème comme on cas particulier du précédent. Supposons que .\BC soient sur une droite, A'B'Csur une autre, joignons A' au point H, au point G et au point à l'inrini sur la droite AB ; ce qui se lait en menant par A' une parallèle à AB; AB' et A'B se coupent en fi, AC' et A'C en y, et la droite fiy coupant la parallèle menée à AB par A' en 3, on joint A3 qui coupe A'B' au point J', En eflel on a ; K étant le point où fi-/ coupe AA' :
(A'E'C'J') — A (A'B'CM') — («,5yS) — A' {ABC=') — (ABC co)cequide montre la proposition.
Si les deux divisions étaient sur la même droite, on prendrait un points, on joindrait SA SB SG et on mènerait S.u parallèle à la droite; oi couperait par une droite quelconque qui donnerai^ quatre points JA, li, C, M, on construirait le point J' tel que (A, B, C, M,) = (A'B'C' J').
Ge problâme exige' l'emploi de la règle et celui de la iausse équerre pour tracer les parallèles.
LF.Ç.ONS SUR r.lîS METHODES DE LA GEOMl:TRIE MODERNV;
§ 87, — 3" Problème. ~ Construire les points doubli-'i. — Nous allons donner dlllérentes solutions de ce problème.
1° Supposons d'abord que l'on ait construit les points i et J' ; soif leur milieu 0' le correspondant de 0, les points doubles P et Q sont donnés par la relation :
On nti doue poui It.s a\oii,((ii'à prendre une moyenne proportionnelle entre 01 et 00 le problème ainsi résolu donne des points rceïa si est entie I et 0', sinon les points doubles sont iniar,maiies mus li L.oa-)tiUPtion donne les points S et S', dont tl a e(e question dins un Ihéorème précédent (§ 82).
§ 88 — 2 On donne l!Oii< couples de poi.nts correspondants. Je déiiKntieiai dabord le théorème suivant:
S étant wn point dun aide, est le sommet commun de d-eux /■((liceoux homogi aphique^, SA et SA' sont deux rayons correspondwnts près qm coupent le cercle en A et A', SM et SM' deux iayons mobilet cnipmt h cercle en M ef M'. Dans ces conditions, AM et A M sf coupent en un point P dont le lien est une h oit
Pn effft 1 3 n\ ms S\( et A' M sont liomographiqucs, cnr si le point M se déplace sur le cercle, SM et A'M tournent du mémo angle égal à la moitié de l'angle dont a tourné le rayon OM, pat suite les angles de 4 rayons SM sont égaux aux angles des rayons correspondants A'M et de même sens; ainsi ou a S (M) = A' (M) pour la même raison S (M') — A (M') donc: A (M') — A' (M)
mais quand M vient en A' , M' vient en A, donc dans les deux laisceaux A (M') et A' (M) la droite AA' se coiTespond à ellemême; donc le lieu du point P de rencontre de AM' et de A'M est une ligne droite (ce qu'il fallait déviontrer). Cela posé, si l'on a trois couples de rayons correspond;iiUs
i METHODES DE LA OÉO.MKTRIE MODElîNE
SA SA', S15 SB' se, SO' les points E,B' et C,C' étant aussi sui- le cercle, les points de rencontre Q et R de AB' , A'B, et de AC
et A'C, sont deux points de la droite lieu du point P. On peut donc triuei cette dioitp soient a et ;3 les pointa où elle coupe le cercle , si le pomt P \ieiit en '/, c'est que M et M' vieonent en c S 1/ est donc uq lajon double. Il en est do même de S,^, Si Ion -vent les points doubles de deux divisions bomographiques sur une même dioite, on joindra les points correspondants donnes à un point S pus a iolonté sur un cercle quelconque;
on sera ramené au problème prccedent.
On >oit que pour cettp constiuclion, il suilit d'un seul cercle,
et que ce cercle peut Ôtre tracé d'une laeon abxolumi-nt arbitraire.
S 89. — TRANSi'ORMvriûx df.s iaisckwx bï jies divisions ho.mo- GR.ipiiiQUES. — t' Dans deux ligures polaires réciproques, à quatre points en ligne droite correspondent quatre rayons passant par un même point et ayant même rapport anharmonique; on voit que si l'on a deux divisions homograpliiques, il leur correspondra dans la figure corrélative deux faisceaux lioniographiques.
LEÇONS SUR LES METHODES DE LA GEOMCTRIE MODERNE Oi)
2° Dans deux figures homologiques, les rapporta anharmoniques des divisions ou des faisceaux se conservant dans la figure translormée, à des divisions ou laisceaux homograptiiques correspondent des divisions ou faisceaux homographiques.
