SIXIEME LEÇON

S 90. ~ Nous do montrerons d'iibord la pta;! wilioii siiiviiate : Si dam deux diviùom homngraphiques à wn. point m concenabhment choisi, correspond uis point m' qui soU le Jti^niP, qve l'on con sidéré m comme appai'tenant d la •première on à la xeconde dir,isionla même propriété subsiste pour Ions la: points. En effet soit :

Ara' + 83/ + C-T -f D = û la relation d'homographie, nous supposons qu'il existe une valeur lie X et une de xf salislaiaant à cette relation et à la suivante ;

A!(^a: + B.B + Ca;' + D — o en retrancliant cette égalité de la précédente on a :

(li-C)(a' -x) = o (ir s' n'est pas égal à (r sans quoi m serait un point dovilile ; on

et la relation d'Iioniographio s'i^crit;

Aa^j' +B(^ + J') + Dnz o et cette relation no changeant pas quand on pciniulc j- et / le théorème est démontré.

Une telle homographie s'appelle une inoolution. La correspondance involutive possède les propriétés de la correspondance bomographique, et d'autres propriétés que nous allons indiquer.

Les points 1 et J' coincident, le point à l'inlini ayant même correspondant soit qu'il appartienne à la première d ivision, soit qu'il

LEÇONS SUR LES METIIUDES DE L\ GKOMIiTRIE MODERNE 61

appartienne à la seconde, le point leur m'dieu, coincide donc avec chacun d'eiu\ et l'on a, M et M' désignant deux points correspondants quelconques : OM XOM' = /i (0 se nomme point centrai).

§ 91 . — Soient ABC trois points A' B' 0' leurs correspondants ;

onpeotconsidérer ABCC comme ayant pour correspondants A' B' C C-

on a donc :

{ABCC} — (AB-C'C)

CA . CA C -V . CA' '^" ■ CB ■ OB" OB' ■ Cii'

ce qui peut encore s'écrire :

CAXCA' OAXOA'

CBXGB' ~^ G'BXC'B'

Bèciproquement une telle relatim oit C et C sont mHable^ est une

relation d'involution. Si a: x' aa' b b' sont les abcissea de CC'AA' BB'

, ,. . , . . la; — a) (a; ~ te ) Ix- — a) ix' — a) ] .

celte relation peut s'eerire ,^ a, ,^ ;.■, - ,a.- - h^ [x- -H'

et en chassant les dénominateurs et divisant par a! — x, on obtient la relation voulue d'involution.

On voit que l'involution est dsîlinie par deax couples du points correspondants .

§ 92. — Si A, A'; B,B' sont deux couples de points correspondants de deux dirdnons homograpkique'S, E et F les points doubles, AB', BA' E et F s<mt trois couples de points correspondants d'une même involulion.

En effet A B E F ayant respeetivemout pour eorrespondanls iiomographiques, A' B' E F on a : (ABEF) = (A' B' E F) ou d'après une propriété du rapport anliarmoninuu : (ABKF = (B'Â'FE) c'est à dire; ^ : ^ — ^:

EA . FA, Fli' . EIV EB ■ PB ~ FA' ■ ÈA'

FA X EH' FA X FH' ou encore : ^^ ^ g^, ^,,j ^ j,^,

et d'après le paragraphe précédent, cette relation est celle s'agissait d'établir.

fiï LEÇONS SUR LlîS MÉTHODES DE LA (iÉÛMIiTIiLlî MODKRNï:

g 93. — Points doubles. — étant le point central, M et M' deux points conespondfvnts quelconques, V l'un des points doubles,