OM X OM

Pour que OP aolt réel, il îaut que M et M' soient du mÈme côté de 0. La construction du point central, celle des points doubles sont simples. Par deux points correspondants AA' taisons passer un cercle, et par deux autres BIS' un second ceiele coupant le premier en P et Q. Si PQ coupe en la droite portant l'involution, on aura dans le premier cercle OP X OQ = OA X OA', et dans le second, OP x OQ — OB X OB'. On aura donc OA X OA' — OB X OB', esl liien le point central. En outre si n'est pas entre P et Q, menons de une tangente au premier cercle, le touchant en T, on aura OT' ^ OA X OA'. OT sera alors la distance du point à chacun des deux points doubles que l'on peut ainsi construire. P et Q étant les points doubles, et leur milieu, la relation.

OÂ X OA' — OP' montre que deux points correspondants quelconques X et A sont conjugués par rapport aux points doubles.

Réciproquement si deux points variables A et A' sont conjugués par rapport à deux points fixes P et Q, la relation OA' X OÂ ^^ OP' montre que ces points forment une involution dont P et Q sont ks points doubles.

Couple de points commun à deux involutions

§ 94. — Considérons deux involutions. Dans la première A et B ont pour correspondants respectifs A' et W dans la seconde A" et B". 11 s'agit de trouver un point M qui ait même eorreapondant M' dans les deux involutions. Or, considérons les deux

LKÇOSS SUR LES MKTllODES LE LA GKOMETRIE

divisions liomograpliiques dans lesciuollcs A A' A" ont pour correspondants B B' B', d'après le § (92) les point M et M' devront être les points doubles de ces deux divisions. On est donc ramené à un problème connu.

(iii.iPHLE. — Soient A el A' deux points correspondants homograpUiques ; A, le point de la première division dont l'homologue est A dans la seconde a. le conjugué de A par rapport â a, et a. Nous voyons d'après le § (8î) qne a et u. forment une involution ayant mêmes points doubles que l'homographie. La recherche des poiiits doubles de deux divisions homographiques peut donc se la recherche des points doubles d'une jnvolution.

\ 96. — Fmsceaux en invoi.htion. — Ce sont les faisceaux obtenus en joignant à im même point S les points correspondants, d'une involution. Aux points doubles de l'inTolution correspondent les rayons doubles du faisceau.

li est clair qu'en coupant deux faisceaux en involution par une droite quelconque, on obtient deux divisions en involution.

Théorème. — &i im anj/ie droit fouriie aiitoir dt' ion xammi^, ses dettE eiîiés /ofmmf dewx rayons en involution.

En elîet, ils forment deux faisceaux homographiques; et si au rayon SA correspond le rayon SB, il est clair qu'au rayon SB correspond le rayou SA.

Autrement. — Coupons par une droite <[uelconque, et menons SO perpendiculaire sur cette droite. Deux côtés de l'angle déterminent sur cette droite deux points M et M', el d'après une propriété du iriangle rectangle, on a : OM X OM' = — OS'.

M et M' forment alors sur la droite une involution dont est le point central ^t dont les points doubles sont imaginaires.

bi LEÇONS son LES MIÎÏHO»ES DE LA, GEOMETRlii MOIJKRNE

§ 97. — Réciproquement. — 1' Etant donnée sur une droite une involution dontSes points doubles sont imaginaires, on peut trouver un point S tel que l'angle des droites obtenues en le joignant à deux points correspondants M et M' soit droit. — Eq elîet, étant le point cen" trat, on a k étant une certaine constante : OM X OM' t^ — h'. Prenons sur une perpendiculaire menée par à la droite portant l'involution une longueur OS— k\ l'angle MSM' sera droit d'après ce qui précède. ~ 2° Si les rayons doubles de deux faisceaux involutiia sont imaginaires, on peut toujours considérer deux rayons liomologues comnie^ les perspectives, ou les homologiquea de deux vayons rectan. gulaircs. Ceci se démontre comme m\ § 84,

g 98. — Exemples de divisions ou faisce.yux i;.\ iNvoLunor^. — Théoiiéme. — Si par un point fixe P on mène une droie variable coupant un cercle C enM M', si l'on joint ces points à un point fixe S du cercle C, SM, SKl' seront deux rayons en involution.

Soit S, le second point où PS rencontre le cercle C, D'après le § 35 SM et S,M' se rencontrent sur la polaire de P par rapport au cercle

en un point «. Alors (§ 34) le rapport anharmonique de quatre droites SM est égal à celui des quatre points «, ou des quatre droites SiM'. On peut écrire : S (M) — S, (M').

D'autre part (§ 88) S (M') — S, (M-) .

Donc S (M) = S (M'). Les deux faisceaux S (M) S (M-) sont dont ho-

LEÇONS SUR LES MlîïIlODES IIE L.V GI'lllMliuiK IIODICLINE d'^

mograpiliques, et commo l'échange de M en M' tranEorme SM en SM' et inversement, Us sont en involution (ce qu'il fallait dhnonîre.i').

Réciproquement si S est wn point fixe d'un cercle C, SM SM' deuxrayons correspondants d'une inmlution, coupant C en M et M', la droite MM' passe par un point fixe.

En effet, soient AA' BB' deux positions de MM' concourant en P. Joignons PM qui coupe le cercle en M,. L'involution SM, SM, et l'involulion SM, SM' ayant deus couples de rayons correspondants communs SA SA' SB SB', coïncideront. SM, coïncidera avec SM' MM' passera donc par P (ci qu'il fallait démontrer).

Nous laissons au lecteur le soin d'énoncer et démonlrer If- tliéorème corrélatif.

§ 99. -- ProbUine. — Inscrire dans un cercle un polygone dont t<'« n côtés passent par n points donnés, AiAjAj ... A" .

La solution suivante se déduit de ce qui précède, Menous par A, une droite rencontrant le cercle en «. Kj, joignons Aj ''i qui rencontre le cercle en »j, As^j qui coupe le cercle en «i . . . etc. . . An Kn qui coupe le cercle en fi. Si .S coïncidait avec a,, on aurait le polygone clierclié : Mais d'après le théorème précédent on a, S étant un point quelconque du cercle

S(t<,) ^ SM, S(«,) = S{'...). . . etc. . . S W„ ] -^ S [?)

donc S(=^,) = S ((5).

Ain:i S [«,) et S (fî) forment '.leux faisceaux homographiques. Nous savons Cl construire les rayons doubles: or, pour un rayon double S(k,) », coïncide avec p. Le problème proposé est alors résolu.

En transformant par polaires réciproques (ou bien à l'aide du théorème corrélatif) on résout le problème suivant.

Cireonserire à un cercle un polygone dont les n sommets soient mr n droites fixes.

SEPTII^ME LEÇON