NOTIONS DE GEOMETRIE ANALYTIQUE
Théorie des projections. Coordonnées d'un point,
§ 100. — On appelle projection d'un point A, sur une droite D, parallèlement à un plan P, le point a, ou un plan P' parallèle à P mené par A, rencontre la droite D.
Supposons qu'on ait choisi sur la droit* D une direction positive; cette droite est alors ce qu'on nomme un axe.
Considérons dans l'espace un segment AB, soient a la projection du point A, b celle du point B, le segment ab (avec son signe) se nommera la projection du segment AB.
Deux segments AB CD égaux pavallùles et de même sens ont dos projections égales en grandeur et en signe.
En eflet, considérons la parallèle menée par A à l'axe de projection, elle rencontre le plan P" qui projette B en un point ,?. De même la parallèle menée par C à l'axe de projection rencontre le plan P, qui projette D en un point 3, Désignons enfin par ab c d les projections respectives des points A B C D.
ab et Aj3 sont deux droites parallèles et de même sens, de plus les pians P' et P' qui projettent A et B étant parallèles, les droites Aa, i56, intersections de ces deux plans par un troisième sont parallèles ; la ligure A^ba est donc un parallélogramme, et par suite A^ ^ ab. On verra de même que (3 := cd.
Mais les deux triangles AB^S CDS ont tous leurs côtés parallèles. B[i et D3 sont en eflet les intersections des plans parallèles P" et P, par d'autres plans parallèles; de plus AB = CD, Ces triangles sont donc égaux, et pai- suite A|5 — Câ ou ab = al.
LKÇONS SUli [.ES Mlh'IIODES DE GÉOMÉTKIL': MOUELIXK (}7
D'ailleurs les signes sont évidemment les mêmes, parce que ABetCD ont même sens. Si en effet ab est podtif, c'est que le plan projetant A est è gauche (par exemple) de !i, mais alors lo plan projetant C sera à ga-Mhe de D .
Les principes du cliapitre premier donnent des tliêorèmes relatifs aux projections. Soient trois points ABC et abc leurs projections; on a i «)) -f- te + C(t =:^ ce qui peut s'énoncer :
Proj. AB + proj. BG + pwj. CA = De même la proposition du § 3 donnera, si les points abc ...l sont les projections des points ABC, ,,I.
ab + bi; + rd+ ... + kl + la^O c'est-à-dire
Proj. AB -{■ proj. BC + proj. CD -}- ... proj. KL -j- pi'oj. LA = L'égalité précédente peut s'écrire : en remarquant que Proj. LA ^: - Proj. AL(§1)
(') Proj. AL =3 fjro], AB + proj. .'JC + proj. CD + ... + proj. KL c'est sous cette forme que nous l'appliquerons.
g 101. — lî.wHESsLON I3M LA PROJECTmx d'un seg.\[ent. — Considél'ons un axe X'X sur lequel nous projetterons, et un second a.xe Y'Y, sur lequel se trouve un segment AB projeté sur X'X en a b, et un ■autre segment CD projeté sur X'X en c cf. Je dis qu'on a en grandeur et signe :
