AU CR
L'égalité a lieu en grandeur en vertu de cette proposition de géométrie élémentaire : Des plans parallèles interceptent mr deux droites des segments proportionneU. Pour démontrer que les signes des deux membres sont les mêmes, supposons d'abord que le sens de AB soit le même que celui de CD. Alors pour amener le plan projetant A sur !e plan projetant B, il faudra déplacer ce plan dans le même sens que pour amener le plan projetant Gaur le plan projetant D. Mais le premier sens amène a sur 5, le second, amène c sur d. Le sens ab sera donc le
6y LEÇONS son LES MKTHODES Dlî GÉOMÉTUIE MODERNE
même que le sens cil, alors dans l'égalité cl-dessiis les niimérateui's auront le même signe, et les dénominateurs auront aussi le même signe ; l'égalité seva donc vraie : si maintenant on change le sens de CD, celui de cd changera aussi, et le signe de —, ne sera pas aitéré. La proposition est donc démontrée.
Supposons que CD soit égal à l'unité et dirigé dans le sens positif. On aura CD^:^ + 1. Soit ila valeur de cd, on aura eu grandeur et en signe ab ■= AI3 X >■ c'est-à-dire
(') ProjecHmi AB = Ali X '
le paramétre! se nomme paramètre directeur del'axeY'Y. Si le plan P est perpendiculaire è X'X. {projection orthofionalej 1 est par définition le cosinus de l'angle que lont les deux directions Y'Y X'X. On voit facilement que cette déQnition est d'accord avec celle que l'on donne du cosinus dans les traités de trigonométrie.
S 102. — CooRDûSNi'iiis ii'tN POINT. — Considérons trois plans se coupant deux à deux suivant trois droites. Nous nommerons ces plans, plans de coordonnées- Leur point de rencontre sera appelé l'origine. Sur chacune des droites nous choisissons une direction positive, soient Ox 0;; Oa ces trois directions. Les droites se nomment les axes de coordonnées.
Soit P un point quelconque de l'espace ; projetons ce point en A sur 03}, parallèlement, au plan yOs, en B sur Oy parallèlement au plan zOx, en C sur Os parallèlement au plan xOy. Les trois segments OA OB OC que nous désignerons encore par xy s s'appellent (es coordonnées du point P.
Rèc^^roqumient trois quantités positives ou négatives quelconques xy s sont toujours les coordonnées d'un certain point P et d'un seul. En effet, il existe sur l'axe Ox un seul point A tel que OA ^r a; en grandeur et en signe. Sur Oy un seul point B tel que OB:^i( sur Os un seul point C tel que OC ^ s.
Un plan P mené par A parallèlement au plan yOz sera évidemment ie lieu des points dont la première
LEÇONS SUR LES METHOUKS DE GEOMIi'mili MODEUXE IjlJ
plan. Q mené par R parallèleinenl au plan zO.i: sera lo lieu des points dont la seconde coordonisée est égale à y.. Un plan R mené par C parallèment au plan xOy sera le lieu des points aj'ant s pour troisième coordonnée. Les plans P Q R se coupent en un point M, qui est évidemment le seul point dont les coordonnées soient -^ !) s. Considérons l'eusemhle des points de l'espace, et un second ensemble dont chaque élément est un groupe de trois quantités k y s ; à cliaque élément du premier ensemble correspond par ce qui prBcèdo un élément du second et réciproquement. Aussi conlondrous-nous souvent un point avec le groupe de ses trois coordonnées. Nous dirons le point (.rys) au lieu du point dont les coordonuées sont
Xjl z.
§ 103. — Changements d'axës dis coordonnées. — Nous allons résoudre lo problème suivant qui nous sera utile dans la suite. Les coordonnées d'un point par rapport à un système d'axe o'x o'y'a's' étant rionnées, calculer les coordonnés du même point dans un second système d'axes Ox Oy Ox.
Le problème comporte deux cas particuliers que nous traiterons d'abord.
§ 104. — V On change t'oiHoine sans changer la direction des axes, — Soit M le point considéré O'X'Y'Z' le premier système d'axes, OXYZ lo second système, xys, œ'y's' les coordonnées du point M dans ces deux systèmes.
On aura § 100), Proj OM — Proj OiV + l'rlïM.
Soient abc les coordonnées de 0' dans le système OXYZ; en projetant sur OS parallèlement au plan YOZ on aura Pinj OM — x pjojO0'~a.
La projection de O'M sur OX étant la même que sur O'X' qui est parallèle et de même sens, est égale à a/
ainsi c — ((-(- œ' ; de même en projetant sur OY (J) ) y^^b-^y' et en projetant sur OZ
70 LEÇONS sua LES MÉTIIODKS DE '.GÉUMÉTRIB MODKRNE
g 105. — 2° On rliangt' la direction de,ï iixfs mais non l'onijine.
Soit OX OY OZ un système d'axes, M un point dont les coordonnées sont iriys. Menons une droite O.i;' par l'origine ut prenons sur Oa;' une longueur égale à 1, Ow dans le sens posilil. Les coordonnées Â^j du point « se nommeront (§ 101) les trois paramètres directeurs de Oa/. Menons de môme une droite OY', soient V«V ses paramètres directeurs, et une droite OZ' dont les paramètres directeurs seront /VV.
Par M menons une parallèle à OZ' qui coupe en P le plan X'OY', par P menons PH parallèle à OY', qui coupe en H la droite OX'. Les coordonnées 3fy'z' de M dans le système OX'OY'OZ' seront.- OH— x' HP— y' PM — ï et l'on aura (§ 100) Proj OH ■+■ ProjBP + Proj PM = Pj-oj OM Projetons sur OX parallèlement au plan YOZ, ProjOM c'est x par dérinition. Proj OH c'est segment OH c'est-à-dire x' multiplié par ). (§ 101) ainsi ProjOa=1sif, de même ProjUP = X'y' ProjPM = )."s'
x^lx-+l'y-+l"^de même en projetant sur OY parallèlement au plan XOZ
(') ^ et on projetant sur le plan XOY
Ces trois formules résolvent la ([uestion.
' § IOd. — Le problème général est alors (aciie à résoudre. Considérons deux systèmes d'axes quelconques 0j:,0y,03, Ox'.O'i/, OV, soient :vyz,x'y'z les coordonnées d'un point M dans ces deux systèmes. Prenons un troisième système d'axes O'XiO'YiO'Z, dont 0' est l'origine, mais qui sont parallèles à OX,OY,OZ,
Soient -r, ?/,3, les coordonnées du jio'int M dans ce nouveau sys-
: CiKOMUTillf'; HODKI
On aura pour passer du système OX OY OZ au système OX, OY^ 02, i formules ;
ïy=''+y,
el pour passer tlu t
système ^'i y, s, au système ;
d'où il résulte:
(-■) ]' y=--b+:'-3f+-jrif+y:'z'
et ces formulés résolvent la (luestion dans le cas général.
§ 106. — DÉFINITIOX DES SURFACES ALGÉBRIQUES. — EQUATION DU PLAN. — COOBUONXÉES c'UK POINT DIVISAST US SEGMENT DANS
UN UAPPOitr DONKK. — Distance de deux iioints. — Angle de DEUX DIRECTIONS. — Une équation algébrique est une équation obtenue en égalant à zéro un polynôme entier. Un polynôme entier à trois variables xyz est une somme de termes de la forme kx''y- z'I où A est un coefïïcicnt positil ou négatil, el^Py trois entiers.
La somme * + ,? + •/ se nomme le degré du terme, et le degré du polynôme est celui de ses 'termes pour lesquels il est le plus élevé.
L'ensemble des points dont les coordonnées satisfont à une équation algébrique de degré m, se nomme surface de degré m. Le degré m ou l'ordre de la surface ne dépend pas des axes cboisis ; en efiet si dans l'équation,
72 LEÇO.-^S SUR LES MÉTHODES DE LA GÉOMIiTlilE MÛDEFINE
on remplace xy z par leurs valeurs tirées des, formules f) oq voit bien que l'équation en 3f y' s' que l'on obtient ne peut Être de degré supérieur à l'ancienne. Elle n'est pas non plus de degré inférieur, car le degré s'élèverait par la transformation inverse.
S'il était question de géométrie plane, un point étant déterminé par deux, coordonnées seulement x et y, on verrait qu'une courbe plane algébrique est définie par une équation algébrique à deux variables seulement x et y, et que le degré de l'équation ne dépend pas des axes de coordonnées.
§107.— Uevenotis, pour plus de généralité, au cas de trois y: Un plan étant défini par une équation z=:0 quand ce plan est pria pour plan des a: y et cette équation étant du premier degré, l'équation d'un plan restera du premier degré quels que soient les axes choisis- Nous verrons bientôt que, réciproquement, toute équation du premier degré représeotc un plan.
En géométrie plane une équation du premier degré représente une ligne droite. Nousavons déjà rencontré cette proposition (§ 77).
§ 108. —Soient A et l! deux points de coordonnées .f„i(oS et M un point de la droite Ali tel que Try=^ m, xy z gescoor Soient « () et « les projections faites sur x parallèlement ¥ Z des points A B M. On aura (§ 103) ~ ^ ^ mais rry. r, () = X, — j- donc
Ces formules sont fort utiles; quanti ii (sti/i s) parcourt la droite AB,
LEÇONS SUR LRS MÉTHODES DK LA OÉOMKÏRIE H0DER:(E 73
§ 109. —Nous pouvons maiotonant démontrer que toute équation du premier degré représente un plan.
Considérons en effet une étiuation du premier degré. {') k.x + By+ Cï + D —
et soient deux points P {xijz) et Q {-Ciij^z,) dont les coordoniiios satisfont A cette équation ; on aura
AiKo 4- Byo + C5„ + D = A.I', + liiy, + C;, + D — on aura donc, quel que soit «i :
A (x, + mx,) + Biy,+ viy,) + G (^, + <iiz,) + D (1 + m) =
ce qui montre que le point M ayant pour coordonnées.
sallslait aussi à l'équation C) ; or d'après le § 108, le point M est un point quelconque de la droite PQ, donc l'équation (!) représente «n lieu tel qu'une droite Y ayant deux points V soit contenue tout entière. C'est donc bien un plan.
§ 110. — Nous allons encore appliquer les formules C') à la résolulion du problème suivant; on donne deux points A et B, de coordonnées x^y,!, iK,jy,A,, et un plan ayant pour équation. «.K-î-()y-l-C3-f d^O Ce plan coupe AB en un point M, calculer le rapport ttû- En désignant ce rapport par «(, les coordonnées du point M sont données par les formules ('). Le point M devant être dans le plan, on
liésolvons cette équation par rapport à m on a :
— a.^^11 + 6Mi> + es. + d ''■' ~ ~ ax, + by, + es, -i- ((
74 LEÇONS SUll LES MliTHODËS DE LA GEiJMKTIillî MODEEIKE
, MA ax., 4 fcu. +• cr, + ('
Dt par conséquent ^jjj = —m = ■ ^^^ ^ ^^^^ :^ -^ - ^p—
On abrège en désignant par P le polynôme ax-\~by -\- c: + d, par Pt, et P| les valeurs que prend P quand on y subthue les coordonnées des points A et B
S m. — Des points A et lî abaissons des perpendiculaires sur !e plan, soient H et ïi leurs pieds. On aura évidemment en grandeur et
AH AM P signe 5j7 ^ WïT — TT". car AH et BU sont les projections de AM et BM
sur lin axe perpendiculaire an plan de P (§ 101).
On voit en outre que P^ et P, sont de même signe ou do signes contraires selon que A et B sont du môme côté du plan ou de côtés diflérents.
§ 1 12. — Nous allons maintenant démontrer d'autres formules, très importantes pour la suite, en supposant que- les tivù plans ife coordonnée)! soient rectangulaires deux à de^ix.
Dans cette hypothèse, considérons une droite passant par 0, prenons dans le sens positil choisi sur cette droite une longueur OP =^ 1, Les coordonnées du point P que nous désignerons par J « ï sont les paramètres directeurs de la direction OP; ici, comme les axes sont rectangulaires, î « ï sont les cosinus des angles que la direction OP fait avec les axes.
Menons par P une parallèle à OZ rencontrant on K le plan XO Y, par K une parallèle à OY, rencontrant OX en H.
Comme nous l'avons déjà vu 011 HIC KP sont les coordonnées du pointP, OH— À BK — ,1* KP— v.
On aura : Projection OP = Proj. OH -|- Proj. HK + Proj, KP. (§ 100) Projetons orthoganalement sur la direction OP; Proj. OP c'est OP luimême, c'est-à-dire l'unité. Pro], OH est égal à OH multiplié par le cosinus de l'angle de deux directions OX et OP, c'est-à-dire par )., c'est
LEÇONS SUR LES METHODES Di: LA GKOMÉTREE MODEUiVE 7o
). X À OU X', de même Projection HK — HK X cos. (ol, tiVj —y. X y-
=: u.' enfin projecticm, KP = v'
C^S doiic'l —}} + u^ -{-.^
La somme dos cai-rés dos trois paramètres directeurs rt'iirio dircclion dans «n système d'axes rectangulaires est égale à l'unité.
Au lieu de projeter sur OP, projetons sur'ime autre direction OP' dont '' ,«' ■/ sont les paramètres directeurs. Soit V l'angle POP' On aura p)-ojectioji OP = OP cos. V — cos. V puisque OP — 1 . Projection OH ;= OH X cos. (OP, OX) — OH X '' — >■'.', de même projection HK:^HK X ros. (OP'.OY) = HK X ,"' = ,'',^.', projfdinn Kl' — KP X COS. (OF, 07.) — ■;■;
(") donc cos. Y ^^ ».' + u.y.' -)- W
cette formule donne le cosinus do l'angle de deux directions, connaissant les paramÈtrcs directeurs,
§ 113. — Soit maintenant sur OP un segment OM ^R; les projections de OM sur les axes seront les coordonnées de M, (.i; y s), ce seront d'autre part R) Bit Rv. On aura donc :
{") et par suite (§ 112) .(■= + '/■-{■::'—■ R'-
Cette équation donne la distance d'un point à l'origine, quand on connaît ses coordonnées.
11 est facile dès lors de trouver la distance de deux points quelconques. En effet soient A et R deux points, Xf y, s^, xy s leurs coordonnées. Sans changer la direction des axes transportons l'origine au point A, et soient x' y' z' les coordonnées du point B. On aura (§ 104).
X = ,■(■„ + X' y un 1/, + 7/ Z — X„ + 2'
.Maison a, d'après ce qu'on vient de voir :
ib LEÇONS SUR LIÎS MKTlIODEa DE LA. GËOMKTRTË MOUKRNE
n donc Alî' ^{x — x,r + (y - y„y + {z - s,)' li'e.st la formule cherchée.
§ 114. — Dr.PLxr.EMKXT bu\b insuiiE. — Si nous avons iino liguro F et que nous la déplacions sans la déformer, nous obtenons une seconde figure F,. Les coordonnées- d'ua point delà figure F, étant œ y z soient x* y' a" les coordonnées du même point de la figure F, c'està-dire du point qui, après le déplacement, est devenu le point de coordonnées xy z. Considérons le trièdre trirectangle O'^b'j/'s' qui après le déplacement, est devenu le trièdre Oj: Oij Os, ou voit que le môme point dont les coordonnées sont par rapport au trièdre OxOi/ Oz x y S a pour coordonnées par rapport au 2' trièdre •Ji y' i. On a donc entre «i.i : les formules du n° 103 formules (') c'est-à-dire que ces formules peuvent être considérées à volonté comme liant tes coordonnées d'un même point par rapport à deux systèmes d'axes différents, ou comme exprimant les coordonnées d'un point qui a subi un déplacement, connaissant ses coordonnées initiales.
