HUITIEME LEÇON
Sur les quantités complexes ou imaginaires, et les points imaginaires
§ 115. — Une équation du secûnd degré n'a pas toujours des racines, pai' exemple l'équation (,r — ay -\- b' ^: o n'en possède pas. Pouf l'unitormité et la facilité des raisoonements, il convient de définir de nouvelles espèces de quantités appelées complexes ou imaginaires, de telle sorte qu'en adoptant cet te nouvel le notion, l'équation da second degré ait toujours des racines.
Nous appellerons quantité complexe, ou quantité imaginaire, l'ensemble de deux quantités ordinaires positives ou négatives (« b) rangées dans nn ordre déterminé. Nous désignerons souvent une telle quantité par une seule lettre.
§ 116. — Égalité. -~ Doux quantités complexes (a b), (a' b') seront dites égales si l'on a séparément a ^: a' b = b'.l\ résulte de cette définition que l'égalité est réciproque, c'est-à-dire que si A ^ B, B — A, et que deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles .
g 117. Adclition. — La somme de plusieurs quantités ((( b) ia.'b') (a"b") est par définition la quantité complexe (a 4- «'-[- a" b -\- h' -\- b") Soient A A' A" les trois quantités complexes précédentes : on aura A + A' = A' + A
car cela veut dire a -\- n' ^:^ a' -\- a, fi -|- !)'=:; b' -f b. on aura aussi ;
78 LKÇONS SUR LES MliTLlODÎlS DE liKO.MMl'iUll MOBEaSE
A + (A'+A") = A + A'+A" c-ir cala veut (!ire : a + {a' + «") — a + a' + a"
onaura A + (0,0) ^ A, ou pour abi-éger A+ ^ A car cela veut dire a-j-0=ttfi + 0:^b.
L'égalité A + A' ^ A + A" entrainera A' = A" car cela veut dire que les égalités a -|- a' — a + a", b + b' = b -\- b" enti'alnent a' ;= a" b' ^ b".
La diijférmce A — A' sera une quantité A" telle (luc A' + A" cloano A c'est donc la quantité {a — a' b—V).
On voit qu'oo obtient encore A" = A — A' en ajoutanl à A la quantité ( ~ œ', — h') c'i-st pourquoi nous appellerons cette quantité ~ A'; ainsi — A' ^ — (<[' b') ^^ {— a', — b') par ijérmition.
Comme toutes les règles relatives à l'addition et la soustraclion sont des conséquences de ce que nous venons de démontrer, il en résulte que ces règles s'appliquent aux quantités complexes.
Uemarque. — Si dans une quantité complexe, la seconde partie est nulle, nous l'omettrons. Nous écrirons a au lieu de (a,0). Du reste noua avons déjà écrit oi-dessus au lieu de (00),
§ 118. — Multiplication. — Soient les deux quantités A = (a-, b) A' — {a\ V) on a par définition :
AA' — {ad — (fil', dd' + (!((')
Cette déliniUou semble bien arbitraire, mais nous vcirons que loi propriétés de celte opération sont des plus analogues à celles di la multiplication ordinaire.
On voit d'abord que si (j - - (> = on a simplement (no', 0) ci qui redonne la multiplication ordinaire.
La multiplication est cormmitative, c'est-à-dire qu'on a ■
LEÇONS SUR LES MCTHODK »ES GEOMIiTRlIÎ MODKR.VE A A' = A'A
En eUet cette égalité équivaut yus deux suivaules :
aa' — W — a'a - Vb ub' + ba ~ a'ii + <ib'
La miiltii^lication est assocwthe, c'est-à-dire qu'on a :
Eu elïet celte égalité équivaut aux deux guivaates :
( [ao.' - 1)1)'] a' - [ab- + ba'] b" = a [a'a" - b'b"] - b [b'a" + n'h"] *'^ [aa' - bb'] b" + [ab' + ba'] a" = b [a'a" - b'b"] + a [lîVt" + ((7)"]
ces égalités sont iacilcs â vérifier.
La multiplication est d'htiibutiie rdath-emml il l'nildition, c'es dire que ;
(A' + A") X A = A'A + A'A Cette égalité équivaut aux deux suivantes :
i {a' + a") a — jy+ If) b =
ce qui se vénfie facilement.
On a A X 1 — A A X =
ceci est égalenienl facile à vérilier,
Béeiproqu&mmt un produit ne yteiil àti-e nul si aucuu liicteur n'est nul; en effet on a l'identité:
O (aa- - bb'r + (ab' + ba'Y ^ («= + b') (a"- + b")
qu'il est facile de vérifier.
Si le produit AA' était. nul, le premier membre de celte identité serait nul; il en serait de même du second, ce qui est impossible si l'on n'a pas ou bien a^-j-d'^^O ou bien a'^-^b"^^0, mais pour que l'on ait a'-(-b'^0 par exemple, il faut évidemment que l'on ait a=0 b — 0.
ni} LEÇONS son LES MKTHODËS DE LA GEOMKÏRIit MOBIÎRNË
L'expression (/«' + d* s'appelle le module A. D'où l'on voit en extrayant lea racines carrées des deux mejiibres de l'identité f) que le module d'uE produit est égal au produit des modules.
§ 119. ~ On appelle quotient de A par A' la quantité Z lellc quel A^ZXA' ;
Soit k^{a,b) A' = («'J)') Z = (.i?,!,) l'Ègalit-é A^^ZA' équivaut à
Lea règles pour la muitiplicalion et la division se déduisant toutes des propriétés que nous venons do démontrer s'appliquent aux quantités complexes.
§ 120. — Manière d'écrire dke quantité complexe. — On a {ab)={aO) + (,Ob)
on a (aO) — (i par définition; (Ob) = (Oi)X(bO) désignons par t la quantité (01); la quantité (fiO) se désigne par b, comme on l'a vu; on a donc:
(tt(j)^(a.0) + (01) (bO) = a+ib.
r.lierclions une quantité (xy) dont le carré soit —1; on a {xy)*=:(3}^ — y^,23ni} on doit donc avoir a;'— y'^^— t 2xy:r^0. ce qui donne x = J/'^:^! on y=^±\, les deux quantités cherchées sont donc (01) et (0—1) c'est-à-dire i et — i. Ainsi i c'est (/—l, mais nous continuerons à garder ie symbole i.
§ 121. — On voit que le calcul des quantités complexes revient à traiter i comme une quantité dont le carré est partout remplacé par — 1.
LKÇONS SU« LES MKTHODES DK LA, GEOMETUllî MODEHKK
Considéions mainlenaiit l'équation du second degré
on en déduit x — a^±ib
d'où x^=a±ib
en sorte quo cette équation a pour l'acines deii\ quantités
plpxes.
Points, droites et plana imaginaires
§ 122. — Nous tousidéroûs l'ensemble E des points de l'espace, et l'enseinhle E, dont chaque élément est constitué par un groupe de trois valeurs positives ou négatives {xyz). Nous supposons que dans l'ensemble E on ne compte pas les points à l'infini, dont il sera question plus loin.
A ciiaque point P, élément de l'emsemble E, correspond, nous l'avons vu, un élément de l'ensemble E,, le groupe de ses trois coordonnées (xys).
On pourrait donc, au lieu d'étudier les éléments de l'ensemble E, c'est-à-dire les points de l'espace, étudier l'ensemble E, ; lorsque dans l'espace, plusieurs points P sont dans un même plan, les éléments correspondants de l'ensemble E, satisfont à une même équation du 1" degré. Lorsque plusieurs points de l'espace E sont sur une droite, les éléments correspondants de l'ensemble E, s'obtiennent en donnant à m des valeurs convenables dans un groupe de formules telles que les formules (") du § 108.
Lorsque la distance PQ de deux éléments de l'ensemble E est égale à R, il y a entre les éléments correspondants de l'ensemble E, la relation
(X - x„r + (y ~ yù' + (s - ïo)' — R' (§ 113)
Si l'on fait subir à une figure F de l'espace E un déplacement
les éléments correspondants {x'y''') ûe l'ensemble E, sont rem-
82 LIÎÇOi\« SUIl LliS MlhllOlJKS DE LA. CÉOMlh'UIb; MODERiXK
placés par d'autres xyz donnés par les formules {') du § 105. Comme la distance de deux points n'est pas altérée par un déplacement, on en conclut que les formules ('') du § 105, possèdent cette propriété : a Si on prend deux points {a^'i/s')) Wî/oV) et si on calcule par les formules (") x y z et de môme x„ ;/„ s, en formant l'expression
(j: ~3;,)' + (ij- y,) ' + (z - z,y on doit retrouver
On suppose bien entendu qu'il s'agit d'axes de coordonnées rectanju-
laires.
§ 123. — A eliaque propriété de l'ensemble E correspond ainsi une propriété de l'ensemble E, qui en est en quelque sorte la traduction.
Adjoignons maintenant à l'ensemble E, un autre ensemble E,' dont chaque élément est formé de trois quantités complexes (XYZ) l'ensemble Ej formé des deux ensembles E, E,' contient alors tous les groupes de trois quantités -{x y s), xyz étant, soit des quantités ordinaires appelées aussi quantités simples ou réelles, soit des quantités complexes. Un élément de cet ensemble Ej correspondra à un point, si a! y 3 sont réelles; dans le cas contraire, on convient d'appeler l'élément del'ensemble E, point imaginaire.
Un point imaginaire sera dit situé sur une surface si ses coordonnées, c'est-à-dire les trois nombres qui le constituent, satisfont à l'équation de la surface.
§ 124, — Considérons un point imaginaire œ = c< -J- S i 1/ — a' 4- |S'i a — k" 4- f>" i le point x=.« — [n y =z a' — ji' i î — «"—^"i sera dit conjugué du premier :
une équation algébrique
V A x^' y° 5i> = où les cocllicienls A sont réels, ne peut être satisfaite par les coordonnées d'un point sans l'être en même temps par celles de son conjugué ; en eflet Si on remplace xy s par les coordonnées du premier point
E L\ GEOMKTUli; il
le premier membre de l'équation prend une certaine Inrmo P + Q ', tandis que pour les coordonnées du second il prend la lorme P — Q i. Mais si ia première équation est satislaite on aP + Qi — donc P ^ Q ^ et par suite P — Qi = 0. Ceci ne serait pas vrai si les coefflcieuls A étaient des quantités complexes, car en remplaçant xyz par les coordonnées du second point, on ne changerait pas t eu — idaus ces coefficients.
^ 125. — La distance de deux points imaginaires (x y z) (.r„ y, s^] est par définition la quantité R définie par réquation.
R' = (j; - x,y + (y- y,y + {z- ïj' (on voit que pour calculer R on a à extraire la racine carrée d'une imaginaire. La chose est lacile: soit se 4- iy — \/a-\-ib: on a en élevant au carré a;* — j/' + 2 tiri/ :^a + ib, et on a à résoudre les deux équations : x' — y'^^a '■"H^^ -^ qui fournissent x et y)
Les formules de transformation du § 105, transforment, comme on l'a vu, l'expression de R* dans l'expressionanalogueena.' y's' x'iy't,z\, de sorte que ces sortes de transformations etîectuées sur les coordonnées des diflérents points d'une (igore imaginaire ne changent pas leurs distances mutuelles. Quand on effectue cette transformation, on dit qu'on déplace la figure.
§ 126. — On appellera plan imaginaire dans l'espace à 3 dimensions , droite imaginaire dans le plan, l'ensemble des points dont les coordonnées satisfont à une équation du premier degré à coefficients imaginaires.
Théorème. — Un plan imaginaire contient une droite réelle. En effet le plan.
(ft + a'i) X + ((? -i- b'i) y + (c +rt) s + d + d'i — passe évidemment par la droite d'intersection des deux plans ax + by+cs + d — n'x + b'y + e's + d ~ U On peut remarquer que ie plan imaginaiie conjugué ;
JS'l LEÇONS Smi LKS METHODES DE LA. GUOMKÏlîiE MODERXK
(a - a'ï) X + {b - b'i) 'Il + (0 ~ c'j) : + d - d'i = O passe par celte racine droite.
En géométrie plane, on verra de LuÈme qu'une droite iinagiaaire con tient un point réel et un seul.
Théorème. — La droite qui joint deux points imag-inaires conjugua est réelle. En effet les coordonnées de l'un de ses points sont
« + pi + OT [« - Si)
et 2 autres formules a
en posant -——^:=l, on a j; — h -f- /,S et de mÉme ly = &' 4" '■.^' a ^ k" + 'i.y' et quand ), varie on a des points réels. On verra facilement que le plan qui contient trois points imnginaires et la droite qui contient ks trois points conjugués des premiers sont imaginaires conjugués. Même remarque pour des droites joigaant deux peints imaginaires .
Droites isotropes, plans isotropes.
^ 127. — L'équation s' + if -|- s;' ^ U- est évidemment celle d'u
W est négatif, la ■e est un cône, car si on n a encore l'équation.
splièrede rayon R ayant pour centre sphère est imaginaire ; si R' ^^ cette augmente xy z dans un certain rapport à, oi
or, quand on a deux points x i/ s œ' i/ s' tels que
it est bien facile de voir que ces points sont en ligne droite avec l'origine.
Les génératrices 'de ce cône sont des droites inoirofti;, ses plans tangents des plans isotropes. Nous reviendrons plus loin sur ces importantes notions.
i LES METHODES I»E LA GEOMETRIE MODERNE
Raisonnements sur des points imaginaires
g 128. — Il est clair que si des principes subsistent pour les pointa imaginaires, leurs conséquences subsistent égaîemcnl.
Les théorèmes établis au § 1 subsistent évidemment pour les points imaginaires.
On a AB -f- BC -f- ^^^ =:; car si a ,^ 7 sont les aboissos des trois points, AB c'est par délinition 5 — -/. L'^j^çalité se réduit donc à
c'est-à-dire à une idetilité.
§ 129. — La projeclivilé du rapport auharmonii|t\e est plus diiricile à démontrer. Voici une démonstration qui, s'appliqiiant aus points réels, subsiste lorsqu'ils deviennent iinnginaircs.
Je ferai la démonstration pour le rapport anbarmonique de quatre plans dans l'espace. Elle s'appliquera d'elle-même à quatre droites dans un plan, en supprimant la variable s .
SoHAx+Bij -f C3 + D r=o ou pour abréger V — o l'équation d'un plan
A'r + B'y + Cz + !)■ — ou Q — o
celle d'un second plan.
Soient M et N deux points M,*!) coupe 1' eu un point l\ et <l en un points. Soient Xsjy„!o œ, i/i :, les coordonnées des points .\! cl N. on aura (g 110) (formule 8),
et de r
ucme
ii.\i
. SSI
nx
considérons maintenant un plan 1' + ' 'J =0 passant par la droite
B») LEÇONS Si;!\ LES METIHIDKS IJE LA GEOMEIIUE MODERNE
d'intersection des deux plans donnés et par le point M, P + y. Q = un second plan passant cette fois pav le point N.
Le premier plan passant par M, on a : 1\ + ' Qo = '/■ — — de môme le second passant par N. on a : l*, + ," Qi = '>
donc: le rapport anharmonique des quatre points (M NR S) où une droite rencontre quatre plans passant par une même droite i 1> — Q — P+ A Q ==0 P+,1/, Q = est égal à ■'- il est donc le même, ciuelle que soit la sécante.
Ce principe une fois démonfré| toutes ses conséquences en découlent iacilement sans supposer les points réels.
§ 130. — Nous allons aussi reprendre les propriétés du plan polaire par rapport à «ne sphère (ou de la polaire dans un plan par rapport à un cercle) afin de donner de ces propriétés des démonstrations applicables immédiatement, et sans modificaVion au cas oii les points sont imaginaires. Nous raisonnons, pourpltis de généralité dans le cas de Ja.sphère ; le cas du cercle dans le plan se traitera de même en supprimant simplement la troisième variable :. L'équation d'une sphère ayant son centre à l'origine est :
Soient A et B deux points, x^ y^ j^, x, j/, ;, leurs cooi-données '■ M et M' les points où la droite AB coupe la sphère. Posons ^ =^ m, —-=: vi' ; les coordonnées du point M par exemple s'exprimeront par les formules ("), du § 108 et en écrivant que ce point est sur la sphère, on aura l'équation
('•,t";p)- +evï";f')- + e';: "?)■=«■
LEÇONS SUR LES MÉTHODES DE L;\ GÉOMÉÏIIIE MODE[li\E 87
OU bien :
(') ix, + mx,r + (y, + wy,r + (.% + "'=,)' - li^ (1 + my^o
Les deux racines de cette équation en m seronE m et m'. Pour que les points M et M' soient conjugués par rapport à A et B, il faut que !a somme des racines de cette équation soit nulle, et par suite qoe !o coefficient de m soit égal à zéro. On aura donc : (') 3:,^i + ll«y^ + Sn^. — H'
c'est la condition pour que les points A et 13 soiout conjugués par rapport à M et M'. Si A est Rkg, le lieu de B est un plan qui a pour équation :
Si le plan polaire de A passe par B, celui de B passe par A, car chacune de ces deux conditions s'exprime pai' la relation C).
Considérons un point variable G sur la droite AU, ses coordonnées seront, d'après les formules, delà forme
En formant l'équation de son plan polaire, on voit que si l'on désigne pour abréger par P — Q ^ 0, les équations des plans polaires de A et iJ, le plan polaire de G aura pour équation P -f- À Q :^ 0, en sorte qu'il passe par une droite fixe, intersection des plans P= Q ^:0, c'est la droite conjuguée de AB.
Prenons sur AB un autre point D qui s'obtient en attribuant à ). une autre valeur n dans les formules précédentes ; on aura
le rapport anharmonique[A B C D)*sera égal à
Les plans polaires de A B C D ayant pour épuations P ^^ Q ^i: P-(-). Q^OP-i-(tQ^^ leur rapport anharmonique sera aussi — . (§ 129), donc le rapport anlmnnoniqne île quatre points en liijne droite est bien égal à celui de leurs quatre plans polaires.
