DÉFINITION DES POINTS IMAGINAIRES DE VON

STAUDT.

§ 131. — Nous avons défini dans la leçon précédente, un ensemble E, dont chaque élément est uo système de trois quantités (X Y Z) réelles ou complexes. On peut présenter les choses d'une îaçon im peu difEérente. Mettons X Y Z sous Sonne de rapports X:^-^ Y=:-^Z=;^t sera forcément différent de ?,éro. Ou pourra, au lieu de donner X Y Z, donner les quatre valeurs xy s t, (t ^o) maisX Y Z ne changeront pas quand on multipliera x y s ( par une même quantité- L'ensemble Ej aura alors pour éléments des systèmes de quatre valeurs réelles ou complexes, dont la dernière sera différeote de zéro, deux ^sternes n'étant pas supposés dùtincti quand les quatre val'mrs de l'un sont propoitionnelks aitx quatre valeurs du même rang de l'avtrr. On dira, pour abréger, qu'un élément de l'ensemble E, est constitué par des quantités })coportiowneiles à quatre valeurs (aiiy s () réelles ou complexes dont la dernière n'est pas nulle.

Nous avons déjà remarqué que deux points (XYZ), (X,Y,Z|) tels que -^ =^"^ =^ "Y étaient en ligne droite avec l'origine. Il en résulté que si dans les lormules X^~r- Y— -f- Z^^-y.On fait varier t sans modifier X y 3, le point (XYZ) s'éloigne à l'infini dans une direction déterminée lorsqu'on tait tendre t vers zéro,eiron peut dire que le point va

LEÇONS SUR LGS MÉTHODES DR LA GlîOMftl'RIE MODERKE 8!)

coïncider avec un certain point à i'intini. Nous convenons de dire que . les coordonnées de ce point sont proportionnelles à »; y 3 et zéro.

Considérons dès lors un autre ensemble Ej dont chaque élément est constitué par des quantités proportionnelles à quatre valeurs (x ij z t) réelles on complexes dont la dernière peut être nulle. On appellera point un élément de cet ensemble, ëï x y z t sont réelles, on aura un point do coordonnées ~r "7" -7- ^^^s l'espace réel ; si f = on aura un point à l'infini dans la direction qui joint l'origine au point de coordonnées j; y :. Si -7- -r -j- sont imaginaires, on aura un point imaginaire, qui peut d'ailleurs âtre à l'infini, six y et s étant imaginaires, ( est nul.

Nous pourrons appeler l'ensemble Ej l'espace analytique.

Si on a l'équation d'une surface, de degré m.

sAX^Y^ZV =

en remplaçant les coordonnées X Y Z par -^ -^ -;- tous les termes contiendront en dominateur une certaine puissance de t; la plus élevée sera t". Si donc on chasse les dominateurs en multipliant toute ré(|uation pnrr, on aura ;

^Ax'-'-y'' :;'^l. "■ '^ V =

après cette opération, tous les termes sont de même degré en xy -t.Oa dit que l'équation est homogène \ d'où le nom ds cyordonnées hoinoijènsf donné à X a a t ,

Les points à l'infini sont ceux pour lesquels f = 0. On dit que cotte équation, qui est du premier degré, représente k plan de l'infliii.

Considérons une sphère de centre x, y^ s^- On obtient sou équation en écrivant que la distance du point (XYZ) au point a^j (yri3„estôi;;ile au rayon R, ce qui donne {§ 113)

(X - x,)' + (Y - v,r- + (Z - ;„)' = II' ou en coordonnées homogènes

(X - tx,y- + {y ~ ty,r + (: - (:„)' = WT-

yGoosle

En faisant ( =: on a les points à l'infini sur la sphère. Ces points sont donc à l'intersection du plan de l'infmi avec la surface x^ + ,f + ~J^O

Celte équation ne contenant ni a;„, ni y„, ni •,, ni R, est la mùme pour toutes les sphères. Donc toutes les sphèns coupent le plan de l'infini suivant la même lifitK. Nous retrouvons ce résultat d'une manière géométrique ; cette ligne s'appelle le cercle de l'infini.

§ 132. — Je vais compléter ici la théorie de l'Iiomologio en donnant des lormules qui permettent de calculer les coordonnées du point correspondant d'un point donné, dans une bomologie.

Nous prendrons pour origine le centre d'homologie ; pour axe des a; une droite quelconque rencontrant en A le plan d'homologie, pour axes des y et des s deux droites parallèles au plan d'homologie.

Soient XYZ les coordonnées d'un point P, X'Y'Z' celles de son correspondant P'.

P et P' étant en ligne droite avec 0, on aura;

maintenant c étant le point ou OP rencontre le plan d'homologie

K étant la constante d'homologie.

Le rapport anharmonique des quatre points O/P'P est égal à celui do leurs quatre projections sur Oe faites p^i'ailôlemsut au plan d'homologie; donc, OAp' et p étant ces projections on a:

Op' . Aj/ Ôj) ■ A;) — ou bien en posant 0A^«

d'où par conséquent

LEÇONS SUIS UiS MKTHÛDES DE t.\ GKJAU«lilE MOUKRXB

aK+ll-l0"X' ;

/K+ll-KjX' ^"

en coordonnées homogènes

, p éUnt un facteii

ité arbitraire:

px~aa^ f,y=zay' f^z^a- pt^aKt' -\-{l — K)x'

On voit que ces iorniules, qui sont du 1" degré, diaùgerottt une équation de degré m en une autre de degré m; c'e-st -à-dire qu'une ligne on surface est du même ordre que son liomologi-

§ 133, — Voici une remarque résultant de ce qui précède et dont nous aurons besoin plus tard.

Une splière réelle a une équation de la forme :

{x~x,ry + (y~y,t)' + (,z~z,ty-R't' = Oq voit que la figure homologiquo d'une sphère a une équation de la forme ;

PQRS étant quatre polynômes du 1" degré Si l'homologie est réelle, c'est-à-dire si le contre, le plan d'hoinologie et la constante d'homologie sont réelles, PQRS seront des polynômes à coefficients réels; on voit que troisd'entre les quatre carrés ont un certain signe, le quatrième un signe contraire.

On verra sans peine que la ligure homologique d'une siihéro imaginaire a une équation de la forme

P' + Q' + K' + S' = les quatre carrés étant cette fois de même signe.

Considérons une équation de la forme:

yz LEÇONS SL'a LFIS MKÏHOIieS DE I.^ GliOMKTHIE MOBEimB

on pourra l'écrire

(P + Q)(P-Q)^(R + S)(S-H) on voit que la surface qu'elle ro|irésente contient la droite réelle

P-J-Q = R + S = el comme nne sphère ne contient pas de droites réelles, cette Hurlace ne saurait être la figure liomologique d'une sphère dans une homologie réelle.

Ces remarques auront leur ulilil6 dans la dernière leçon.

!^ 134. — ,1e terminerai cette leçon par quelques mots sur une manière d'envisager les points imaginaires, due à von Staudt. Dans ce qui précède nous n'avons pas considéré un point imaginaire comme un Être existant dans l'espace ; c'était simplement un groupe de trois quantités.

Considérons une droite X'X, sur celle droite une origine et un

sens posilil.

Soit une é([uation du second degré h racines imaginaires

à cette équation correspond sur la droite une uivolution délhile

par la relation suivante entre les ahoisses x et x de (luiix points

xx-a{x + x)+a^ + b'-^0 et les racines de l'équation du second degré donnent les abcisses des points doubles (imaginaires) de celte involution. Ces points sont deux points imaginaires conjugués sur la droite x'x.

On pourrait donc donner de deux points imaginaires conjugués la délinition suivante:

Donner deux points imaginaires conjugués c'est par délinition donner une droite, et sur cette droite une involution n'ayant pas de points doubles réels.

Cette délinition est très satisfaisante pour définir un couple de points imaginaires. C'est celle qu'admet Gbasies, ou du moins celle de Chaslea en dilfère peu. Pour ce géomètre, donner deux

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points imaginaires sur wiie droite, c'est donner une équation du second degré, n'ayant pas ses racines récllos.

Toute la difïtculté est de délinir un point imaginaire isolément, de le séparer de son conjugué.

^ 135. — Faisons auparavant quckiues remarques relatives à la diilinllion d'un sens sur une droite.

Au point do vue projeetîf, nous ne pouvons pas définir un xem sur une droite en donnant sur cette droite deux points A et B et en disant que le sens cboisi est celui qui va de A vers H. En elîet, si les points A et ont pour projection A' et G', mais si un point M compris entre A et B a sa projection M' à l'inlïni, quand un point P ira de A vers B, il passera par M, et par suite la projection V ira de A' en B' après avoir passé par l'iaflni, c'est-à-dire que cette projection ne parcourra pas A'B'.

Pour définir un sens sur une droite, il laudra se donner trois points ABC, et dire le sens qui va de A en B en passant par C, sans se préoccuper de cette circonstance que pour aller de A vers B en passant par G il faut peut-être passer par l'infini.

Un sens étant ainsi défini, si l'on projette les points ABC, en A'R'C au sens allant de A vers B en passant par C, correspondra In sens allant de X' en B' on passant par C.

S; 136. — Voici maintenant la définilion d'un point imaginaire d'après Staudt. Donner un point imaginaire, c'est donner une droite, et sur celte droite une involution sans points douljies réels et un sens. Aux deux sens différents qu'on peut se donner correspondent alors deux points imaginaires conjugués. Ce qui iait l'intérêt de cette défmition, c'est qu'elle n'emploie que des propriétés projectives, puisqu'on projetant une droite (coniqueinenl) on a une droite, qu'en projetant une involution on a une involution, et qu'à un certain sens déterminé correspond comme nous venons de le voir, un sens déterminé.

y-i LEÇONS SUR LES METHODES DK LA GKOMCTIIIE MODKRKK

§137. — On peut [aire la remarque sidvanto. Soit ,r i= a -f" ^'i une abaisse imaginaire. Remplaçons cette lormulo par les suivantes

on déduit de là

Les deux points M et M', d'ahcisses x &i x forment donc une involution. I! est facile de voir que quand t varie de — oo à + w ces points se déplacent dans le même sens. On pourra dire que cette involulion et ce sens définissent le point d'abcisse a + î>t-

Le point d'abcîsse a — bi sera défini à l'aide des formules

Ces formules définissent la même involLilion que les deux précédentes, mais le sens n'est pas le même.

^ 138 — Une droite imaginaire (dans un plan réel) sera définie de mLme par deux laiseeaux en involution. avec des rayons doubles imagmaiies et un sens de rotation. Cette involution découpe sur une dioite léelle une involution de points, et le sens de rotation donne un '-ens sur celte droite réelle. On définit ainsi le point imaginaire d'intersection de deux droites, l'une imaginaire, l'autre réelle.

Dans l'espace, on définira un plan imaginaire par un laisceau de plans en involution (à plans doubles imaginaires) et un sens. Une droite imaginaire sera l'ensemble des points communs à deux plans imaginaires.

Cette théorie de Staudt n'est pas nécessaire au point de vue de la rigueur. La définition analytique que nous avons donnée du point imaginaire est suffisante. Mais elle fournit une représentation géométrique du point imaginaire propre à satisfaire l'esprit de ceux qui aiment les choses concrètes.

Si on a une involution sur une droite D, et qu'on projette sur les

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axes de coordonnées en A, A' lî,B' G,C', les points cori'espondants M, M', lie cette involution on définira sur les axes trois points imaginaires qui seront les projections du point défini sur la droite D. Les abcisses de ces points seront les coordonnées du point délîni sur la droite D.