I.KÇONS SUR l.Eg Ml': PKODKS DK L.\ GKOMKTIUK MOD^LUNH

§ 141. — Cela posé, soiont deux courbes Cet C,, secouiiant en M, deii\ coQi'bes invei'ses G' et G', passant pai' M', aoîtï le iioint où se coupent les tangentes en M et M' aux coui-bes C et C, T,, le point <le rencontre des tangentes aux mêmes points à C, et C, ; on a TM ^= TM' ftatttimtes issties d'un même poinlj. De tnënie T^M =^ T,M'. D'où suit l'égalité des triangles TMT,, TM'T,, qui ont leurs trois côtés égaux. Les angles TMT, TM'T, sont alors égaux (ce qu'il fallait démontnr).

§ 142. - TuKûnKME. - La ligure inverse d'une droite est un cercle passant par le pûle d'inversion ; la figure inverso d'une spiière est un plan passant par le pôle.

Soit D une droite, M un point de celte droite, M' l'inverse de M, Menons du pôle la perpendiculaire OH sur D, coupant D en H, et soit H' l'inverse 'de H. On a : OH X OH' ^ OM X OM' ou bien: ^ = ^. . Ce qui démontre la similitude des triangles OM'H', OMH, et par suite l'égalité des angles OM'H', OHM, comme ce dernier est droit, le premier l'est aussi, et le point M' est sur le cercle ayant OH' comme diamètre: réciproquement un cercle décrit sur OH' comme diamètre, aura pour inverse D.

En faisant tourner la figure autour cio OH', la droite engendre un plan et la cercle une spl)«re passant par 0; le plan a donc pour inverse la sphère.

§143. —Théorème.,— La figure inverse d'un cercle dont le plan passe par le pôle est «n cercle. Le pôle est le centre de similitude de ces deux cercles. La figure inverse d'une sphère est une sphère ; le pôle est le centre de similitude de ces deux sphères. 1° Soit G, un cercle, M un de ses points, M' son inverse, M, le point où OM rencontre de nouveau le cercle G. On a l'égalité: OM X OM' — k. D'autre part on a par la géométrie élémentaire OM X OM, ^= p (p est une constante appelée comme on sait la puissance de par rapport au cercle G) on a donc ^ =. — , le lieu de M' est donc la ligure homothétique du lieu de M, c'est-à-dire un cercle ayant avec

98 LEÇONS SOR I.RS Mlh'ilODES DR LA GliOMMTRIK MlllllilUNE

G le point pour ceutra da similituili!. 2" Ea faisant tourner la figure autour de îa ligne tla centre?, on obtient doux sphères, qui sont ainsi inverser l'une do l'autro. ft qui o:il l> pour centre de simili-

g 144. — Théorzhk. ~ Deus sphères dans l'espace (ou dou\ cercles dans un plan) sont toujours. inverses l'un de l'antre, le pùle d'inversion étant l'on rinelconque Aa centres de similitude. En effet soit M «n point de l'une des splièrcs, un centre de similitude, M'^ le point homologue de M c'cst-;Vdiro un point o(i OM coupe la deuxième sphère, et tel que ^tj; — j,,- rapport des rayons des deux sphères. OM rencontre la seconde sphère en un point M' autre qne M', tid que OM' X OM', =: i>, p étant la puissance du point par rapport ù cette sphère. En multipliant membre ù membre les lioux égalittis ci-dessus, on a : OM X OM' — P- |r ' Ceci démontre la proposition.

§ 145. — TfiÉjiiLiMU. — L'inverse d'un cercle dans l'espace est un autre cercle, car un cercle est l'intersection de deux sphères ; sa figure inverse est l'intersection des deux sphères inverses, c'est-à-dire un cercle.

§ 146. — Uëlvtion kxxue li'.s longukurs. — Soient A et B deux points, .V et ff leurs inverses. De ce ([ue OA X OA' — OB X OB', ou ^- ^^ ôX' "" déduit cjue les triangles OAB, OB' A' sont semblables, on

. AB OA OAXOI! OAXOB, . ,, fe. Alï ,

a donc . -^.p. - jy-^-, = ôB-X Ôîi' = -T^ ''°»° " ^ '^ ^ (WOB ■ ^°'mule qui sera utile dans la suite.

Intersection d'une droite avec une sphère ou un cercle

§ 147. — Soit S une sphère de centre 0, de rayon U ; D une droite A un point de D, A'ie point où D rencontre le plan polaire do A. Du contre abaissons Oy. perpendiculaire sur D et la coupant en y. on a :

i MKTlIODliS DE T..\ f,l!OMl:;i'nil-: MODIÎRNU

,> AX» A'= ir -0«M§ 35)

A et A' forment ainsi une invoiution. Les points doubles sont les points où D coupe la splière. Poui' les dé ter m i ne i'. prenons un point P sur la droite D, et soit PA ^ a:, PA' — x", P f- — ri, PO — a, o m — h oa a PO' — P'.i' + 'j} ou a' =r d' + ''' on iiura : « A = .r — d, M A' := £■ — d, la relation préoédeiite s'écrira donc :

(£ — d) ix' — ri, =: H= — h'oii on dtivftloppant et remplaçant d' -]- V par a' :

xx' — d(x + x'] + II' ~ \V =-- 1> Ko fiiisiint ir = /, on a l'équalion :

:k'-2 d£+ a'- - IV ~0 donnant les abeissos PM, PM' des points M et M' où la droite rencontre la splière. On voit que le produit de ces racines est a' — U'. Il ne clianjîe pas quand la sécante tourne autour de P, C'est là une proposition bien connue, mais la dâioonstralion précédente s'applique encorequanrt M et M' sont imaginaires.

On raisonnerait sur un cercle dans le plan comme nous avons raisonné sur une spliùre dans l'espace.

s; 148- — En prenant dans l'espace par rapport à la splière (dans le plan par rapport au cercle) les polaires réciproques, on a h la place des paints où D coupe la splière, les plans tangents menés à cette sphère par la droite i conjuguée de D, (Dans le plan à la place des pointa où D coupe !e cercle, on a les tangentes menées au cercle par le pftle i de la droite D.)

§ 149. ~ Points à l'in^ni sur un cercle ou sur um sphire. — Considérons d'abord un cercle dans le plan, et supposons que la droite D soit à l'infini. Soit A un point sur D. La polaire de A passera par le centre du cercle, pôle de D, ce sera une droite OA' perpendiculaire sur D. Les points A et A' sont donc les deux points où les deux cûtéa

OA OA' A\m angle droit couj)ent la droite i)o l'inlini. Los points doubles de l'iiivoluLion A, A', s'uppellont les points [et J, ce sont les points où le cercle rencontre la droite D de l'inlini. Considérons deux points et 0', deux angles droits pivotant autour de ces points : ces deux angles droits découperont les mêmes divisions en involnlion sur la droite de l'infini, car si les deux premiers côtés se coupent sur cette droite, c'est-à-dire sont parallèlos, les deux seconds côtés siîront aussi parallèles.

S 150. —Tous loi cordes coupent donc ly droite de n»lini ;iux mêmes points, dits points 1 et J, ou points circolaîies de l'infini ou ])omIs cycIi^uM du plan , Les deux points où les côtés de l'augle droit quelconqueÂOA' coupent la droite de l'inlini, sont conjugués par rapport à ces points.

§ 151. — Dans l'espace, considérons une droite DàTinlini et une sphère S de centre 0. Le pian OU coupe la sphère suivant un cercle C' qui coupe D aux deux points eyclitiues du plan OD.

V.n taisant tourner le cercle C de façon qu'il engendre la sphère, la droite D engendre le plan de l'inlini, et les points cycliques décrivent le cercle d'intersection de la splière S et du plan de l'inlini f Cercle de Virijinij:

Ce cercle sera le même pour toutes les sphères possibles, puisque dans le plan les points cycliques sont les mêmes pour tous les cercles possibles (voir aussi § 130).

§ 152. — Un point A étant dans le plan de l'inlini, le plan polaire de A sera le plan mené par (centre de la sphère) perpendiculaire surOA, Il coupera le plan de l'infini suivant une droite i polaire de A par rapport au cercle derinflni.

Puissance d'un point. — Axes radicaux 153 — Soient dans le plan deux cercles de centre C et C, de

LF.ÇONS SUR LES MliTEIOnES DE LK GlîOMKTllir. MODEREE 101

rayons R et If. Lb lieu (iu point M ayant même puissance par rapport à Cet G' est une droite perpendiculaire à la ligne des centres, appelée l'axe radical de ces deux cercles.

En effet, en égalant les puissances d'un poiul M par rapport aux deux cercles, on a :

MC - R= i^ MO" ~ ï\"-

mais MC = Ml" + CP', P étant le pied de la perpendiculaire ahaissi de M sur CC ; de même: MC'= ^Ml" + CP' il en résulte que : CP' ■ CP' = W" — H' or (S 4) on a G P — CP = CC donc :

CT -|- CP et CP - CP étant conitants, le point P est lixe, ce qui démontre la proposilion.

. L'axe radical passe par les deux points réels ou non où se coupent les deux cercles, car ces points ont une puissance nulle par rapport à ces deux cercles.

§ 154,' — Les axes radicaux de trois cercles C, Cj C,, pris deux à deux, se coupent au même point. En eltet, soit M le point où se coupent les axes radicaux de C, Ci et de C, C,. Ce point aura même puissance

à la fois par rapport â G, Ci et G, il sera donc sur l'axe radical de

G, et C, ce qui démontre la proposition.

5 15S. — TiiiiouÉME. — Deux cpreles queloou(juos sont toujours liomologiques de deux laçons. Le centre d'homologie est l'un des centres de similitude, l'axe d'homologie est l'axe radical.

Soit S l'un des centres de similitude de C et C. C'est en même temps un pôle d'inversion ; soient M et M, deux points de C, M' M', leurs inverses sur C. Comme SM X SM' — S.y, X SM', M M' M, M', ïont sur un même cercles. MM, est l'axe radical de Cet S, M'M', est celui de G' et S, donc d'après le théorème précédent MM, et M'M', so coupent sur l'axe radical de C et de C, Donc M' est l'homologue de M dans

102 LKÇONS SLJH r.lîS MKTIlOUra DU I„V CKOMKÏilUi: iMODI^lINE

riiomologie de centre S, ayant pour axe l'axe radical de C et de C et donl M, et M', sont deux points correspondants fce qu'il fallait démontrer).

% 156. — l':xTKNSiON AUX BP!r].;iiK.;-i. — En faisant toui-ncr la lij^urc autour de la ligne des contres, on déduit de là les énoncés suivants velatitsâ des sphères ;

\' Le lieu des points d'égale puissance par rapport à doux sphères est un plan, dit plan radical, perpendiculairo à la ligne des centres.

2° Les plana radicaux de trois sphères prises doKX à deux se coupent suivant uae môme droite (axe radicalj.

3° Deux sphères sont homologiques de doux façons, l'axe d'homologie.est l'axe radical, le centre d'homologie est l'un des contres de similitude.

On verra aussi, comme pour les cercles, que les plans radicaux de quatre sphères prises deux à deux, passent par im même point ayant même puissance par rapport aux quatre sphères.

§ 157, ~ Rapport anharmoniqiie de quatre points d'tm l'erde ou de quatre tangentes.

Soit s un cercle P un point de ce cercle, i une tangente; si ABCD sont quatre autres points de ï, et si les tangentes en ces points coupent i en «1^7 3, je dis que l'on a P {Al! C D) — {«^y 3),

Pour éviter des. considérations d'angles qui. s'appliqueraient mal au cas des points imaginaires, je démontre ce théorème par inversion. P étant pris pour pôle d'inversion, ABCD se transforment en quatre points A' B' C D' en ligne droite (parce que le pùle est sur le cercle) et l'on a; (§146).

p..- fc CA J.^ Cil __,. k. I)A p.,,, „ ^.J>iL

Le second membre ne dépendant pas do la position du point P, !e premier qui est égal à P (A BCD) n'en dépend pas non plus. — Nous

LEÇONS SOK l,ES MCTIIODKS DE L\ QÈQS\ÈiR\K MODLRNK 103

n'ayons pas tenu compte des signe?. Nous avons simplement prouvé que si P et P' sont deux points du cercle, on a : I' (ABGD) ^^ P' (ADCD) en grandeur. Or si P' décrit le cercle, P' (ABCD) variant d'une manière continue, ne pourrait elianger de signe sans s'annuler ou devenir infini (1) ce qui est impossible, puisqu'il gartle toujours la même valeur absolue. 11 y a donc toujours le même signe.

Si l'un des points était imaginaire, on raisounorait de môme sur la partie réelle du rapport anliarmonique, qui ne peut changer de signe sans s'annuler ou devenir infiiiit', ou Iiien sur la partie imaginaire, si la partie réelle élait nulle.

g 159. — Envisageons luaintenanl lus quatre points a p-/ S où la tangente en Q rencontre les tangentes en ABCi). Comme ils ont pour polaires QA QB QC QD, on a (g 130) Q (ABCD) — {'/.;; ■/ 3) et comme P (ABCD) = Q (AliCO) on a I' (AISCD) = (v. ^-^ y H) , ce qui démontrela proposition.

g 160. — Remarque. — .Si les points A et B étaient les points njcHques, les distances CA, CB,elc., seraient indéterminées, et ia formule qui nous a servi deviendrait illusoire. On tourne la difficulté en transformant le cercle en un autre par homologic, ce qui est possible (§ 155). L'Iiomologio n'altérant pas les rapporte anharmoniquea, le théorème s'appliqiiera à l'un des cercles, c.ir il s'applique à Vautra les points cycliques étant changés en deu?; autres points.

§ 161. — Une autre remarque à faire, c'est que l'hesagone PQAIÎCD est de Pascal [g 27) dés lors l'égalité P (ABCD) — (ABCD) en entraîne d'asilres, commeon l'a vu à ce paragraphe,

5 162, — Voici encore une conséquence de ce qui précède. Considérons deux angles, AOD, APB, dont les eûtes se ccupcnt en A et B, et qui sont égaux et placés de façon que AOBP soient sur un mémo cercle. Les points cycliques I et J étant aussi sur ce cercle on aura ;

ipnine que le rapiiort oiiliiu'iiioiiiiiuf' P (AIÎCD) cat une

104 LIiÇONS SUR U:S MÉTHODES UE L.l GÉOMÉTRIE MODERNE

(ABU) — P [AUlJ), et si OA, OB, l'A PB coiipftnl In droile rie l'inlini en a [^ a '-.' on aura

de sorte que l'égalité des deux angles se traduit par celles de ces deux rapports anharmoniques.

§ 163. — PuopaiÉTÉs l'uo.iEGTiVKs. — Si une propriété d'unn ligure F sulisiste pour son homologique ou sa perspective F', on dit que cette propriété est "projective. La propriété pour quatre points d'être en ligne droite, d'avoir un rapport anharmonique déterminé, pour quatre droites de concourir, d'avoir un rapport anliarmonique donné, subsistant dans les ligures homologiques, sont des propriétés vivjectizes.

ONZIKME LEÇON

Définition des sections coniques. Théorème de Chasles. Applications

§ 184. — La section pai- hû plan quelconque dun cùne obhque à hase circulaire se nomme secPon conique, ou simplementioRc/Ke

La section d'un cône de sommet S ayant poui bàff un ceicleC, par un plan P, peut êtreconsiutiee comme la projection conique ou perspective du cercle C sur le plan P le acmmet de piojcvtion Étant situé en S. Comme deux figuie'^ peispeotiies peuvent êtie placées de façon à être homologiqueri, et réciproquement, une section conique peut être définie comme la ligure homoiogique d'un cercle.

Toutes les propriétés projectives d'un cercle peuvent donc être appliquées aux coniques. Nous les déduirons toutes, Comme l'a fait Chasles de deux d'entre elles. Si A B C D P et H sont six points d'un cercle, on a P (ÂBCD) — H (ADCD) ; de mÈme si ces lettres désignant six tangentes au cercle, PA désignant le point de rencontra de P et A, on a la même égalité (§ 15S, 159).

Ces propriétés, d'après les g 27 et 28, peuvent être énoncées ainsi ; Tout hexagone inscrit à une conique est un hexagone de Prtscaf, tout hexagone circonscrit est un hexagone de Piianchon. Ces hexagones possèdent donc les propriétés énoncées aux § 29 et 30.

§ 165. — Soient AetB deux points lixes sur une conique, et M un point variable. On peut écrire avec «ne notation déjà employée: A (M) ^ B (M), c'est-à-dire que les deux faisceaux AM et BM .sont homographiques . Si M vient en A, le rayon AM devient tangent en À à la courbe, tandis que BM devient BA, La tangente en A, rajoa

LEÇONS fiUll LKS MKTHOOI'.S Dl': L\ (}l':OMKT[!IE MODEl

tlu premier faisceau, a pour liomolngue le riiyon BA. De môme le rayon Al) a (tour homologue la titngentceii iî.

^ 168. — CorrrèlaUG&')iml, si A ol H sont deux langenles lixes, M une tangente variable, on a A (M) — B (M), c'est-à-dire que la droite M découpe sur A et B deux divisions homograpbiques. D'ailleurs si M vient so confondre avec A, le point où A est coupé par M devient le point où A touche la courbe, tandis que le point do rencontre de B et de M devient celai de 11 et de A. Ainsi sur la dmile A, le point où A touche la courbe a pour correspondant le point de rencontre de A et de B, de mûme le point où A coupe B a pour correspondant sur la droite B le point où lï touche la courbe.

e coupent, coosidéru

§ 167. — Les Hdfiroqw.H de ces théorèmes sont vraies, nous allons les démontrer.

1° Le lieu du point de renconlre de deux rayons homologues dans deuj> faisceaux homographiquss est une action conique.

En effet, soient A et B les soihmets des deux laisceaux, on verra, comme précédemment, que la droite A B a pour rayon correspondant dans le premier faisceau, la tangente en A, et dans le second faisceau la tangente on B.

SoitT le point où ces deux tangor plan passant par le tangente AT, et dans ce plan un cercle ciuelconque tangent a cette droite en A ; menons ensuite du point T la sec.nde tangente au cercle, le touchant en G ; soient AM et BM deux rayons correspondants, AM coupe IIT en ,S, BM coupe Aï en «, joignons 'j.V, qui coupe le cercle en P, et joignons AP qui coupe Cï en ■/■ Do ce que B (M) z:z: A (M* on déduit (-/.) — (p) ; de ce que AP et GP so coupoi

ercle, on diiduit

LIÎÇOKS SUR LES AIKÏHODES DE LA GÉOMÉTRIli J[ODEHNË 10 J

A (l'i = C (l') et par suilo (y) ^ (») par conséquent (,';) — (-,), d'auti'o paît, ([uand ^ vient en T, c'est que M vient en A ; alors a vient en A ; P vient en A et 7 vient en T ; donc, dans les deux divisions hoinograpbiques ,S et y, le point T est à lui-miâme son propre correspondant ; donc la droite ,Sy passe par un point lise. Gomme B et G sont doux points correspondants (si S vient en B, « vient en T, y vient en C) ce point lixe est nn point S de .la droite BC ; alors si on prend S pour centre do projection, B se projette en G, et fi en y B« et A,S qui se coupent en M, se projettent suivant Gz et Ay qui se coupent en P, donc M se projette en P, et la courbe iieu de M, a pour projection le cercle lieu de I' (ce qu"d fallait lUmonlrer).

§ 168. — 2° La droite qui joint deux points coi-respondants dt dm, divisions homograpSiiques est tangente à une section conique.

Soient AT et BT les droites qui portent les divisions, A et B le; points qui correspondent à T sur ios deux droites ; taisons passer par AT un plan. Dans ce plan, traçons un un cercle tangent en A à Aï, menons de T (^ ta seconde tangente au cercle, qui le touclie en G. Soient « et ,'; deux points correspondants sur AT et Bï, fy une tangente à C, qui coupe CT ony, ou par hypothèse (-j] ^^ (S); puisque «y touche le cercle on a ('/.) — (y) par conséquent (,'î} ^= (y), d'autre part quand vient en T, « vient en A et 7 vient en T, donc ,Sy passe par un point lixe, qui se trouve d'ailleurs sur liC car si p vient en B, a vient en T et 7 vient en C. Soit S ce point, en le prenant pour sommet dii projection, «y est la projection de '/,5, le plan S«j3 touclie donc le cône de sommet S ayant pour base le cercle, alors la droite «^ trace du plan S«7 sur le plan ABT touche la conique suivant laquelle ce ci'me coupii le plan ABT .'if qu'il fallait dhnon-

yGoosle

LKÇOKS SUR LES JÎKTKODF.S DE LA GliOMLÎïRir MODERNE

Conséquences des théorèmes précédents. — Tracé des coniques

§ 169. — Théorème, — Cinq points déterminm.t une'conique, ou d'une façon plus précise, par cinq points dont trois ne sont pas en ligne droite, on peut taire passer une conique et une seule.

En ertet soient ABCDE les cinq points, prenons les points A et E comme sommets de deus laisceaux ; on connaît trois couples de rayons correspondants AG, BC, AD BD AE, lîE, l'homographie est donc déterminée, on peut construire le correspondant AM d'un rajon quelconque BM, et par suite construire la courhe par points; on aura la tangente on A par exemple en cherchant le rayon homologue de li.\.

§ 170. — TflÉoitiiME, — Cinq tmif/mtes déterminent une conique. D'une façon plus précise si parmi cinq droites il n'y en a pas trois concourantes, ii existe une conique et une seule tangente à ces cinq droites .

En eiïet, soient ABCDE les cinq droites, prenons les droites A et D comme bases- (le deux divisions homographiques, ou connaît trois couples de points correspondants AG,BC AD,13D AE, Bli! (AG signiiie toujours le point de rencontre de A et G). L'homographie est donc déleriuinée, on peut construire le point AM situé sur A correspondant d'un point donné BM sur B. Alors la droite M est déterminée ; on pe::t construire ia courbe par langentes. On pourra trouver lo point où une tangente A par exemple touche la courbe, en chercliaot le point situé sur A. homologue du point où B coupe A .

§ 171 . — Probli^me, — Une conique étant donnée par cinq points, trouver ses points de rencontre avec une droite donnée à .

Soient ABCDE les points donnés ; les points où les rayons correspondants AM B.M coupent'i forment deux divisions honiographi-

LEÇONS SUR LES MÉTHODllS DE LA GÉOMÉTHIE MODI^IIMS 1011

ques, on a d'aiiloitL-s trois couples fie points correspondants, les points, c c' rf d' e e'. où AC BC AD BD AE BK coupent à, les points douilles de ces deux divisions sont les points cherchés,

8 172. — pRonr.èMiî. — Une conique étant donnée par cinq tangentes, ti-ouvev les tangentes issues d'un point 4 à cette conique.

Soient ABCDE les tangentes (lonnées ; une tangente mobile M coupant A en a et Ben ,5, Ak i;5 forment deux fai scea u s homograp biques, d'ailleurs pour que ai5 qui est une tangente passe par A il faut que i« Ap Coïncident. Il laut donc trouver les rayons doubles de ces deux faisceaux. Or on connaît trois couples de rayons correspondants obtenus en joignant À aux points AC, BC, AD BD, AE BK. On pourra donc construire les rayons doubles.

Remarque. — Dans le premier problème, i peut être la droite de l'inlini, il a'aftit alors de trouver dans les deux laisceaus deux rayons parallèles. On y parvient en menant p:ir le sommet de l'un des faisceaux A, des parallèles aux rayons de l'autre, on a alor^ deux laiseeaux de même sommet, dont on cliercbera les rayons doubles.

Si ces deux rayon.s sont réeis et distincts, la courbe a deux points à l'inlini, on la nomme une hyperbole.

S'ils sont confondus, la courbe est tangente à la droite de l'inlini. On l'appelle une parabole.

Enfin si les rayons doubles sont imaginaires, la courbe qui n'a pas de points à l'infini ae nomme ellipse.

§ 173. — Dans le cas de VhijpeiboU, on peut prendre les points à l'infini comme sommets des deux faisceaux déteruiiaaat la courbe. Les faisceaux sont alors formés de droites parallèles, les rayons du premier à une droite A, les rayons du second à une droite B ; proposonsnous de trouver la tangente en A par exemple (le point A étant â l'infini). C'est la droite du faisceau A qui correspond au rayon B à l'infini. Il suffit d'avoir un point de cette droite puisqu'on a sa direction. Or si on coupe les faisceaux par une droite, onaura deux divisions homographiques, le point cherché est celui dont l'homologue

110 LEÇONS SIÎR LES MimiODES DE LA dl'lll.MliTRJE MODKliNE

dans la deuxième division esta l'inlini ; on sait donc le construire. Les tangentes à l'inlini se nomment les asymptotes de la courbe,

§ 174. — Thimrkme de Desauiîues. — Toutes les comques pamml far quatre poinls ABCD rowpcnt une droite i en deux points M et M con-espondants d'une involution. Les couples décotes opposés et les diagonales conpent A eu trois couples de points correspondants de cette involution.

On a en effet {§ 166) A (BC MM') — D (BC MM')

Si « est le point où AB coupe A, ^ le point où AG rencontre coLte

même droite, ^' et «' ceux oii i est rencontré par DB et DC, on aura ;

«= MM') — (,';'«' MM') ce qui montre (§ 91) i^ne M et M' sont deux couples de points correspondants d'une involution dont ««' ,^5' sont deux couples de points correspondants ,

Le théorème corrélatif se démontre d'une façon analogue, ou on transformant le précédenl par polaires réciproques. Les tangentes issues d'un point fixe 4 à toutes les coniques touchant quatre droites, forment deux faisceaux on involution. Les droites joignant iaux couples de sommets opposés ou aux faux sommets sont des couples de rayons correspondants.

Corollaire: soient deux quadrilatères ABCD, A'B'C'D' inscrits dans une conique, «,5 7 '> les points o£i se coupent (AB, A'B'), (AC, A'C), (BC, B'C), (BD, E'D'). Si c<;S7 sont en ligne droite, S est sur cette droite.

En effet, soient 3, et Sj les points 0(1 la droite a[v/ coupe BD et B'D'. Ce sont tous deux les points correspondants de 7 dans l'involution dont h|3 et les points M M' oii h,S coupe la conique sont desconpleadepoinls correspondants, 3, et 5, sont donc un seul et m&me point, le point S commun à BD, B'D'. On énoncera facilement le théorème corrélatif.

S 175. — Le lliéorème de Pascal résulte delà. Décomposons l'hexagone inscrit en deux quadrilatères ABCD et DEFA. AB et DE se coupent

LEÇONS SCn LSS MKÏHODKS DE L,V GÉOMKTIIIF. MODERNE 1 1 1

en I, EF et CD se coupent eu K. Les eûtes AD et DA coSncidant, un peut Bupposeï- que leur jioint de reucoutre est sur la droite IK. Donc, d'après ce tjui précède, le point î. où so coupent liCct l^F est aussi sur IK, les points IKLsonton ligne droite.

S 176. ~ Coinmc applicalion, clierclioiis à déterminer des coniques passant par quatre points ABCD et toucUanl une droite donnée A. Pour que la conique passant parAllCD, dontilestquestionau tbéorème de Desargues, loue be i, il faut que M et M' soient confondus; on a donc ù déterminer les points doubles de rinvolution, il y eu a deux P et Q, il y a donc deux coniques répondant à la question, l'une passant par ABCDP, l'autre par ABGDQ.

On déterminerait d'une façon analogue les coniques tangentes à quatre droites et passant par un point.

§ 177. — On peut encore résoudre le problème de trouver les coniques passant par trois points ABC et tangentes à deux droites données

Pour résoudre ce problème, faisons d'abord une remarque relative au théorème de Desargues. Si AD et CD viennent se eonfondre,auquel cas toutes les coniques sont tangentes en A et B aux deux droites fixes AC et BD, les pointa « et «' sont confondus, et l'on a un point double en «pour rinvolution.

Cela pose, pour résoudre le problème en question, cberciions les points Ret S inconnus où la conique cbe reliée touche ici a'; cherchons le point I où RS coupe AB ; toutes les coniques tangentes en H et S à A et A' déterminent sur AB une involntion, dont A B sont des points correspondants, ainsi que les points «et ^ où AB coupe i et A'; les points doubles I et V peuvent donc être déterminés. De même les points doubles K et K' dé rinvolution analogue sur AG, donc la ligne RS est IK, ou IK', ou l'K, ou l'K', il y a donc quatre solutions. Les points doubles analogues sur BC que l'on peut aus.si consli-iiire doivent se trouver aussi sur ces droites.

112 LEÇONS SUR LES Jl^THODES DR Là GÉOMlh'RIIiL MODKEINIÎ

Un résout delà lai,'on corrélative Ifi problème de constriiiLC ii nique connaissanf deux points et trois tangentes.

Application des théorèmes de Pascal et de Brianchon au tracé des coniques

§ 178. — 1° Pi-obihne. — Cinqpoints d'une conique élantdonnés; construire un sixième |)oint quelconque, et la tangente en l'un des cinq points.

Soient ABCDli les cinq points; par le point A. menons une droite quelconque qui constituera le côté AF d'un hexagone ABCDEF inscrit dans la conique. Il s'agit de trouver le pointF. Supposons que AB et . DK se coupent en « et que CD et Al" se coupent en ^, le point de ren. contre y des côtés BC et KF sera sur «,S, on pourra donc le construire en prenant l'intersection de CC et «,5, en joignant y?, on aura le côté EV qui coupera en F le côte AF. On aura ainsi un sixième point' quelconque de ia conique

Pour avoir la tangente en A, on supposera que AF est cette tangente; alors A et F devront coïncider. On prendra le point « où se coupent AB et DE, le point y où se coupent EF {c'est-â-dire EA) et BC. on prend le point (3, o(i CD coupe "■/■ AF doit passer par ce point, c'est donc la droite A7.

§ 179. — S' Problème. — Cinq tangentes d'une conique étant données, construire une sixième tangente quelconque, et le point de contact de l'une des cinq tangentes.

Soient ABCDE les cinq tangentes. Prenons sur la droite A un point quelconque, qui constituera le sommet AF d'un hexagone circonscrit à la conique. Il s'agit de trouver le côté F. Supposons que la droite, joignant le sommet AB au sommet DE soit k, celle qui joint CD et AF soit P ; la droite 7 qui joint BC et EF passera par le point de concours deaetjï, on pourra donc la construire en joignant BC à cepointde

LEÇONS SCR LES MÉTHODES 1>E LA GiiOJiÉTaiË MOREliNU 113

concours «,5. Le point où y lenconlre E sera îe sommet i:f, Kii joignant ce sommet au sommet Af on aura la ilroite F,

Pour avoir le point de contHcl de-A, on supposera que ee point est le sommet AF, alors les côtés A et F devront coinoider. On joinilra AB et DE par une droite «, EF (c'est-à-dire EA) et BC, par une droife 7, on a la droite ^ joigaanl. CD au point de concours de k et 7, le sommet AF est sur cette droit*, c'est donc le point oH celte droite-/ coupe A.