DOUZIEME LEÇON
Pôle et Polaire, Centre, Diamètre et Axes
g 180. — On iieut dijrluire la théorie des p'.l. couiqiies (le la mèinfl Ihéoi-ie dans le cprcle, en
et polaires rinns les rnsformaiit le cercle procéder, fon-
en coiiiq le par liomolo'Jtie. Voiul une autre manière dée sue le tliéorème de Desar^ues.
Propos'IwnA . — Autour d'un point A on fait tourner une droite coupant eu P et Q une coaique G. M étant le conjugi^é lioi moniC|ue de A par lai'port à P ft Q, le Heu de M est une droite dite polaire de A, qui pS'ise pur les points de contact des tangentes issues de A à la conique C. A se nomme le pôle decette droite. Outre la droite i coupant la cûni(|ue en P et Q, con.sidérons-en deux autres patesantpar Aet la coupant en RSet TU. Toutes les conii|uea passant par RSTU déterminent sur APQ une invoiiition (§174). Les côtés RS et TU eoupaut celte droite
1 A tous les doi
respoud à lui-môme. Le second point douille est alors le poiat M conjugué de A par rapport à P et Q, mais les points A et M sont conjugués par rapport à deux pointa correspondants quelconques, tels que les points «et p où la droite APQ est rencontrée par RT et SV. Le lieu de M est doQO le lieu du conjugué de A par rapport au couple de droites RT SU, c'.'st donc une droite (§ 25). Si on joint RT, SU qui se coupent en H. RU. TS qui se coupent en K, cette droite est la droite HK. Si on mène par A une tangente à la conique, les points où cette
LIiÇONS suit LES MlimODES DE LA GKOMlilKU: MOniîliKE llu
droite coupe la courbe, pontcoufontlus au point deconUol. Le conjugué de Ae^t alors ce point do contacL iui-mêiue cjui est ainsi sur lu polaire de A 'ce qu'il fallait déinonti-erj.
1 ' Remaïque. — Si RS, TU touïuenf autour de A, Il et K di^crivent 'a polaiie de Â
S Reinatque. — Si RS, TU coïncident, BT, SU sont les. tangenies en Rel S dinc les tangentes aux points où la droite AHâ coupe la courbe, secoapent sur la polaire de A.
§ 181. — Proposition' II. — Si Ifi polain du point A passe par un point B, eellf. du point II passe par le point A.
En effet, dire que la polaire de A passf par B, c'est dire que  et B sont coniugués par rapport aux deux points réids ou imagiuiiires oîi AB coupe la conique. On énonce la même cliosc en dis;int que la polaire Je C passe par A.
Autrement : La polaire de A est le lieu des points K et 11 dont il a été question ci-dessus ; si donc la polaire de A passe par B, on peut supposer que B coïncide avec l'un de ces points, .K par exemple, c'està-dire que les droiles HT et SU passent par li. Mais alors la polaire de B passera par le point où se coupent RS et TU {même proposition), c'est-à-dire par le point A.
La spconde remarque du paragraphe précédent résulte de là, car le point B oti se coupent les tanstentes en R et S, a. pour polaire US qui passe par Â. La polaire de A doit donc passer par B.
On voit que si des points sont en ligne droite, leurs polaires sont concourantes. En effet, si des points M sont sur une droite D ayant P pour pôle, la polaire de P sera la droite D qui passe par M, donc la polaire de M passera par P.
De mÈme des droites concourantes en un même point ont leurs pôles sur inie iiièiiie droite.
g 182. — PHOPOsrciox 111. — Le rapport anharmonique de quaUe points en ligne droite est le même que celui de leurs quatre polaires concourantes.
116 LEflONS f^VR LKS MÉTHODES RE LA GÉOMÉTRIE MODERMl
En pfFet, soit M un yioint fl'nne droite D, M' le conjugué de M sur D, c'est le point où l:i polaire de M coiiije D; M et M' étant conjugués par rapport aux deux points où la eoniqne G est coupée par D, sont deux points correspondaats d'une involution; le rapport anharinoniciue de quatre points M est donc égal à celui des (juatre noints M', c'est-à-dire des quatre polaires. La proposition est donc démontrée.
A l'iiide des propositious précédentes, on peut dédnir les ligures polaivi'S réciproques par rapport à une section conique comme on l'a iait pour le cercle. A un point P on fera correspondre sa polaire par rapport à une conicpie appelée conique de rélérence. Les propriétés de réciprocité <iue nous avons dtmontrées alors subsistent ici avec leurs démonstrations.
g 183. — PnopopmoN IV. — ta polaire réciproque, d'une cnniqxie est une antre conique. — En effet, soit iine conique G, A et B deux points fixes de G, -M un point variable. Aux points A et H correspondent deux droites A, B, au point M une droite M,. Comme A (M) =^ li (M) la proposilion lit donne A, (M,) ^: B, (M,! c'er^t-à-dire que la droile M, joint les deux pointr correspondants A, M,, B, M, de deux divisions
homographiqui'S sur les 'droites A, elB,. Elle touche donc une conique
C qui est ainsi la polaire réciproque de G.
§ 184, " Droites r.ox.iuGiTKKS. — On nomme ainsi deux droites telles que la première soit polaiie d'un certain point de la seconde. 11 résulte alors de la propor^itioo II. que la Sfcoudu est la polaire d'un point situé sur la première.
Supposons que A soit le point de concours de deux droites conjuguées D et D', soit P le pôle de D, situé sur D', P' le pflle de D', situé . sur D, le pôle de PP' esl à la fois sur D et D', puisque le p6le de D et celui de D' sont sur PP', (Proposition II) donc PP' est la polaire de A; elle passe paf les points de contacl des tangentes ï T réelles ou inia- .ginaires issues de A, et alors AP AP- iorment avec ces lauger.tes un faisceau harmonique.
Il est clair que si inversement deux droites (ormcnt un faisceau har-
LEÇONS SUU T,KS MKiHOFtHH 13K LA GEÛMKTIlIfi; MODKDNtl 117
monique avpc les taDgeotes issues de leur point de contact, elles sont conjui^ufes, Ib pôle de l'une est le point où l'autre coupe la corite des
§ 185. — PvopOHUion V. — A deux poiuts couiugués par rapport à une coniiiue G, correspoodi'nt dans la ligure polaire réciproque deux droites conjuguées par rapporta la courbe C, polaire l'éciproiiue dfsC. En efiet, soient A et B deux points conjugués par rapport â C, c'està-dire tels que Al! coupe G en deux points P et Q t^ds que AB PQ = — 1. A la droite AB correspond un point S, aux points AB PQ quatre droites A, B., P, Q, concourantes en S, P, Q, touchent G', puisquelles correspondent à deux points de C, et l'on a (Proposition III) (A, B, P, Q,) =; — 1. Ge qui démontre la proposition.
Corollaire. Si un point P et une droite D sont pôle Pt polaires par rapport à C, ladrolleP, correspondant à P, et le point D, correspondant à D, sont polaire et pftle. par rapport â C. En effet D est le lieu des conjugués de P, par rapport aux points où une droite variable contenant P coupe la courbe, donc ^^ est l'enveloiipe des coiijugiit'es de la droite P, par rapport aux tangentes issues des dilîÉrents points de P, ; mais cette enveloppe est précisément le pôle de P, car toutes les conjuguées d'une droite contiennent le pôle de cette droite.
§ 186. — Proposition VI. —Diamètres, — Supposons qu'un point s'éloigne à l'inlini; le conjugué de ce point par rapport à deux points P et Q d'une droite qui le contient, devient \emUieu de P Q (§ 2i}.
Si donc un point est à l'inlini dans autb direction A, sa polaire devient le lieu des milieux des cordes parallèles à A.
Donc l'on oonclut la proposition suivante.
Le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée dans une conique est une droite. Cettre droite se numine le diamètre conjugué de la direction des cordes.
S 1S7. — PnopnsinoNVK. — Tous les diamètres passent par un point iixe, ceittre de la courbe. En efîet, quand une droite D s'éloigne à
Ils LEÇONS SUR LES MKTHODES DE LA GÉOMÉTRIE MODEUNE
l'infini, son pôle devient un cerlain point 0, tel que toute droite passant par coup^ la courbe en P et Q dont est le milieu (0 et te point à l'inlini sur Py étant conjugués par rapport i'i P et Q) est le centre. C'est donc le pôle de la droite de Tintini, si donc un point A est à l'infini, cela vent dire qu'îiest sur la polaire di'O. Iioac iPropo-iliou 11). Le polaire de A (c'est-à-dire un diamètre) passe par (§ 181).
Remarque. - Si la courbe est une parabole, la droite do l'infini lui est tangenle. Or on voit s^ns peine que si une droite touche une conique, son pôle est le point de contact, le centre de la parabole est donc le point oii cette couibe touche la droite de l'inlini; il est donc à rinfini, d'où il résulte que dans une iiaraijole, tous les diamètres sont parallèles.
g 188. - Proposition VIII. ~ Toute droite passant par te centre est un diamètre, c;if celfe droite passant par 0, son pôle est sur la polaire deO, c'est-ô-dire à l'infini.
§ 189. — Proposition IX. — Si le diamètre d'tme dii'eclion A est parallèle à une direction K, le diamètre ciinjugué de ta direction B est parallèle â la direction A, En ellel, dire que le diamètre conjugué de A est parallèle à B, c'est dire que la polaire du point A à rinfini contient le point B à l'infini ; mais alors la polaire de B pa-se par A (Propo-iition H), c'est-à-dire que le diamètre conjugué de B est parallèle à la direction A.
§ 190. — l'iioi'OsiïioN X. — La droite qui joint un poiiU ,iu centre d'une conique est le diamètre conjugué de lapolaire de ce point.
En effet, soit A un point, B le point à l'inlini sur la polaire de A ; la polaire de A passe alors par B, donc la polaire de B passe par A, msis comme B est à l'inlini, cette polaire n'est aulie que le diamètre conjugué OA de la direction de la polaire de A (ce qu'il faliiit démontrer).
D<-ux diamètres tels que l'un soit conjugué des cordes parallèles à l'autre, sontappelés diamètres conjugués. Ce sont deux droites conju-
LI'.ÇONS SL'Ft LUS MliïdODF.e DE L.^ GKOMÉTHU''. ^[OD^ilNE 119
S passant par le contre, pnisquc l'un contient le pùlc de l'antre à
§ 191, — Proposition XL — Denx diamètres cnnjngnés sont deux raynns correspondants de deux faisceaux en invoiution. Ed effet, deux (iroitps conjuguées quelconques formant un faisceau harmonique avec ks tangentes issues de leur point de reocontre, forment deux rayons correspondants d'une invoiution dont ces tangentes sont les raj'cns doubles. I! en est encore ainsi quand ces droiios passent par le centre de la courbe. Les rayons doubles sont alors les asymptotes.
I 192. — PaoposiTios XII. — Parmi les diamètres eonjusués il y a toujours un couple rectangulaire, à moins qu'ils ne le soient tous.
Coupons le faisceau en invoiution par une droite quelconque 0, et soit P le pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur D, prenons ce point comme origine ; la relation d'involution a la (orme
Si un angle droit tourne autour de son somitiet sitiré en l>, il découpe aur D une autre invoiution doni P est le point cenl.i'al et donnée par la relation
Il faut chercher les points communs à ci's deux iuvoUitions, or la première relatiou donne en remplaçant x x' par OP'
■ sont alors les racines de l'équatin
s sont toujours réelles (1).
(I] Les points communs Ji doux involutions dont l'unu a sos points doubles imaginaires sont tonjours rftels.
120 LllÇONS SUR LES METHODES DU LA GIÎOMËTRIE MODEH.N'E
Le caa où B est nul no doit pas embarrasser œ :^ co a^' ^^ donneraient alors une solution, c'est-à-diie que la parallèle et la perpendiculaire à D résoudi aient la question. D'ailleurs on peut éviter ce caa puisque D est une droite quelconque.
Toutelois, il pourrait arriver que les deux relations d'involution soient identiques, lous les couples de diamètres eonjugés seraient rectangulaires, mais alors les points à l'inflni sur ces diamètres sont conjugués par rapport aux points circulaires, ces points sont donc les points où la courbe cft cuupée par la droite deTintini, IJne telle courbe est on cercle, car si A et B sont deux points tixes sur la courbe, I et J les points circulaires, la courbe est le lieu des points M tels que M (Ali IJ) soit constant, c'est-à-dire tel que l'angle AMB soit constant (§ 162), c'est donc un cercle.
§ 183. — Dans la parabole, on ne peut pas parler de diamètres eonjugés, car tous les diamètres sont parallèles, mais si nous considérons la perpendieuiaire à leur direction commune, celte droite a pour direction conjugqée une direction perpendiculaire. On a donc bien encore deux directions cunjuguées rectangulaires.
Uq diamètre conjugué d'une direction rectangulaire se nomme «n axe, il divise en deux parties égales les cordes qui lui soûl perpendiculaires ; c'est donc bien un axe de symétrie de la courbe.
Dans les courbes â cen.re, il y a deux axes, mais dans la parabole il n'y en a qu'un, à savoir le diamètre conjugué de la direction perpendiculaire à la direction commune de tous les diamètres.
§ 194. ~ Conni« sl'ppi.kmfntaibes. — Si on joint un point M d'une courbe à centre aux deux extrémités A et B d'un même diamètre, les droites MA et MB sont parallèles à deux directions coujuguées.
Soit en effet le centre, i^ui est au milieu de AB, de ce que AO=;OB il résulte que la droite menée par parallèlement à MA passe par le milieu de MB, la parallèle à MA est donc bien conjuguée de la direction MB {ce qu'il fallait démontrer).
LEÇOKH SUR LES MEÏI
iTRlE MORERNK
Equations des courbes
§ 195. — Coiisidêroas une coiivbe à centre ajaiil pour centre 0, et soil A-'A un diamètre de celte courbe. Le pôle de A'A étant à L'infini sur la direction conjuguée de A'A. les tangentes en A et A' qui passent par ce pôle sont paraltèies au diamètre OY conjugué de A'A. Soit M ua point de la courbe, AM et A'M lorment deux faisceaux bomograpbiquea, et les points P et P' où ces rayons coupent OY forment deux divisions homographiques. Quand -M vient en A, P va à l'infini et P' vii-nt en 0, quand M vient en A', P'va àTinlini, P vient en 0. Les deux points I et 8' se confondent donc ici en 0. et par suite l'homograpbii' est ici une involution, et est le point central. Le produit OP X OP' est donc constant, désignons-le par K, on a :
