OP X OP' — K
:iintenant OA pour axe des x, et pour
des y la droite déjà désignée par OY, appelons nia longueur OA, a: et y les coordonnées de M. Les triangles seuiblables OPA, HM.A, où H est le pied de l'ordonnée HM du pointM, donnent
il est facile de \
r que cette égalité a toujours lieu e
122 LliÇONS SUR LES MÉïHODli-i 1>E H lil'i;;iMIU'ini!; MODERNE
!t ceci également e:i grandeur et signe.
On mua donc :
Vah en multipliant et remplaçaiil par k le produit OP X 01'
ou :
Kx' + a' y' = Ka' nu eu divisant tout paf o'K.
Telle est l'équation de la courbe avec les axes de coordonnées quf nous avons choisis.
§ 19S, — Nous distinaiiiei'ona deux ca;> selon que Kest positif ou négiitif. Si K est positif po^oos (t ^ I)'. Dans ce cas là, P et F étant toujours du même côté de 0, AP A'P' ne peuvent pas être parallèles ; M ne peut allei' à l'iulini, la courbe est donc une ellipse, P pent se couloadre avec P', il sulïit '|ue 01' = + b. Le diamètre OY coupe donc la eourbeen deux points réels.
L'é.ï'iatiou de l'elUpse avec deux diamètres conjugués (ou les axes) pour axes de coordonnées est donc ;
et S-ï 2& sont les longueurs de ces deux diamètres.
Si nous supposoys maintenant K négatif, nous pouvons poser K = — bMciily a des points à l'infini, car si OP — (> on a DP' =— b, et AP, A' P' sont parallèles, 11 en est de même si OP ^= — b; on a alors
LEÇONS SL'it LES MÉTHOUliS m: I.\ GlMMKTRrp] MODKRXE 123
OP' =^ b ; la courbe est donc dans oe cas oqb, hyperbole. Ou voit aussi que dans l'hyperbole, les asymptotes sont les diamètres cotilondus avec leurs conjugués.
L'équation delà courbe est -5 1; — I := et l'on yoit q»e le diamètre OY conjugué de OX coupe la courbe en deuï points imaginaires. On appelle souvent 2i) la longuenr d'un diamètre (ou de l'axe) non Iransverse; mais les extrémités d'un diamètre ainsi entendu ne sont pas sur la courbe.
§ 197. — L'équ^iLion de la parabole peut s'établir comme il suit: soit OA la direction commune des diamètres, A étant alors le pointa l'infini dans cette direction. Nous prenons l'origine sur la courbe OA pour axe des x, la tangente en pour axe des y. Prenons une droite A parallèle à OY, qui coupe OX en H, soit M un poiui, de la courbe; OM coupe i en P, la parallèle MA, à OA le coupe en !''; comme OM et AM forment deux faisceaux homograpbîqups, P et P' forment sur A deux divisions liumographiques, il est facile de voir que quand P est à l'infini, P' vient en H, le rayon AO étant l'homologue de la tangente en 0, de même quand P vient en P' va â l'infini, on a donc HP X HF = fe, fc étant une constante. Mais HP — if et ~ — -^- donc le le produit —est aussi constant ; eu le désignant par âp, on a l'équation de la parabole y' = 2px.
En particulier, si on prend pour OS l'axe de la courbe, OY sera perpendiculaire ù OX, et l'équation de ia parai>ole aura la même forme, mais avec des axes de coordonnées rectuuguliiires.
