TREIZIEME LEÇON
Propriétés diverses des sections coniques
§ 198. — Cousidiirous une ellipse de centre 0, et pienons pour axes de coordonnées deux diamÈlrea cobjugués OA OB. Soient M et M' deux points de l'ellipse, extréiiiitiÏM de deux autres diamètres conjugués, P et F les points où OM et OM' coupent la tangente en A, parallèle au diamètre OB. D'après ce qu'on a vu précédemment, P et F formeront sur cette tangi'iite untî involution et l'on aura en remarquant que A est le point central, AP X A F ^^ constante.
Pour avoir cette constante, remarquons que si A' est Je point diamétralement opposé à A, B' le point diamétralement opposé à B, A'B A'B' sont deux cordes supplémentaires. Menons par des parallèles à ces cordes, coupant eii Q, et Qj la tangente en A, AQ, et AQj seront OË et OB' trau-iporlôs parallèlemimt à eus-màmes et on aura ; AQ, ^^ — AQ, :=08. Mais OQ, et 03, sont deux diamètres conjugués, on a donc APXAP'^= AQ, X AQi:=— OB*. Ainsi le produit des segments interceptés sur une tangeuta quelconque à partir du point de ooatact par deux diamètres conjugués est égal et de signe eontiaire au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente.
g 199. — FoRMULKS DE Ck.vsles. — Solcnt OA = n, OB = b, xij xy' les coordonnées des points M et M'.
c'est-à-dire :
LEÇONS SUR LES METHODES DE LA GEOMETBIlt MODllRKE l^iO
(') d'ailleurs on a ; ^j- + '^T — ^^ ^ + fr = ^ tl'^»'' '^i* rpliauchaiit :
Si on tire par exemple de l'équation (') -^ et qu'en porte dans C), en réduisant et ayant égard à (') on trouve
alors la relalioii (') donne
les relations (') et (') entre les coordonnées des extrémités de deui 8 conjugués se nomment formules de Chasies.
Théorème d Apollonius
§ 200. — Supposons que les axes de coordonnées OX OY au lieu d'être dBu\ diamètres conjugués quelconques, soient les ases de l'elii[)se ; on aura dans ce cas
puisque les axes de coordonnées sont rectangulaires.
alors OM' + OM" ^ x' + x" + 'if + y \ ou d'après les formules de Chasies
donc la somme des carrés de deux diamètres conjugués est égale à la somme des carrés des axes.
Maintenant on a :
donc d'après le 1 208 ci-dessotis (fin de la leçon).
126 LEÇONS SUR LES MÉTHODES DE LA GÈOMàTRIE MODERNE
Le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est éqiiival'mt au rectangle construit sur IfS axes.
§ 201 . — l'roblème. — Gonuaissant en grandeur el direction deux diiimètres conjugués d'une ellipse, construire les axes.
Le problème se compose de deux parties, i^ construction des axes en direction, et la construction des axes en grandeur.
Soient OA, ORles demi-diamétres conjugués donnés; menons par A la parallèli". à OB, qui est la tangente en A à l'ellipse ; si M et M' sont les points oii les axes coupent cette tangente, on doit avoir (§ 195) AM X AM' r^ — OB'. De là résulte que le cercle décrit sur M.\i' coivime diamètre, doit passer par les points P et Q pris sur la perpendiculaire en A à la tangente en B, el tels que AP = AQ ^ OB.
D ailleur.i, l'angle MOM' étant droit, ce même cercle doit passer par 0.
Il est donc déterminé par les trois points 0, P, Q, et l'on pourrait le construire. ^ Mais M étant le milieu de l'are PMQ, OM est la bisseclri POQ ; et 0.*1' est Sa bissectrice de l'angle supplér de conslruiie les points M et M'.
Soit 5 l'angle AOB; les théorèmes d'Appollonius donuenl lant a ei b les demi-axes.
OA' + 0B= = ft^ + 6* OA X (iBsin6 = ab d'où
OA' + (Hi' -20A.0Bsm&^ (a — bf OA' + 01V-1-2 0A. Oh sine — (fl +b') or, l'angle PAO est le complément de 6- On a donc :
0P=— OA' + OB' — 20A X OB sin 3
LEÇONS SCR LKS Jl lÎTElODES DK LA CliOMETLilli MODERNE t'Àl
et de même
OQ' — OA^ + 0B= 4- 2 OA X OH mi Q il résulte de là que OP — ffi — h, Od— a + b, or 01' et OQ sont connus, il est donc faciled'avoir a et l>.
§ 202. — Venons maintenant à certaines propriétés de l'hypei-bole. D'aprÈs le lliporùiiie du § 184, on sait que si deux droites AM et AN sont conjuguées pav rapport à une conique C, elles le sont aussi par rapport aux deux tangentes menées du point A à la conique ; supposons que A soit le centie: ces deux tangentes deviennent alors les asymptotes ; donc si deux diamètres d'une hyperliole sont conjugués, ils sont aussi deux droites conjuguées par rapport aux symptcites.
De cette proposition résulte la conséquence suivante; soil MN une corde d'une liyperbole coupant les asymptotes en P et Q, le milieu de MN et celui de P Q sont sur la même droite, diamètre eonjugué de MN dans ^hyperbole et dans le système des deux asyniploles.
Soit H ce milieu ; on a PH — HQ, MH zz HN. donc MP — QN. A imi les portions de sécantes interceptées etitre l'hyom-bole et ses iisyinplotes sont égales.
Ce théorème permet de construire l'hyperbole par poijits, quand on connaît un point et les deux asymptotes.
Si la droite PQ e^t tangente, W et N coïncident, et l'on a yiP = QM, M est le mi lieu de PQ .
Donc: L'i oortion de la tangente comprise entre les asyiniitolcs est divisée en deux parties égales par le point de contact.
g 203. — Théorème. — Si par les deux extrémités M et N d'une corde MN, on mène des parallèles aux asymptotes, de façon à former un parallélogramme MRNS, dont MN soit l'une des diagonales, l'autre diagonale ItS va piisser par le centre de l'hyperbole.
En effet, dans le systi'me des deux droites HM RN parallèles aux asymptotes, RS est le diamètre conjugué de la direction MN. Donc, dans le système des deux asymptotes elles-mêmes, ou dans l'hyperbole, le diamètre conjugué de MN est parallèle à RS, mais il doit passer par le
128 LEÇONS Sun Li:S JIÉTUODES DE LA GÉOMÉTRIIÎ MODKRNE
milieu de MN. Ce diamùtre coïncide donc avec la droite RS elle-même ; doue ItS eel un diiimétre et passe par le centre.
A l'aide de ce iliéoi'ème,on construit facilement le centre d'une hyperbole connaissant trois points et les directions des asymptotes. Ce qu'on sait dtijà faire du reste (g 173).
S 204. — TuHOUKMiî. — Dans vine Ujperbole., le produit des segments OP X OQ. allant do centre aux deu.'i points P et Q où la tangente PQ coupe les deux asymptotes est c<instant
En elîet, P et Q forment deux divisions homographiques (§ 1-67), d'ailleurs quand P va à l'infini, Q vient en et inversement, parceqiie les deux points de contact des asymptotes avec la courbe sont à l'infini. Donc OP X OQ — constante.
§ 2(fô. — Théobkmi".. — Si on prend pour axes de coordonnées les asymptotes, l'équation de l'iiyperhole est xij ^= constante.
En elfet, le point de contact M de la tangente PQ étant le milieu de PQ, X e?t la moilii^. de OP, et y la moitié de OQ, xy est donc constant d'après le Ibéorème précédent.
Ce théorÈrae permet di' construire les sommets de la courbe quand on connaît les deux asymptotes et un point, on connaît alors la constante, et le produit (en éfant égal à celte constante, et de plus pour le sommet a; étant égal à y, chacun d'eux est la racine carrée de la dite constante.
§ 206.— La distance d'un point d'une hyperbole à son asymptote OX est proportionnelle à y, c'eet-à-dire à — -; elle devient donc aussi petite qu'on voudra, quand j; grandit indéHniment: C'est là la déjinition qu'on donne le phia souvent des asjjmplote.K.
§ 207. ■— Venons à la parabole. Dans «ne conique quelconque (190) le pôle A d'une corde PQ est sur le diamùtre conjugué de PQ. Ce diamètre passe par le milieu M de PQ, et coupe la courbe en deux points conjugués par rapport à P et Q. Dans la parabole, l'un de ces points étant à l'infini, l'autre est au milieu de AM. Si on prend ce diamètre pour
LEÇONS SUR LES MKTIIÛDKS DU LA, GKOMKTIUE SIODRIl.N'E 129
axe des x, la tangente en [parallèle à PQ] pour axe des ■)/, OM est l'aTtcissc du point M. AM est la sous-tangente, do?it la xom-Umnenle est double de Vabcisse.
§ 208. — Nous nous sommes appuyés au § 200 sur une formule donnant l'aire d'un parallélogramme OACB connaissant les coordonnées des points A et B. Nous allons démontrer celte formule, en, y étant les coordonnées de A, x'y' celles de B, celles de G seront .r + œ' y+'j'.
Soit « la projection de A sur OX, y celle de G on a. Surlace OABC — 2 surface OAC — 2 lOCy — O&A-hAvC)
îlit+vH ï? ^' [y+^rn
xy' ~ y:)f
ce qui démontre la proposition. On verra facilement qu'elle subsiste, quelle que soit la posllion de la ligure.
QUATORZIEME ]J-:ÇON Foyers et Directrices dans les Goniqxies
§ 209. — Lemini'. — Dans un quaJrilalùre complet ajant ses qiiatres côtés tangents ù une conique, cliaquc diagonale a pour pôle le point de renconli'c des deux autres.
Soit un quadrilatère complet, ABCDEF, dont leS diagonales sont Alî, CE, DF; appelons K et G les points ofiDF coupe AB et CE. G. et K sont conjugués (§ 25) par rapport à D et F. Le faisceau AC, AD, AG, AK est donc harmonique; AC et AD étant tangentes, AG AK sont deux droites conjuguées, le pôle de AK (ou de AB) est donc sur AG. On verrait de même qu'il est sur DG ; donc ii est en G, ce qui démonfre la proposition.
On peut aussi démontver ce théorème par polaires réciproques ; il se translorme dans le suivant: dans un quadrangio complet dont les quatre sommets sont sur une conique, le point de rencontre de deu.x diagonales est le pôle de la droite joignant les points de rencontre des côtés opposés . C'est la construction de la polaii'e (§ 25 et 180) .
*! 210. — Nous avons appelé points circulaires de l'inlini ou points I et J, les points doubles d'une involution déterminée sur la droite de rinrini, par les côtés d'un angle droit tournant autour de son sommet. Tous les cercles passent par ces points. Nous nommerons foyer d'une conique un point F tel que les deux tangentes issues de ce point passent par les points I et J; la polaire du foyer se nomme directrice-.
§ 211. — Dana les coniques autres que la parabole, il y a quatre foyers : deux rèeU sur un axe ; d^tx imaginaires sur Tanlro. Dans la parabole, il y a un seul faycr situé sur l'axe.
LiîçoNS SUR LES MiinroiiiLS 1)1^ L\ G Lio M l'U' LU li MonnaNi: 131
En effet, des points I et J, on peut mener à lu courbe quatre tangentes: deuxT et S, par [, deux T, et S, par .1. Si la courbe n'est pas une parabole, aucune de ces droites n'est IJ.
11 y a donc quatre foyers, les points où se coupent TT,, SS,, TS,elSTi
Si T et T, sont des droites imaginaires conjuguées, il en est de môme de S, et S, , alors le point ÏT, est réel, ainsi que le point SS,, les deux autres sont imaginaires.
Ces quatre tangentes forment un quadrilatère dont les quatre cùtés sont tangents à la courbe, en appliquant le Lemme, on voit que la droite qui joint ÏT, à PS, est lo polaire dn point oii la droite joignant les deux autres foyers coupe la droite de l'iniini; le deux droites TT,, SS,, et TS|, ST, sont donc deux diamùtres conjugués ; d'ailleurs ces droites coupent la droite de 1 inQui en deux points conjugués par rapport à I et J (§ 25) ; ce sont donc deux droites rectangulaires, qui sont les axes de la conique.
ij 212. — Si la conique est une paralwle S et S, se confondent avec la droite de l'infini; il ne reste donc que le foyer TT,. En considérant ce cas comme cas limite du précédent, on voit que le foyer est sur un axe.
§ 213. — Autre déjinition du foijef. — Deux droites rectangulaires quelconques FP, FQ coupent la droite IJ en deux points P et Q conjugués par rapport à I et J, pour que FI, FJ soient tes tangentes à la conique issue de F, il suffira que FP, FQ soient toujou-rs conjugués par rapport à ces tangentes (c'est-à-dire que ce soient deux droites conjuguées par rapport à la conique) dès qu'elles sont rectangulaires.
Un foyer est donc un point tel que dewa; droites conjugvées pansant par ce point soient toujours redamfuliùres.
§ 214. — Ceci suffit pour démontrer d'une autre fagun que les foyers se trouvent sur les axes.
En effet, en particulier, le diamètre passant par le foyer, OF doit être
l.ia l.liÇONS SL'H LIÎS MKTHODES DE LA GHOMKFIIII''. MOnERNIÎ
perpDDdiculaire à sa conjuguée, c'est-à-dire h la parallèle au (liamèlro conjugué de OF. Ce diumtlre est doue un axe.
§ 215. — On peut d,îiluii'u do cetlu prupriùlii dos foyers, une autre propriété fort importante.
Soit F un foyer, D la directrice correspondante ; M et M' deux points de la conique, P le point où MM' coupe D, Q le oonjogué do P par rapport à MM'; la polaire do P passe par F, puisque P est sur la polaire de F (§ 181), cette polaire est donc Q''', de sorte que PF et QF sont deux droites conjuguées ; elles sont de plus rectangulaires. Elles coïncident donc avec le syslèrae des deux bissectrices des droites FM, FM' : donc d'après un théorème de géométrie élémeolaire, on a MQ . MF M'ij ~ M'F
menons MH M'H' perpendiculaires sur la directrice, et la coupant on 11
et II', on aura
*»■«= iri- = » ; «» '•""' Mii = irB-
Ce qui moutre que U rapport des distances d'un point M au foyer et à la directrice est indèpeitdant de la position de M sur la courbe. Ce rapport constant se nomme l'excentricité Une conique est donc lo lieu des points dont le rapport des distances à mi loyer et A la directrice correspondante est égala l'excentricité.
§ 216. — Réciproquement une courbe telle que le rapport des distances de chacun de ces points à un point fi.xe F et à une droite fixe D est constant, est une conique de foyer F, de directrice D.
Cai» on peut construire une conique de foyer F, pour directrice D, pour excentricité le rapport donné. Ceci revient à donner deux tangentes (Isotropes issues de F) leurs points de contact (points o(i elles coupent D) et un autre point P, tel que p^ ~ l'excentricité. Cette conique sera te lieu cherché.
Si on se reporte aux paragraphes 39 et 53, on voit quf les courbes trouvées coïncident avec celles déQuies ci-dessus.
LEÇONS SUR LES MlVcilODES IIE L.\ filîOMÉTRILL MODERNE 133
§ 217 . — Soient F et F' les deux loyers réels d'une conique à centre, D et D' les directrices. La coniiiue ayant FF' pour axe de symétrie, D et D' sont symétriques par rapport à FF; elles sont donc perpendi" culaires sur FF', elles sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la perpendiculaire au milieu de FF', puisque la conique l'est. Elles sont ainsi parallèles et équidistantes du centre. De plus, à cause de la symétrie, l'excentricité est la même pour le premier et pour le second foyer. Soit M un point de la courije, MH, MH' ses distances aux droites D et D', (', l'excentricité on a:
MF = f. X Mil MF' = e X MH' Deux cas sont à distinguer. selou-que M est, ou n'est pas, entre deux directrices, Dans le premier cas MH + MH' est égal à la distance 3 des deux directrices. On a donc: Ml*' -(- MF' =^ eX S. .
Ainsi MF -\- MF' est constant. La courbe est une ellipse au sens de la géométrie élémentaire. On voit que dans ce cas e est iniériour à l'unité.
Si M n'est pas entre les deux directrices, c'est ladilIérenceMH — MH' ou MH' — MH (selon celle des deux directrices qui est la plus rapprochée de M) qui est égale à S. C'est MF - MF', ou MP' ~ MF qui est constant . La courbe est une hyperbole au sens de la géométrie éMmon- Eaire. C'est ie cas où e est supérieur à l'unité.
Dans lo cas où e — 1 on a MF = MH, et la courlie est une pai-abole au sens de la géométrie élémentaire.
218, —On voit par là, que les coniques que nous étudions sont Celles étudiées en géométrie élémentaire sous les noms d'ellipse, parabole, hyperbole ; les .foyers ont un grandnombre de propriétés déiuon trées en géométrie élémentaire. Quelques-unes do ces propriétés seront étudiées comme applications des théories exposées dans la leçon suivante.
