QUINZIÈME LEÇON

Intersection de deux Coniques

§ 219, — TiLiîOUBMK 1". — Deux coniquos ayant an. point rûel conimiiii, sans avoir môme tangente en ce point, ont un second point réel commun.

On peut toujours supposer, on projetant convenablement la Qgure, que l'une des conitiues est une ellipse ou m6me un cercle. Soit C celte courbe, C l'autre, A leur point commun. Si G' et G no sont pas tangentes en A, G' a des points à l'intérieur de G, d'autres à l'extérieur; la partie de G' intérieure à G se compose d'au moins un arc de courbe dont les deux extrtoiités sont situées sur la courbe C. L'intersection des deux courbes se compose donc au moins de deux points" réels.

Remarque : Si les courbes sont des byperboles, l'un de ces poiuts peut être à l'infini.

§ 220. — TniiouicMii II. — Deux coniques qui ont deux points communs en possèdent deux autres, réels ou imaginaires.

Soient A et B les deux points communs, un rayon issu de A rencontre de nouveau la [iremièrc conique en M, la seconde on M' ; AM et BM forment deux divisions bomograpbiques AM' et 13M' également, BM et BM' tous deux liomograpiiiques à AMM' sont hamograpbiques entre eux. Les rayons doubles de cette liomograpUie seront les rayons pour lesquels M et M' coïncident, et l'on sait qu'il yen a deux, réels ou imaginaii es. Ce qui démontre la proposition.

Un de ces points peut coïncider avec A, le rayon homologue AM étant alors Â.B, on voit que les deux coniques sont iangentes en A.

Corollaire. —Dès que deux coniques ont un point rÉel commun, elles ont quatre points communs, dont deux peuvent être imaginaires.

LEÇONS SUR LES METHODES DE L.V fiÉOMKl'IUE MODKRXE IJlij

Ee transformant par polaires ri^eiprociues, on a les propositions suivantes : 1° Deux coniques ayant unu tangente commune réelle avec les deux pointa de contact diDérents, en ont une seconde ; 2' Si elles ont deux tangentes communes, elles en possèdent deux autres, réelles ou imaginaires.

§ 221. — l'ouv aller plus loin, nous nous servirons d'un modo de translormation des ligures, que voici : C et G' étant deux coniques non tangentes, à cha<(ue point P nous iaisons correspondre le point où se coupent les polaires de P par rapport à C et C

Si un point Q correspond à P, le point P correspond à Q, car si les polaires de P passent par Q, celles de Q passent par P. Si 1', se rapproche de P, il est clair que son correspondant Q, se rapproche de Q. Si donc deux lignes sont tangentes, leurs correspondantes le sont aussi.

A une droite D qui n'a pas mûme pùle dans les deux coniques, correspond une coniqui. Soient en effet A et A' les pôles de 1), M un point de D, M son cone&poodant. La polaire de A passant par M celle de M passera pai A ce seia AM'; de m6me la seconde polaire sera A'M'. Ces deux dioiles totment deux faisceaux homographiques, car le rapport anharmonique de quatre droites AM', celui des quatre droites A'M' son égaux tous deux à celui des quatre points M. Le lieu de M' est donc une conique, a moins qu'au rayon AA' ne corresponde le rayon A'A, mais alors cette droite aurait môme pôle par rapport aux deux coniques; ce pùle serait d'ailleurs sur D.

Nous supposerons qu'il n'en est pas ainsi, notre objet étant de montrer qu'il y a toujours des points ayant môme polaire par rapport aux deux coniques, il serait inutile d'aller plus loin si nous savions qu'il y

§ 222, — Considérons deux droites D et D,, auxquelles correspondent des coniques S et S, , soit P le point d'intersection de D et D, et Q son correspondant situé à la fois sur S et sur S,. Je vais montrer que S et S, ne sont pas tangentes en ce poîut, en supposant que P n'ait pas même polaire par rapport ans deux coniques.

Si S et s, iStaient tangentes en Q, à une sécante Q«p coupant S en « S, en, S correspondrait nne conique passant par Pet par le posut H situé sur D et correspondant à s, puis par le point K de D, correspondant à ^. Quand la sécante Q«p deviendrait tangente à S et à S,, H viendrait en P et K aussi, de sorte que ia conique correspondant à Qap serait tengente en P à la lois à D et D, ce qui es!; aljsurde, à moins qu'elle ne se réduise à des droites, c'est le cas écarté.

D'après le théorème premier, S et S, passant par Q ont un autre point réel R; si R n'avait pas même polaire dans les deux coniques, le correspondant de R serait à la lois sur D et D, et par suite en P, ce qui est absurde puisque R n'est pas en Q. Donc R a mômo polaire dans les deux coniques,

§ 223. — TnÉORi!ME. — Il existe deux autres points H, Rj réels ou imaginaires, ayant même polaire dans les deux coniques; chaque sommet du triangle R R, R, a pour polaire le côté opposé (Triancfle conjugué) ,

Soit T la polaire de R, sur ï il y a deux points conjugués à la lois par rapport aux deux coniques, points doubles, des deux divisions homographiques lormées par les doux points Mj et Mi conjugués d'un m6me point M de T par rapport aux deux courbes. Soient R, et Rj ces deux points ; les polaires de R passant par B, celles de R, passent par R ; de mâuie les deux polaires de Ri passent par R, Les polaires de R, passant par R et aussi par R, conjugué de R, coïncident toutes deux avec RRii de même les polaires de Rj coïncident toutes deux avec RR,, ce qui démontre la proposition.

Théorème. — Les points R R, Rj sont sur toutes les coniques S et S, dont il est question ci-dessus.

En eflet soit P le point oii la polaire de R par exemple coupe une droite quelconque D. Les polaires de R passant par P, celles de P (qui sont distinctes) passent par R. Mais P est sur la droite D; donc R est sur la conique qui correspond à D.

CoroU-iire. — Les coniques correspondant à une droite quelconque D passent toutes par les points fixes RR, R..

LEÇONS SOU LES S!]!THODi;S DE LA GEOMETIIIE SilJUEIlNE loi

Il n'y a pas d'autre point R^ ayant même polaire par rapport aux deux coniques, sans quoi les coniques correspondant à deux droites D et h, qui se coupent en P auraient en commun cinq points R R, It, R, et le point Q ooiTespondant de P, et par suite coïncideraient.

Nous avons vu quesi «ne droite passait par l'un des points R R, Rj la figure correspondante n'est plus une conique mais une droite. Celleci est naturellement la droite R, Rj,

!; 224. — ÏHÉORLJME. — On peut projeter deuxconiques, de façon à avoir deux coniques ayant un diamètre commun conjugué d'une mâme -direction de cordes.

Il suffît évidemment pour cela de projeter H. à l'iulini. Alors la polaire de R devient ce diamètre.

Théorème. — • Deux coniques quelconques ont toujours quatre points communs réels ou imaginaires. Les droites qui joignent ces points deux à deux passent par les trois points R R, Rj.

Je projette le point R ù l'inûni, alors les deux coniques ont un diamètre cpmmuu. l'renons-le pour axe des x, et ia direction conjuguée pour axe des y; alors les deux conkjues ont, d'après ce qu'on a vu au chapitre précédent, des équations de la lorme suivante ne changeant pas quand on change y en — y.

y^ = kx' -\- tm + C y' -— A'.ï- + 2B'.i; + C. égalant les deux valeurs de y' on a une équation du 2° dégrê en ic, sauf le cas ofi l'on aurait A =^ A'.

Cette équation a deux racines réelles ou imaginaires x^x a; ;=r a?' à chacune d'elle correspond une droite parallèle àOY qui coupe évideiiinient les courbes aux deux mêmes points.

Si l'on avait A =: A' l'une de ces deux droites serait la droite de l'iuiini, car les coniques auraient mômes directions asymptotiqiies.

On voit, en revenant à la ligure primitive, que deux des cordes communes AB et CD passent par le point R. Maintenant, pour construire la polaire de R par rapport à lune quelconque des deux coniques, joignons AC BD qui se coupent en R, AD, BC qui se coupent en R;, la

138 LF.gONS SUR LES METHODES DE LA GliOMlîTRlE MODKltNIi

polaire sera R, R, (§ 180) . Si on construit de la même façon la polaire de R, oa verra qae c'est URj et celle de Rj sera RR,, Les points RR, Rj ont donc bien même polaire par rapport aux deux coniques.

En transformant cette proposition par polaires réciproques, on voit que deux coniques quelconques oBlqualre tangentes communes, et que les droites joignant les points de rencontre des tangentes communes ont même pôle par rapport aux deux coniques. Ces droites sont donc les côtés du triangle RR, Rj. Ainsi les tangentes communes se coupent sur les côtés du triangle RR, Rj.

g 225. — Nous avons supposé dans ce qui précède que les coniques ne sont pas tangentes. Laissant encore de cûté ce cas, et voyons de quellt nature sont les points RR, Rj {réels ou imagiuiiires) suivant la nature des points d'intersection (ou des tangentes communes).

Nous savons que R est toujours réel. C'est donc le point de concours de deux droites A, B et C, D réelles ou imaginaires conjugués.

Si A, B et C, D sont quatre points réels, il est clair que RR, R, sont réels. Supposons A, B et C, D tous imaginaires. On peut supposer A et B conjugués, C et D conjugués. Mais alors, AB et DC sont deux droites réeRes, R est réel; AD et BG sont imaginaires conjuguées elles se coupent en un point réel; R, est réel, de même R,.

Supposons A et B imaginaires, C et D réels, A et B étant conjugués AB est réelle, R est encore réel, rnais ici R, et R. sont imaginaires, car la conjuguée de AC est BC et non BD.

Ainsi pour que RR, R, soient tous réels, il faut que les coniques se coupent en quatre points tous réds ou tous imaginaires.

On peut faire une discussion analogue avec les tangentes communes, en comparant ces discussions, on voit que ;

Si deux coniques se coupent en deux points réels seulement elles n'ont que deux tangentes communes réelles et réciproquement.

§ 226. — Connaissant l'un des points RR, Rj proposons-nous do construire les quatre points communs à doux coniques. Soient ABGD les quatre points, R le point où se coupent AB et CD ,

LEÇONS SL'R LKS METHODES DE LA GÉOMÉTRIE MODEUM^; iS'.)

Menons une sécante coupant AB en M, CD en M', la première conique en ««' la seconde en ^,5'. Projetons du point R ces points sur la polaire de R, on a six points PF, aa' bb'. D'après le théorème de Desargues, MM' hk' (3j5' et par suite leurs projections PP' aa' W sont trois couples de points correspondants d'une involution Coupons par une autre sécante, on aura six autres points, M, M', «(«', ^i^\ dont les projections seront PP" a,a\ b,b', PP' sera donc un couple de points communs à deux involutions, on saura le construire (§ 92).

Remarquons en terminant que les points RR, Rj sont les mômes pour toutes les coniques qui passent par les quatre points A B C D. Ils forment un triangle conjugué commun à toutes ces coniques.

§227. — Coniques passant par quatre points, ou touchant quati-e àroiies. — Tuéohèjib premiëh. — Les polaires d'un point P par rapport à toutes les coniques passant par quatre points, passent par un second point fixe Q. La droite PQ est divisée harmoniquenient par chacune des coniques du système. Prenons en effet le point Q oii se coupent les polaires de P par rapport à deux des coniques Cet C du sys- ' tème, La droite PQ est divisée harmoniquement par les points W où elle est coupée par C, et par les points ,5;î' oii elle est coupée par C'. Donc P et Q sont les points doubles de l'invoiution déterminée paf ces deux couples de points, et comme une 3" conique coupe PQ en deux points '/■/ qui se correspondent dans cette involution, •/■/ divisent aussi harmoniquement PQ, ot la polaire de P relativement ù cette 3"" conique passe aussi par Q.

ComlatimmeMt, les pôles d'une droite fixe par rapport à toutes les coniques louchant quatre droites sont surune droite fi\e. En paniculier les centres (pôles de la droite do rinlini),sont sur une droite fixe, se nommant droite de Newton.

§ 288. — Tfiiîokkitk M. — Le lieu des pôles d'une droite lixe par rapport à toutes les coniques passant par quatre points est une conique.

Soit en etîet P un point de la droite; son correspondant Q est surune

conique passant par les pôles do la tlroite par rapport à deux coniques quelconques du système. Le lieu de ces pôles est donc identique à la coniquelieu du point Q.

Corrélativement, les polaires d'un point lixe par rapport à toutes les coniques tangentes à quatre droites touchent une conique lise.

Coniques Homologiques

5 229, — Deui faisceaux liomogfapliiques ayant pour homologiques deux faisceaux homographiques, la figure homologique d'une conique est une autie connjue Les points où l'une des coniques renoontre l'axe d'honiologie étant a eu\. mêmes leurs correspondants, sont sur l'autre conique. Ainsi 1 a\p d homologie est une corde commune aux deux coniques.

Les tangentes menées du centre d!homologie â l'une des coniques étant aussi à elles-mêmes leurs correspondantes, touchent la seconde conique; le centre d'homolo g ie est donc. un point de rencontre de tangentes communes, ou ombilic des deux coniques.

Nous savons (§ 224) qu'une corde commune à deux coniques passe par l'un A des trois points ayant même polaire par rapport aux deux courbes. Il en est donc ainsi de l'axe d'ijoniologie; de même un point de rencontre de tangentes communes est sur l'une des droites a ayant même pôle par rapport aux deux coniques. 11 en est donc ainsi du centre d'homologie .

Supposons que les tangentes issues du centre d'homologio S touchent les deux coniques en PQ et P' Q' ; PQ et P' Q' étant homologues, se couperont sur l'axe d'iiomologie ; commes ces droites se coupent en un point ayant mâme polaire par rapport aux deux coniques; elles se couperont en A, et la droite « qui passe par le centre d'homologie sera la polaire de A,

LIÎÇONS suri LILS MlîïllODES DE LA GÉOMliTRIE

§ 230. — Héciproquement, conaidérons deux coniques quelconques, et soient M el N deux de leurs points communs. Sui- MN se trouve un point A ayant mÈme polaire par rapport aux deux coniques. Sur la polaire de. A se trouvent deux ombilics, soit S l'un d'eux. Les tangentes issues de S louchent la première conique C en deux points P et Q: la polaire PQdo S passe par A; de môme la droite FQ' joignant les points de conlact des tangentes avec la seconde conique C passe par A; considérons alors Vhomologique C" de C, dans l'iiomologie où S est le centre, MN l'axe, P et P' deux points correspondants. Dans cefte homologie, l'homologue de PQ est P'Q', l'homologue de Q est Q' dès lors C" passe par MN P' Q', et en ces derniers points touche SP' et SQ'. Donc C" coïncide avec C. Ainsi C et C sont homologiques.

Corollaire. — Si les points M et N sont à l'infini, c'est-à-dire si les coniques ont mCmes directions asyuipto tiques, elles sont homothêtiques (voir § 48).

§ 231. — Comme conséquence des théories exposées dans ce chapitre, nous démontrerons ici deux propriétés des foyevs, en nous aidant de la considération des imaginaires. D'après le théorème du § 224' toutes les coniques passant par quatre points ont un triangle conjugué commun, et parmi ces coniques, trois se réduisent à un système de deux droites, dont les sommets du triangle conjugué sont les points de de concours. Corrélativement, toutes les coniques tangentes à quatre droites ont un triangle conjugué commun, et parmi ces coniques, trois se réduisent à un système de deux points (couples de deux points de concours des tangentes communes, corrélatifs des couples de sécantes communes) situées deux à deux sur les côtés du triangle conjugué. D'après le théorème corrélatif de celui de Desargues, les tangentes issues d'un point à une de ces coniques sont des droites en iiivolution; les rayons doubles du faisceau divisent harmoniquement un couple de tangentes quelconques ; appliquons ces propositions en supposant que parmi les couples de tangentes communes il y en ait un qui ait pour point de concours I et un qui ait pour point de concours J. Les coniques auront alors toutes les mêmes foyers. Si d'un point P on mène deux

142 I.EÇOJliS SUR LES ilÉTUODES DE LiV. GIWMKTRIE MODEimE

tangentes à l'une do ces courbes, T et T'; T et T' seront deux rayons d'une involution; Tl TJ en seront deux autres, puisque parmi les coniques, il y en a une se réduisant au couple de points IJ, donc les rayons doubles du faisceau divisent harmonique ment la droite IJ. Ils sont donc rectangulaires. Or si deux des rayons d'un faisceau harmonique sont rectangulaires, ils sont les bissectrices des angles des deux autres; on en conclut que les couples de tangentes issues d'un point P a toutes les coniques de mêmes foyers ont les mêmes bissectrices.

En particulier, il y a deux des coniques qui passent par P (une ellipse lieu du point M tel que MF + MF' = PE + PF et une hyperbole telle que MF' — MF ^; PF' — PF). Pour ces couiques, les tangentes issues de P sont confondues, ce sont précisément les bissectrices considérées; ces deux coniques se coupent à angle droit.

Enfin, parmi les coniques il y a celle qui se réduit à l'ensemble des deux foyers réels F et F', le couple de droites PF, FF' a donc aussi pour bissectrices les mêmes droites,

De là ws propositions.

Si d'un point P on mène des tangentes T et T à une conique de loyers F et F' les droites T et T' et les droites PF, PF' ont mûmes bis-

Iji tangente menée par un point P d'une conique de foyers FF' est l'une des bissectrices du système de droites Pi-", PF',