SEIZIEME LEÇON

Théorie des Surfaces du second ordre

§ 232.'— Vna surface (In setond ordrn est une sur face couple suivaDt une conique par un pian quelconque, telle est par exemple la figure homologique d'une sphère, car un plan quelconque coupe une sphère suivant un cercle (réel ou imaginaire ; donc la ligure hcinologique est une conique.

11 y a d'ailleurs d'autres surfaces du second ordre, comme nous le verrons plus loin. Parmi les coniques suivant lesquelles des plans coupent une surface de second ordre, il y en a qui se réduisent à un système de deux droites (réelles ou imaginaires), comme nous le verrons tout à l'heure.

§ 233. — Une surface du second ordre est cotipèc par une droite en deux points, car un pian passant par la droite coupe la surface suivant une conique, que la droite rencontre en deux points. Si ces deux points sont confondus, la droite est dite tangente à la surface; dans ce cas, tout plan passant par la droite, coupera la surface suivant une conique que ia droite rencontrera aussi en deux points confondus. La droite sera donc aussi tangente à celte conique.

§234. Théoiiéme. — Si la surface contient trois droites AD, AD', AD" passant par un nrème point A, cette surface est un cône ayant A pour sommet. — En eOet, en premier lieu, ces trois droites ne sauraient être dans un même plan, ce plan pouvant couper la surface suivant deux droites, mais non trois. Menons alors paria droite AD un plan quelconque; ce plan coupant la surface suivant une première droite, doit la couper

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suivant une autre droite A ; cette droite passe pat A, sans quoi elle lennontrerait le plan D'D"en un point qui ne pont être ni sur D' ni sur D", (D' et D" n'étant pas dans le plan AD. Or le plan D'D" ne saurait couper la surface en d'autres points que ceux des droites D'D" (sans quoi il ne couperait pas la surface suivant une conique. 11 résulte do là qu'un plan quelconque passant par AD coupe la surface suivant une droite Ai passant par A, et qui engendre un cono quand on fait varier ce plan, Le lieu est donc une cône de sommet A.

§ 235, — Théouéme. — Si la surface n'est pas un coiie de sommet M, toutes les tangentes menées par te point M de la surface, sont situées dans un même plan, que l'on appelle le plan tangent en M. Ce plan coupe la surface suivant deux droites.

liln effet, soient trois plana PQR passant par M et coupant la surface suivant trois coniques CC'C" non décomposées en deux droites (ce qui est possible si la surface n'est pas un cône de sommet M). Soient T, et T" les tangentes en M à C et C. Si la tangente!" à G" n'était pas dans le plan TT, le plan TT' coupertiit C en nn point M, distinct de M ; alors le plan TT' couperait la surface suivant une conique tangente à T et à T' en M, ce qui est impossible si cette conique ne se réduit pas à deux droites. D'une de ces droites serait alors MM, ce qui est impossible puisque MM, est dans le plan R et que ce plan coupe la surlace suivant la conique C" qui n'est pas une droite.

Il faut donc que T" soit dans le plan ri". Go plan doit couper la surface suivant une conique qui doit touclier T et l' en M ; or une conique n'admet qu'une tangente on chaque point M, sauf dans le cas où elle se compose de deux droites secoiipant enM;dans ce cas, toute droite passant par M située dans le plan des doux droites, coupe la conique en deux points confondus en M. Le plan tangent coupe donc la surface suivant deux droites.