ËÇ0SS SL'Cl LES MKTIIODES Dlî lA liHOMUÏRIi; .\rOD!in\E

Pôle et Plan polaire

§ 236. — TsKonkiiE, — Si par un point fixe A on mène une si,'cante variable coupant la surface en deux points M et N, et si E est le conjugué de A par rapport à M et N, le lieu du point B est un plan appelé plan polaire do A, A se nomme le pôle do ce plan.

Je vais démoûtror tpie toute droite qui a deux points P et Q faisant partie du lieu, en fait partie tout entière. Le plau APQ coupe la sorlace suivant une conique C, la partie du lieu situije dans co plan est évidemment la polaire de A par rapport à C, ot comme P et Q sont deux points du lieu, cette polaire est la droite do PQ. ^ji lic\i étant tel qu'une droite y ayant deux points y est située tout entière, est bien un plan.

S 237. — TjikorLme. — Si, le plan polaire- d'un point A passe par nn poitit B, celui du point B passe par le point A. — En otlet, M et N étant les points où la droite AB rencontre la surlace, dire que le plan polaire de A passe par B, c'est dire que A et B sont conjugués harmoniques par rapport à M ot N; dire que le plan polaire de B passe |)ar A, c'est dire la môme chose.

Bf.marqiies. — Si m cl n sont conloudus (droite tangente), l'un des deux points B par oseraplc, est confondu avec M et N, On conclut de là que AB est une génératrice du cône ayant pour sommet A formé par les tang-onlcs issues do A à la surface. La courbe de contact do co cône est alors le Heu do point B; c'est l'iiilorscction de la suriacc avec le pian polaire de A.

§ 238. — Théobème. — Les plans polaires de tous les points d'une droite D passent par une niÈmc droite i, et les plans polaires des points de a passent par D, {D et i sont dites droites conjuguées). Soient P et Q deux points de D, et 4 l'intersection de leurs plans polaires,

Jiiti I.KÇONS SU[i LES MKÏHOTIES I)E LA GKOMKTRIE MODERNF.

soit M ua jioint (ie i. Piiisiiuc îcs plans polaires do P et do Q passcni. par M, celui dft M passe pai- P ot Q (§ 237), c'ost-à-diro par D , Soit M' UD point de A, pnis(|uo le plan polaire d'un point M de a passe par M', celui de M' passe par M, Ainsi le plan polaire d'un point quelconque ■de D passe par un point fiucleoni|ue de 4, c'est-à-dire par a.

Quatre plans passant par ^ et leurs quatre pôks situés sur Ù, ont même rapport anlMrmoniqite. — Soit en elîet A un point do D, A' lo point do rencontre do D avec !c plan polaire de A. A et A' sont conjugués par rapport aux deux points où AA' coupe la suriace. Ils forment donc une involution, ce qui prouve que quatre poitiis A, et leurs quatre homologues A' ont mùnic rapport aiiliarmoiiiijuc. D'où l'on mndut Ja proposition èhoiicèe.

S 239. — Le pian de l'inlini a unpôle, intersection des plans polaires de (rois points à l'inlini. (Du veste, si on prend la figure homologique, à la place du plan de l'infini, on a un plan quelconque). Toute droite passant par ce point y est divisée par la suriace en deux parties égales, car si un point est à l'infini, on a vu {§ 10) que son conjugué par rapport à un segment, est ie milieu de ce scffment.

Ce point est le centre de la surface. Toutefois, si la surface v^l tangente au plan de l'inlini, le centre est à l'inflni ,

Plans diamétraux et Diamètres

§ 240.. — 'ÏHÉoHi'iMK. — Dans une surlace du second ordre, le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée est un plan (Plan diamétral conjugué de cotte direction).

Kn effet, si un point A à l'inlini a un plan polaire P, les cordes passant par A sont toutes parallèles, et le conjugué de A par rapport aux points M et N oCi la corde AMN coupe la surface, est le milieu de MN. Le plan P est donc le lieu des milieux des cordes MN parallèles ù la direction A,

LEÇONS SUil LbB MlilHObES 1>E LA GlioMÉTRIE i\[ODLH>ÎE V|7

§241.— 'riiÉoRÈME. — Tous les plans diamétraux passent par te centre. En cITet, le poiot A étant à i'iaiinî, c'est-à-dire dans le plan polaire du centre, le centre est dans le plan polaire do A, c'est-à-dire dans le plan diamétral conjug-ué de la direction A .

Théorème. — Si le plan diamétval conjugué de la direction A est parallèle à une droite B, le plan diamétral conjugué de lï est parallèle à A. Ceci revient en effet à dire que si le plan polaire de A passe par TS, celui (le B passe par A.

§ 242. — Théorème. ~ Dans une surface du second ordre, le lieu des centres des sections faites dans la surface par des plans parallèles à une direction donnée est une droite f Diamètre conjiifiiué des pkmsj.

En eiîet, si par une droite D on fait passer un plan, il coiipe la surface suivant une conique G, le pôle de D par rapport à C est sur la droite i conjuguée de D. Si on suppose que D est à l'inlini, tous les pians passant par D sont parallèles, le pôle de D devient le centre de C, et 4 est le lieu des centres des coniques C dont les plans sont tous parallèles. Le tUéorème est donc démontré.

S 243. — Thmhème. — Si une droite D est parallèle i\ \m plan i', le plan diamétral conjugué de D passe par le diamètre conjugué de P. En ellel, soit C le centre d'une section faite par un plan P, parallèle à P, toutes les droites menées dans P, par C seront divisées par la surface en deux parties égales, il en sera ainsi par conséquent de la droite menée par G parallèlement à D, car cette droite étant parallèle â P sera dans P,. Donc G sera un point du plan diamétral conjugué de D {ce qu'il fallait démontrei).

% 244. — Conique a l'infini, — Le plan de l'inlini, comme tout autre plan, coupe la surface suivant une conique. On peut ramener cette conique à distance flnio par une transformation homologiquc ou plus simplement en considérant le cône obtenu en joignant tous ces points à un point fixe à distance Unie, et coupant ce cône par un plan quel-

148 LEÇOXS Snn les MliTlïODRS m'. Li GIÎOMliTRlI'; MOniîRXE

conqiio. Cela éqiiivaiil, somran toulo, ;i uiio livitisfonnaliim lioiiiologique.

Si A est un point à l'iiilmi, P le plan diamétral conjugué de A (ou un plan parallèle), l' est le plan polaire de A (ou un plan qui coupe le plan de l'inlini suivant la même droite que ce plan polaire), La droite D suirant laquelle P coupe le plan de l'infini, sera la polaire de A par rapport â la conique à l'infini delà surface. (Il est bien clair, en cilet, que si par un point A on mène un pian qui coupe la surface suivant une courbe G, le plan polaire de A coupe ce plan suivant la polaire de A par rapport à la courbe C).

Quand le centre de la surlace est à l'infini, le plan de l'infini coupe la surlace suivant deux droites, la conique à l'infini se réduit ici à deux droites.

§ 24b, — Sïst]-;mes oe biamctres conjugués. -— Supposons que le centre ne soit pas à l'inlini. La conique C à l'infini ne se réduit pas à deux droites, menons par le centre une droite OA, coupant lo plan de l'infini en A. Prenons sur la pottiire de A un point quelconque B, la polaire deB passera par A et couptra en D la polaire BD de A. La polaire de D passera alors par A et 1(. Le triangle ABD sera conjugué par rapport à C, cbaquc cùté étant la polaire du sommet opposé.

Alors dans le triùdre OABD chaque face sera le plan diamétral conjugué de l'arête opposée. Les arêtes de ce trièdre forment alors ce qu'on nomme un système de trois diamètres conjugués. On voit qu'il existe une inlinité de pareils systèmes, puisque A est un point arbitraire à l'infini, et AB une droite quelconque passant par A et située dans le plan de l'inlliii.

5 246. — On voit très facilement que si la surface est une sphère, trois dianiÈtrea conjugués sont trois diamètres rectangulaires deux à deux. Car dans une sphère, le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée, est un plan perpendiculaire à cette direction et passant par le centre de la sphère.

La sphère coupe le plan de l'infini suivant le cercle de l'infini ; donc

LEÇONS SDR LES MÉTHODES DE LA GÉOMÉTRIE HODERNli 149

un. plan et une droite perpendiculaire reDoonlrenlie plan do l'iniini en une droite et un point qui sont polaire et p61e par rapport au cercle del'iormi. On a déjà vu cette proposition (g 152,'. Troia droites rectangulaires deux à deux donnent de même dans le plan de i'infini un tiiani]le conjuçiuè par rapport au cercle de l'infini.

Plans principaux et Axes

g 247. — Propos on s -no us do cborolici' les plans de symùtrie d'une surlaco de second ordre, c'est-à-diro les plans qui divisent eu deux parties égales les cordes qui leur sont perpendiculaires.

Avant d'aborder le problème, nous lerons d'aliord les remarques suivantes :

Nous avons vu (§ 223), que deux coniques qui ne sont pas tangentes, ont toujours un triangle conjuguÉ commua. Notre démoustralion repose sur la coDsidération de la conique qui correspond à une droite donnée. On |ïeut rémarquer qu'il n'y a rien à changer dans le raisonnement si l'une des deux coniques données, ou mCmeles deux sont imaginaires, la polaire d'un point réel par rapport à une telle conique restant réelle. Nous avons vu, si les deux coniques données se coupent en quatre points imaginaires, que les sommets du triangle conjugué commun sont tous réels ; ceci a lieu en particulier quand une des deux coniques données est imaginaire.

§.248. — Considérons le cas où fune des deux couiiiuns est reui. placée par un système de deux droites. Dans ce cas, le triangle conjugué commun sera remplacé par le triangle ayant un de ses sommets en A point de rencontre des deux droites; les deux autres sommets 15 et C sont sur la polaire de A, et conjugués à la lois par rapport au système de deux droites et à la conique. Si cotte conique est imaginaire, li et G sont réels, car ce sout les points correspondants communs à

150 LEÇONS SUR LES MÉTHOIIKS BE LA r.ÉOMiïïRlE MOflEl!^'E

deux involutions, ut les points (ioublcs de rime d'elles sont iiiiiiginaircs {§ 192).

•^ 249. — Considérons encore le cas wi les coniques sont bitangenfes, que l'une d'elles soit ou non un système de deux droites. La corde des contacta a alors môme pôle A dans les deux coniques; le point A, et deux points conjugués sur la corde des contacts tonnent un triangle conjugué commun. On voit que dans ce cas, il u a une Infinité de pareils triangles.

§ 250. — Nous sommes maiutenarit en mesure de résoudre le problème proposé. Si un plan est prtjicipai, c'est un plan diamétral conjugué de la même direction de cordes dans la surlace etaussi dans une sphère quelconque ayant son centre dans ce pian. Il coupe donc ie plan de l'infini suivant une droite ayant même pôle par rapport aux deux coniques suivant lesquelles la surface donnée et la sphère rencontrent le plan de l'infini, c'est-à-dire à la conique 2 à riiifmi sur la surface, et au cercle S de l'infini. Ce dernier étant une conique imaginaire, on voit qu'il y a trois droites réelles répondant à cette condition, les trois côtés du triangle conjugué commun à S et à 2. Soit AlîC ce triangle.

S 251. — Si 2 110 se réduit pas à un sjsLèmc de doux droites, le plan de l'infini n'est pas tangent à la surlacc. Le centre pôle de ce plan, est alors à distance finie. Les plans OAD OAC OliC sont des plans principaux, OA, OB, 00. sont des axes de symétrie.

§ 252, — Si i; se réduit à deilx droites se coupant en A, nous avons encore (§ 248) un triangle conjugue ABCdontondos sommets est en A. La droite conjuguée de BC passe par A. Soit A cette droite. Les plans AAB.AAC sont alors des plans principaux, et l'i droite A est un axe de symétrie, c'est le seul. On obtient facilement cet axe de symétrie en remarquant que dans ce cas tous les diamètres passent par A et par

LEÇONS SUR LES MKTHOItBS IM-l LA GEOMETRIE MODERNE ibl

SLiito sont parallèles, l'ase est le lieu des centres des sections faites dans la surface par les plans pcrpcndicLiloiros à la dlrpctiou A.

§ 253. — Si les conicjuea S et - litaient tangeiitcB, elles seraient bitangenles {car si «ne conique en louche une autre en un point imaginaire, elle le tou cite aussi en son conjugué). Soit A lcp61edola corde des contacts, D celte corde, a la droite conjusuéc de D passant par A, loQS les plans passant par D seront perpendiculaires à A, comme Ils passent tous par les points de contact de S et s, ils coupent la surface suivant des coniques passant par les points circulaires de leur plan, c'est-à-dire suivant des cercles, le centre de l'un do ces cercles est sur le diamètre A. La surface est donc de n'coliiliim autour de la droite A.

§ 254. — HecJieir-lw des plam principale pai- des constni^tions rèiiles.

Les raisonnements précédents prouvent bien l'existence des plans principaux ; ils ne permettent pas d'en donner une construction immédiate. Pour y parvenir, nous allons raisonner d'une auti'e façon. Nous allons nous horner aux surlaees à centre qui ne sont pas de révolution, car dans le cas des surfaces tangentes au plan de l'inflni, et dans le cas des siirinces de révolution, la construction directe est facile.

§ 2b5. — Soit donc le centre de la surface ; par le point ii une droite quelconque 0.\f, soit OM' l'intersection du plan perpendiculaire à OM mené par avec le plan diamétral conjugué do OM. A cliaque droite OM correspond ainsi une droite OM'.

Cette correspondance (tout à tait analogue du reste i\ celle du § 221), est réciproque. En ellet, l'angle MOM' étant droit, OM est dans "le plan mené par perpendiculairement à OM', de plus OM' étant dans le plan diamétral conjugué de OM, OM est dans le plan diamétral conjugué de OM'. OM est donc bien la droite correspondante de OM'.

Quand la droite- OM décrit un plan passant par 0, la ckoite OM' décrit un cônedu second ordre. En olîet, soit OP la perpendiculaire au plan sj donné, et OQ le diamÈLre conjugué de oi. Si OM reste dans le plan w, le plan diamétral conjugué de OM passe par OQ (§ 237) et le plan perpendiculaire à OM passe par OP, de plua le rapport anharmonique des quatre droites OM estégal à celui des quatre points oii elles percent le plan de l'infini, ou à celui des quatre plans polaires de ces quatre points, o'est-à-dire des quatre plans diamétraux QOM' ; le rapport anharmonique des quatre droites OM est évidemment égal à celui des quatre plans perpendiculaires l'OM', donc quatre plans QOM' ont môme rapport anliarmonique que quatre plans POM' correspondants. Si l'on coupe par un plan quelconque, on obtiendra deux faisceaux homographiques PM', QM' ; donc ce plan coupera le lieu do DM' suivaut une conique. M' décrit donc un cône du deuxième ordre .

§ 256. — Considérons doux plans i., et »j,, h. ces deux plans correspondent deux cônes a et o-., qui passent tous les deux par la droite qui correspond à l'intersection de tu et a>,. On verra, comme au g 222, qu'ils ne sont pas tangents suivant cette droite. (On ramène les raisonnements sur CCS c6nes à des raisonnements sur des coniques en coupant la figure par un plan quelconque.)

Us se coupent alors suivant trois autres droites dont l'une au moins est réelle. Soit OA cette draito. Le plan diamétral conjugué de OA coïncidera avec le plan perpendiculaire sur OA. Car si ces plans no coïncidaient pas, ils se couperaient suivant une droite OA' qui serait la correspondante de OA et qui, par suite, coïnciderait avec l'intersection de fil et 0.,. Or à l'intersection de sj et de a,, correspond par bypotliÈse une droite autre que OA,

Le plan diamétral conjugue de OA étant perpendiculaire sur OA, considérons les deux axes OB, OC de la conique intersection de la surface par ce plan, on voit facilement que le plan diamétral conjugué de OB est le plan GOA qui est perpendiculaire sur OB. De même le plan diamétral conjugué de OC est le plan BOA, perpendiculaire sur OC. On voit donc que OA OB 00 so^it ks <xxeB, et l'on démontrera