LEÇONS SUR I

facilement que les deux cùn pent suivant ces trois axes, droites réelles.

Nous ne discuterons pas i ter, ce que nous disons ici avons dit au § 222.

s dont il est question ci-dessus, se coun sorte qu'ils se coupent suivant quatre

i les particularités qui peuvent se préson- Uant absolument analogue à ce que nous

Sections circulaires.

§ 2S7. — Nous allons clicrclier les plans qui coupent la surface du second degré donnio suivant des cercles. Nous supposerons que la surlace ne soit pas de révolution, en sorte que le plan de l'inlini ne la la coupe pas suivant une conique bitangente au cercle de l'infini .

§258. — Remarquons en passant le théorème suivant, dont la démonstration est immédiate.

Les sections d'une surface du second degré par des plans '[laratlèks. sont des courbes homoihétiques.

En eflet, des pians parallèles coupent le plan de l'infini suivant une même droite. Cette droite coupe la conique à l'infini de la surlace en deux points, les courbes dont il est question passent toutes par ces deux points. Ayant deux points couiinuns à l'infini, elles sont ho m thé tiques.

La question proposée est facile à résoudre; pour que la section par un plan soit un cercle, il faut qu'elle passe par les deux points où ce plan rencontre le cercle de l'inlini ; or la surface a quatre points », -/, cj Kl sur le cercle de l'infini. Les sections cherchées sont donc situées dans les plans passant par l'une des six droites «, «,, ai a„ h, «,,

Parmi ces six droites, deux seulement sont réelles, si «i et 'j, sont imaginairea conjuguées, de même que «j et «i, ces deux droites sont

1(54 i,Ef;o.\s SUR tes méthodes ns la gkomktrie modeknk

§ 259. — Il y a donc seulement deux directions de sections circulaires réelles, ce sont celles passant par a, a, et colles passant par «a «i. Il est facile de voir comment sont placés ces plans ; soit A le point où se coupent a, «i et «j «c La direction A est celle d'une corde perpendiculaire à un pian principal, puisque c'est l'un des points ABC du ij 250; ainsi les plans de sections circulaires sont perpendiculaires aux plans principaux ; les plans de sections circulaires réelles sont perpendiculaires ù un même plan pi-mri|wl,

§ 260. — Il y a un cas où les plans de sections circulaires ne coupent pas réellement la surlace suivant des cercles, c'est celui où la surface coupe le plan de l'inlini suivant les deux droits réelles k, k„ et «j s\. Dans ce cas, tout plan passant par une de ces droites, coupe la surface suivant une seconde droite, et non suivant un cercle.

§ 261. — Jhéoré-me. — Deux cercles réels, non situés dans des plans parallèles (l'un passant par «, '/.-i et l'autre par «j «,) sont situes sur une même splière.

En effet, soit P et Q les plans de ces deux cercles; ils se coupent suivant une droite D qui coupe elle-même la surface en deux points M et N, Faisons passer une spbère par le premier cercle et un point A du second, je dis que cette sphère contient le second cercle. En effet, le plan Q coupe la sphère suivant un cercle passant par A M et N, et ayant par conséquent trois points communs avec ce second cercle ; ces deux cercles ayant trois points communs, coïncident.

DIX-SKPTIKME LEÇON