ETUDE DES SURFACES REGLEES DU DEUXIÈME ORDRE

Théorème général sur les Surfaces rég-lées

§ 262. — Oïl nomme wurfaue rfi/(ée la surface migcndrée par une droite qui se déplace d'après une loi déterminée. Cette droite se nomme génératrice.

Considérons une génératrice D de la suriace, et un point M sur 1), Traçons sur la surlace deux courbes. C et C,' passant par M, et soient M' et M" les deux points où elles sont coupées par une seconde génératrice D, voisine de D. Quand D, se rapprochera de D, M' et M" se rapprocheront de M, MM' et MM" deviendront les deux tangentes en M aux deux courbes G et G, le plan M M' M" deviendra le plan de ces deux tangentes et puisque le plan MM'M" contient M' M" ou D,, le plan des deux tangentes contiendra la position limite de D, c'est-à-dire D ; ainsi toutes les tangentes à la surface en M seront dans un mÔme plan contenant D, Ce théorème comporte des cas d'exception ; car la démonstration suppose qu'une seule droite D, vienne en D, et que par M i! ne passe pas plusieurs génératricos.

§ 263. — L'existence duplnn langent étant ainsi.démoiitrée, on distinguera doux classes do surfaces réglées : d'abord celles dans lesquelles le plan tangent reste le même en tous les points d'une génératrice. Ou leur a donné le nom de surfaces cîéBeloppabïes ; tels sont les cônes, les cylindres, etc. Laissant de côté ces surlaces, nous allons démontrer relativement aux autres, cette proposition. Le rapport (mharmoniqus de quatre plans tangents en quatre points d'une même f/énérati-ke est èijal à celui des quatre points de contact.

156 LEÇONS SUR LES MÉTHODES DE LA GÉOMÉTRIE MODEJîKE

Soient .« ,9 ■/ 3 les quatre plans liingents aux quatre pointa ABCD d'une même générati-ice L ; considérons sur la surlace quatre coui-jjes passant respectivement par ABCD, et coupées en A,B|C,Di par une génératrice L, voisine de L, désignant par la notation LA, le plan rjui passe par L cl pnr A, on aura (§ 19 ou 129)

L(A,B,C,D,)— A,lï,C,D,

SiL, vient se, confondre à L, A,B,C,D, viennent en AltCD et d'autre part les plans LA, Llî, LC, LD, deviennent les plans tangents « ,5 y 3 ; OB a donc

(«;5y3) — (ABCD). lin qu'il fallaildémonlm-.

i; 264. — Ce tliéorômo va nous permettre d'étudier très simplement la variation du plan tangent quand le point de contact parcourt une génératrice de la surface.

A cet effet, prenons sur la droite une origine, que je supposerai d'abord arliitraire, et un plan arbitraire passant par la génératrice. J'appellerai OX la droite, XOY le plan arbitraire, OY dans ce plan sera perpendiculaire à OX, et OZ sera perpendiculaire au plan XOV. Prenons sur OY un segment m == 1, puis par le point a menons une parallèle à 02, soit si? cette parallèle, si un plan P passant par OX, fait avec le plan XOY' l'angle 0, i! coupera r,>l en un point y. tel que«c,^f5'*.

Soit M un point d'abcisse x pris sur OX, y. le point oii le plan tangent en M coupe w £, 6 l'angle que lait ce plan avec XOY . D'après ce qui précède M et ,1:1 formeront deux divisioas lioiaograpbiques ; on aura donc entre x et t^O une relation de la forme

As- l,}<J+ \Vi' + C(r/; + D^O pour a- iafini (gO a une certaine valeur, choisissons le plan XOY de façun que pour 3; inlini soit droit, ou tij '1 inlini, on aura alors A ^ 0. Do plus, choisissons pour origine le point ((ui correspond à la valeur pour Uj''i, la relation piécédentc se réduit alors à

s MCTiiODËS m: T,

Ii.r + C ;,/'J =

— () tij

On voit ([lie X variant du ~ ce à + co 1 varie de —1 droit ii + 1 droit le plan tangent fait «n tour complet, en tournant toujours dans le même sens, quand lo point de contact décrit la génératrice.

La constante p se nomme le paramèlrs de àhtribution. Le point que nous avons pria comme origine se nomme la point central, le plan langent en ce point est le plan ceniral. Pour chaque génératrice de la surlace réglée, il y a un paramètre de distribution, un point et un plan centraux.

§265. — Avant d'étudier les surfaces da deuxième ordre engendrées par des droites, nous démontrerons encore la proposition suivante, cas particulier d'autres plus générales qui feront 1 objet de leçons ultérieures.

Si un quadrilatère gauclie, dont les côtés successifs sont AB, liC, CD, DA est coupé par un pian P qui coupe AB en c, BC en ,'., CD en y, DA en î, on a (en grandeur et signe) la relation

" «15 ^ ^ÏG ^ ïD ^ SA - +

Projetons toute la ligure sur une droite quelconque piirallèlomcnt au plan P, A, BGD se projetteront en quatre points ab c-d, les points «^■j S se projetteront tous au même point H où le plan P rencontre l'axe de projection ; et l'on aura (en grandeur et signe), d'après un théorème dont nous avons fait souvent usage:

Xa __ nU 1)5 Mi Cy cH . !)" dll ,^ — H (I ' je "^ H« ' yD — m ' Sa ~ H"

d'oij, on muitipliant membre à membre, et remarquant que dans le second membre, à chaque facteur du numérateur correspond au dénominateur le facteur égal et de signe contraire :

■15S Ll^ÇONS SUES LKS METIIOUHS »E LA GEOMILTRIF. ^[0DI£I1NK

«B (-^C -/D 3a Ve qu'il fallait démontri'r.

§ 266. — Rèi:ipyoque-iwMt,&\ entre quatre points Kpy 3 si tuùs respectivement sur les côtés AB, BC, CI), DA d'un quadrilatùre gauche, on a la relation précédente, ces quatre points sont dans un même plan. En eflet, considérons le plan P qui passe par les trois points «^7, ce plan rencontre la droite OA en un point S", et les quatre points h|Î'/5' étant ainsi dans un même plan, on a, d'après le tliëorèmo précédent:

d'où en comparant celte égalité a l'égaillé (') qui a lieu par hypothèse i

S'A Sa d'où l'on conclut que 3 et 3' coïncident, car il n'y a qu'un point qui divise le segment DA dans un rapport donné en grandeur et signe. Le point S coïncidant avec 3' est donc bien dans le plan a^-iy {ce qu'il fallait dimontrer).

Surfaces réglées du deuxième ordre

§ 267. — 1" Si une surlacc du deuxième ordre contient uaic droite réelle, elle en contient une inlinité ; par cliaque point de la surface il en passe deux.

EneBet, soit D une droite réelle sur la surface, P un poinl quelconque de cette surface, le plan DP doit couper la surface suivant uiie conique, mais cette conique doit se composer delà droite D, et d'une autre droite, cette autie dioite doit passer par P, qui est un point d'intersection de la surlace et du plan Soit icette autre droite, située dans un même plan a^rc D

LEÇONS SUR LES MAITHODES i)E LA. GÉOJlÉTRIlî MODEHNË 150

Considérons maintenant im [wint (iMcIconqnc M de la surface. Ce point n'est pas dans le plan DA, car ce dernier plan ne peut couper la surface en aucun point en deliors des droites D, A dont l'ensemble constitue une conique, les plans DM et aM coupent alors, d'après Je raisonnement précédent la surlace suivant une droite passant par M, pour chacun d'eux. Cela iaît deux droites passant par M. Ces deux droites ne peuvent coïncider que si elles pa.ssenl parle point de rencontre de D et i. Mais dans ce dernier cas il passerait par ce point trois droites de la suriace non situées dans un môme plan. Nous avons vu (§234), qu'une telle sQrlace serait iiucâne ayant ce point pour sommet. En écartant ce cas, on voit que par tout point M de la suriace, il passe deus droites distinctes, l'une rencontrant D, l'autre A. Noos appellerons les premières (droites du premier sj'Stème) les autres (droites du deuxième système) ,

g 268. — 2" Dsiix droites de mhne xysUme ne sont jamais dana un mime plan.

lîn effet, si deux droites de même système étaient dans un même plan, ce plan contiendrait D qui est rencontré par ces deux droites ; il couperait donc la surface du deuxième ordre suivant trois droites, ce qui, est impossible.

§ 269. — 3' Deux droites de système différent sont toujours dans un ■ittëme plan.

En elîet, considérons une droite K du premier système et une droite K' du second, rencontrant A en A, Le plan KA doit couper la surlace suivant une seconde droite passant par A, cette droite ne saurait être A, car le plan Kl contiendrait la droite D, et par suite couperait !a surface dii second ordre suivant li'ois droites ; puisque cette droite n'est pas A, c'est nécessairement K', donc K el K' sont dans un même plan (ce qu'il fallait démontrer).

§ 270. — 4° Les deux pointu M et M' où une droite naiiable du premier système rencontre deux droites D et D' du second système, for-

10(1 LEÇONS SUR LES MI^TIIODES DE LA GEOMiiTllIK MODl:;nXb;

ment sur ces dmx droites, d&ux divisions homof/raphiques, les plans DM' et DM qui se coupent suieant MM' forment deux faisceaux homorjyaphiques de plans.

Coupons la surlaco pur un plan quelconque qui coupd D en A. D' en B, MM' en P; le plan considéré coupe par hypotlsùse, la surface suivant une conique, P est un point quelconque de cette coaique. AP BP lorment donc deux faisceaux homograpliiques, donc il en est ainsi des plans DAP, D'BP, ou DM' et D'M ; ces plans déterminent alors sur D' et D les points M' et M, correspondants de deux divisions liomograplii<iucs,

§ 271 . — o" Rccipi'OqueAnenl, la droite d'intersection do doux fais, ceauxhoinograpliiquesde plans, ou la droite joignant doux points correspondants de deuï divisions homogrnpliiques sur deux droite; non situées dans un même plan, est une surface du second ordre. Soient D et D' deux droites, supposons qu'un plan passant par D coupe D'en M', et qu'un plan passant par D' coupe D en M. Si les plans DM' et D'M forment deux faisceaux homogiapliiques, i! est riair que les points M et M' formeront sur D et D' deux divisions homographiques et inversement. Les deux modes de génération cités dans l'énoncé s'équivalent donc. Si maintenant on coupe la figure par un plan qui coupe D en A, D' en B, MM' en P, le fait que les plans DM' D'M forment deux faisceaux homographiques, entraine que leurs sections AP BP par le plan forment aussi deux faisceaux homographiques. Donc la section de la surface par le plan considéré est une conique qui passe par A etB, La proposition est donc démontrée.

§ 272. — 6° La surface enijendrée par une droite qui rencontre trois droites fixes non situées dans un même plan, est une surface du deuxième ordre.

Soienlen effet D D' D"le3 trois droites fixes, M, MjM., M, quatre points sur D"le planDMi et le plauD'.Vi, se coupent évldeinmment suivant une droite rencontrant D D' et D", Or on a :

LEÇONS SUR LKS MRïKODKS DE L\ GKOMETIUE MODERNE i(>t

D (M, M, M, M..) — (M, M. M, MJ IT (M, Ma M, Ml} — (M, M, M, Mi) d'uii l> (M, Mi Mj Ml) — D' (M, Mî M,, M.).

d'où il résulte ([uc DM et D'M forment deux faisceaux iiomograpliiques de plans. Leur intersection engendre donc, d'après le Ibéorème précédent, une surlaee du second ordre.

§ 273. — Snrffwes du second ordre passant par un même quadriîalire gauche. — Gonaidërons une surface du second ordre engendrée par une droite «7 rencontrant les deux côtés AB et CD d'un quadrilatère gauche ABCD en «et 7 respectivement. Supposons que BC et DA soient deux positions particulières de cette droite, en sorte que le quadrilatère gaiiclie considéré soit situé sur la surface, « et 7 forment deux divisions liomograpliiques dont A et D, B et C sont dos points correspondants. SiK et y' sont deux autres points correspondants, on

(Alî*0= (DCy/)

Aj( . A«' __ Dv . |)'/ A^ Çv __ A(,' G./

"" ■ ^^ ■ «'B ~vC • 7'C "" ■ «B^-^~^^7d

ou encore en remarquant que le second membre est indépendant de «et 7.

k désignant une constante.

Soit |3S une génératrice du second système qui coupe i!C cm-, AD Set!''/ en M. Les deux génératrices étant dans uu mèine plan

f^C ^ 7D -^ 3A a ayant égard à la relation (') ci-dessus :

LEÇONS SUH LES METHODES IIE LA GEDMIÎTRIE MOnEllSI B5 D3 1

Les droites «^ satislaisaat à ia relation (') sont les génératrices du premier système. I.ea droites ^S satisfaisant à la relation (') sont celles du second système.

§274. — TaÉoRKMis. — .Si trois génératrices d'un même syslÈmo sont parallèles à un même plan, toutis les géoératricos de ce système sont parallèles h ce plan, et tontes celles de l'autre système sont parallèles à un autre plan.

Reprenons la ligure précédente : Les portions de droites comprises entre plans parallèles étant proportionnelles, si AD, s.-/ et BC sont parallèles à un mémo plan, on aara :

- ,, —- -,-• (Kngrandeiiret signe)

Mais quand «y cngendrela surface, nous avons vu que le premier membre restait constant. Si donc il est égalai pour une seule position de «7, il est égal ù 1 pour toutes, et alors toutes les génératrices «? sont parallèles à on même plan, ce qui démontre la première partie du théorème.

La constante k étant ici égale fi 1 , on a :

cequi prouve encoreque AB, 5,S et DC sont parallèles à un même plan et démontre la deuxième partie du théorème.

Ces surlaces particulières dont toutes les génératrices sont parallèles à deux plans fixes se nomment des parnboloïdes. On voit facilement que la relation

LIÎÇONfn Sim LRS M Kï [10 DR S D',!

. li V c

définit deux diviaiona homo^raphiques semblables, si w est à l'infini, y est à l'infini. Il résulte de là {|ue ces surfaces (et elles seules) sont tangentes au plan de l'inlini.

Par un quadrilatÈrc gauebe il passe une infinité de surfaces du second ordre (une pour cbaque valeur de A) ; il n'y a, parmi elles, qLi'un seul paraboloklo corrcspondnnt à la valeur I; = 1 ,

§ 275. — iNTr.usKr.TiON d'unk droite et d'usé surface rkqlée nu SECOND ORDRK, — CousidiSrons une droite A, et une surface réglée engendrée par une droite rencontrant trois droites fises D D'I>". Je me propose de chercber les points où la droite i rencontre la surface. Un de ces points est un point M tel qu'une droite passant par ce point rencontre D D' D" ; le problème revient donc à trouver une droite rencontrant les quatre droites données i D D' D", Considérons les deux surfaces définies par les trois droites i D D' et par les trois droites i D D". Soit A un point de D, par ce point passe une génératrice de la surface i D D', coupant i en m, et D' en n' ; par A passe aussi une génératrice Je i D D" coupant i en m' et D" en a". D'après ce qu'on a vu ci-dessus (§ 270) ut et A forment deux divisions homograpliiques, de môme que m' et A. Donc m et m' forment deux divisions bomograpbiques : Pour que m soit un des points cliprchés, il faut que m A et m'A coïncident, c'est-à-dire que m soit «n des points doubles des deux divisions. Par conséquent, après avoir au préalable construit trois couples de points correspondants, on sera ramené k construire les points doubles d'après la niétbode du § 88.

§276. — Il résulte de cette construction, le théorème suivant que nous retrouverons plus loin : Dewc surfaces du second ordre ayant m commun dmix droites ne serencontrant pas ont en commun deux autres droites rencontrant les deux premières et formant par suite avec elles un quadrUath-e gauche.

1(54 LEÇONS SUR LUS KKTHODliLS DE LA GÉOMÉTIUE HlODEdNE

lîn effet, aous avons eu dans le problème précédent, les deux sui'faces aDD', A D D", ayant en commnn A et D, et nous avons construit deux droites rencontrant A, D, D' D" et situées sur les deux surfaces. Ces droites pourraient d'ailleurs être imaginaires ou coniondues ; l'une d'elles pourrait être à l'infini.

DIX-HUITIÈME LKÇON

Sur les polaires réciproques

§ 277. — Nous avons défini aux § 44 et suivants, les ligures polaires réciproques par rapport à une splière. On peut aussi prendre des figures polaires réciproques par rapport à une surlace du second degré. L'étude de ce mode de correspondance fera l'objet do cette courte leçon.

Considérons une surface du second ordre B, que nous nommerons surface de référence. A cliaque point M d'une figure F nous forons correspondre son plan polaire u par rapporta la surface R. Nous dirons que u. est le plan corrélatif de M. Les plans corrélatifs des diliérents points de la figure F forment une figure F, qu'on nommera figure corrélative de F.

g 278 TiLÉoni-.Miî, — La figure corrélative de l'ensomble des points d'un plan P est l'ensemble des plans passant par le p6le w du plan P.

En effet, §1 M est un point du plan P polaire de 6> par rapport à U, le plan polaire de «passant par M, le plan polaire;-», de M passera par w (§237).

g 279. — Théorème. — La figure corrélative de l'ensemble des points d'une droite D est l'ensemble des plans passant par la conjuguée i de D par rapport à R.

Ou sait en efîel que les plans polaires des dilîérenls points de U passent tous par i (§ 233).

Hlb LEÇONS suri LES METHODES DE LA GÉOMLTiilE

S 280. - ïiiÉouiî.MË. - Si IQ lieu des pôles tlDsjilaos tangents à une siiifaco S est une suiiace ï, le lieu des pôles des plans tangents à S est la suriaee S. Les deux surfaces S et s sontdites polaires réciproques; les plans tangents à l'une d'elles forment la ligure corrélative des poiDts de l'autre.

Soient en elîet abc trois points de S, et ABC les plans tangents ou ces trois points se coupant en M ; v.py les polos de ABC situés sur 1 ', de ce que les plans ACC polaires de c.fiy passent par M, il résulte que le plan polaire do M passe par « ,î 7, c'est donc le plan de ces Iroîs points.

Si i) et e se rapproch nt do A en sunant dent li.ncs sut S mjant pas mfinie tangente en \ M lura poui position Imiito le f uint A le plan polaire de M aui a jour 1 si tir n liinilpli'pidn [Olaiic de A ' Pt / se rapprocheront de u (en suii int deu\ hones non tengontbs en c) et le plan limite do « f / sera le plan tangent en a Ce i lan tangent est donc bien le plan polaire de M ue qui dwiionlre U piof osition

On peut ajouter que si une dioitoD touuhe "5 sa eon]u,,uee i par rapport à R towohe - Cai si ï> est la limite d une dioite b coup int S en a et b, quand b vient se confondre avec a, i sera Ja limite de rinteraeclion des plans polaires de (t et de l>, quand le second de ces plans se confond avec le premier.

§281. - Il coQvient d'examiner (|ucllc est la ligure corrélative d'une courijcC, intersection de deux surface S et S'. Les corrélatifs des pointa de C sont évidemment des plans tangents à la lois aux deux surfaces 2 et 5' polaires réciproques de S et de S'.

A une droite D tangente à C correspond sa conjuguée A qui, lorsque D se déplace, engendre une surlace réglée f ; D est la limite d'une corde « (» de C quand b vient se confondre avec A, i est la limite de l'intersection des deux plans polaires de a et de b, c'est-à-dire de deux plans tangents communs « et ,S à ï et t, quand ,S vient se confondre avec k, c'est donc l'enveloppe de ces plans.

A un plan passant par D correspond un point sur A, c'est un point de contact de celui des plans tangents à 1" qui corres|lond au point où D

LEÇONS SUR LKS Ml'/rHOTlES DID LA GÉOMÉTUIt; MODERNE 167

touche C. Qimnd le plan tourne aiitoui- de D, le point conespondant décrit i, ce qui prouve que tout le long de A, le plan tangent à r est le môme,

La surlace r est dite la dêveloppablo eircoiisci'ito aux deux surfacns î et 1' . C'est la polaire l'écipi'otiue de. C

§ 282. - Si la coui'be ost piano et située dans un plan 1', les plans polaires de tous ses points passent par un point lixe le pôle m du plan P. La surface F est alors un cône de sommet «.

g 283. — l'uiioRiiME, — La li^'ore polaire réciproque d'une coniciuo est un côuo du second ordre.

Coupons la ligure pac le plaa l' de la conique C, la surlace R sera coupée par une conique p, et les plans polaires des points de P donneront, par leur intersection avec P les polaires par rapport à,û, or, dans le plan P, la polaire réciproque de C par rapport à p est une conique 7, donc la polaire réciproque do C par rapport à R est le cône ayant pour souimet le pèle de P et pour base y, ce qui démontre la propo-

g 284. — TuiMRiîiiE. — La polaire réciproque d'une surlace S du second ordre est une surlace ï du second ordre.

Je vais prouver que S est coupée par un plan quelconque m suivant une conique. Soif P le pôle du plan w; considérons le cône de sommet P circonscrit à Z. 11 est du second ordre, ayant pour base l'intersection do S et du plan polaire de P par rapport à S. Los plans tangents à S qui passent par P sont les plans tangents à ce cône, donc les points communs à S et au plan « sont sur la conique polaire réciproque de ce cône, ce i|ui démontre la proposition.

§285. — THÉoRi-,.Mii. — Si S et :; sont deux surlaces du second oi-dre polaires réciproques l'une de l'autre, à un point P et son plan

108 LIiÇOXS son LES iMICTlIODE'^ 1>E LA GliÛldîTlilll MODERXE

polaire A par i-apport à S, correspondent dan? la tigure cni-rélativc un plan w et son pôle a par rapport à I,

Soit en effet Q un point du plan A ; M et M' les deux points où QA coupe la surface. Les plans tangents en M et M' se coupent suivant une étroite Det lelaisceau D (PQ MM')estliarmonifiue.

Prenons la ligure corrélative, soit li la droite cjui correspond à U, au plan D,Q qui n'est autre (jue le plan A, correspond le point a fjui se trouve sur A ; au plan DP correspond un point ,S qui so trouve dans le plan M coriespondant à P, ans plans DM, DM', passant par D et touchant S, correspondent deux points y- et y' situés sur A et sur ï, Or on a D (PQMM') =1 t«§,a^') car le rapport anbarmoniquo d'un laiscnau de quatre plans est égal à celui de lani-s quatre pôles et comme D (PQ MM') ^ — 1, on a {c/.pu-y:) = — 1, donc ,? est dans le i)laii polaire de «par rapport à £. Mais le lieu de ,5 est le plan w; le plau -> est donc ce plan polaire. Ce qui démontre la proposition,

§ 286. — Classe d'une surface. — Nous verrons plus loin qu'on appelle ordre d'une surface le nombre de points réels ou imaginaires où elle est coupée par une droite quelconque, La classe d'une surface est le nombre de plans tangents qu'on peut lui mener par une droite q^uelconque.

Théorème, — SI deux surlaces S et i: sont polaires réciproques, l'ordre de l'une est égal à la classe de l'autre.

En elïet, si une droite D coupe S en ni pointa, les m plans qui leur correspondent passeront par la droite A qui correspond à D et toucheront s. On pourra donc mener par A m plans tangents à S.