THEORIE DES TRANSVERSALES. — APPLICATIONS

§ 287. — Nous avons vu, dans une leçoD pi'éeédente, ce qu'où devait enteudre par courbe ou sudace d'ordre m ou dedegrém. Je vuirf démontrer qu'une droite quelconque coupe toujours une telie courbe ou surface en m points réels ou imaginaires.

Nous admettrons, pour cela, la proposition suivante appelée Uièorèine de d'Alembert. Une équation algébrique entifiro de degré m (à une inconnue) possède m racines réelles ou imaginaires.

§ 288. — Celte proposition doit être complétée par la suivante qui se démontre à l'aide des propriétés relatives à la division dus polynômes. Si a bc, Isont les racines d'une équation algébrique F (j) — o, Le- polynôme F (z) est identique à un facteur coustant prùs, au produit des m binomea x —a, x— b, w —■ c... x -~ l.

Plusieurs des binômes peuvent ôtrc égaux entre eux. .\lors Ui racine cor res pendante doit compter pour plui

§ 289. — Les formules (") du § 108 donnent les coordonnées d'un point d'une itfoi te AB. On peut dire que les coordo.inées bomogènos de

En substituant ces valeurs dans l'équation de la surface (ou de la courbe) d'ordre m, préalablement mise sous forme iiomogène, comme

170 Ll!i;USS SUH LIîS MÉÏHODUS un lA GliO.MliTRlE MODER?(E

au g 13t, on trouve- uns (iquaLioii donnant les valeurs de >., pour IcsfluollBs le point consîdéi-é 6st sur la suriace (ou la courbe). Cette équation est de degi'é m, elle a m racines à chacune desquelles correspond un poÎQt ; il y a donc bien m points où la droite AB rencontre la surlace ou la courbe. Si quelques-uns de ces poiats sont coniondus, on dit que la droite louche la surkce (ou la courbe).

D'après la remarque laite ci-dessus, on peut (écrire, K étant un facteur constant :

fW = K (.E - a) {x~b) (V - (■)■■. i-c - 1}

lin effectuant le produit qui est dans le second membre, on voit que K est le coelTicient delà p!us bau te puissance de a^, tandis que le terme indépendant de j;estégal à K multiplié parle produit des i-acines toutes cliaugêcs de signe.

§ 290. — Soit V{x, y, s, t) — o l'équation homogène d'une surlaee d'ordre m (ou d'une courbe, en supprimant la variable z). D'après ce qui précÈde, pour obtenir les valeurs du rapport AM ; MB ^= À correspondant à un point M oii ia droil« Ai5 rencontre la surface (ou la courbe), il suffll de remplacer x ij s t par .r„ + '-^i î/o + ''■ f i -» + '^' 1 + À ce qui fournit l'équation :

(') F(Xo-[-),.r„ )/.+ )..,„ ;, -f ).E„ \+l)r^o

Le terme indépendant de :■. dans cette équalion s'obtient on faisant / ^=. o c'est F(î',, i>, ^0, 1) ou pour abréger F„ ; il serait nul si le point A était sur la surlace. Nous supposons qu'il n'en est pas ainsi. \ Si dans l'équation on changeaitÀen — on obtiendrait le niSme résultat qu'en échangeant les coordonnées de .A avec celles de B, carie

rapport AM : MB étant )., le rapport BM : MA est -r

Le terme de degré le plus élevé dans l'équation primitive, devenant celui de degré le moins élevé dans l'équation transformée, est r(.e,, y,, ï|, 1] ou pour abréger F,.

Si F, était n«l > deviendrait inlini puisque BM i MA serait nul. Ceci

îi;ONS SUR LES METHODES DK 1

montre que si lo tei-nie degré le plus élevé dans une équation devient aMliientellcniDnl nul, on doit euvisagei' l'équation comme ayant une

§291. — Désignons par p, pj... pn, les m racines de l'équation (') changées désigne, c'est-à-dire les m valeurs du rapport AM : BM, correspondant au cas où M est sur la surlace (ou la courbe). Enlin désignons par P le produit du toutes ces quantilcs. D'apràs le S 289 on aura : F,[^=^K„.

§ 292. — Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer et de démontrer !e théorème des transversales ou tliéorème de Carnot, dont un cas particulier a déjà été démontré au g 271.

Les valeurs p, p,... p. du paragraphe précédent seront appelées, pour abréger, valeurs correspondantes au segment AB.

Cela posé, considérons un polygone (pian dans le cas d'une courbe) et soient A lîG D... ses sommets. Le théorème do Carnot consiste en ceci que le produit de^ valeurs correi pondantes au\ différents côtés AB, te CD eto Oit é^dl i -|- 1

En tffet cBnMdorujù jai exenileuu luadiilit i appelons Fo F F, F3 les résultats obtenus en sulstituant dans le polynôme F les coordonn es le es quatio somn cts Api Ions P le pioduit des rapports qui coiiespondent i AB U II et & ceu" des lapportsqui corresponilent respectivement à BC, CD et DA, on aura :

En multipliant ces égalités membre à membre, cl suppriiniuil les facteurs communs, on a :

§ 293, - Apiiticatiom. — Nous avons vu au § 275, le cas où I surface S est un plan; dans ce cas le théorème admet une réciproqui

172 LEÇONS SUR LES MÉÏilODK^ DE L\ GKOMÉTIiliS

(|ue nous avons démontrée. Il en est de même dans le cas d'un triangle coupé par une droite. Dans ce cas simple o(i Jl n'y a qu'un point sur chaque cûté, le théorème est souvent appelé théorhne de Méné^

laiis.

§294. — Cas d'une conique et d'un triangle. — Soit un triangle jVBC, et une courbe du second ordre coupant BC en «(Ct k,, CAea p, et ^t, AB en y, et y,. 1' sera ici le produit des deux rapports Bk, i C «I et B «j : C!<s, Q sera le produit des deux rapports CS,: A,9, et C,5j : A, ^i- Enfin R sera le produit de Ay, ; By, par Ay^ : B-/,. On aura donc en écrivant que le [produit des niimi^rateurs égale celui des numérateurs :

(') IW, X B-/, XX,S, X C,^, X A7,X Ay. = ll«, X C-/^ X AS X ^P, X By, XBy,

fil six points sont tels que l'on ail cette éqaliti', iU anut sur une conique,

Par cinq de ces points, on peut iaire passer une conique; cette coninique coupera de nouveau le troisième côté en y', par exemple, d'après le théorème de Carnot l'égalité (') est vraie quand oo' remplace y, par y,. En divisant membre à membre l'égalité (') telle qu'elle est écrite par celle obtenue en remplaçant y, par y', on trouve que le rapport de Ay, à By, est égal <i celui de Ay'j ft By'„ ce qui prouve (§ 6) que y, et y, coïncident (as qu'il fallMtdiiuo.ttrer).

Il résulte aussi de là qu'une courbe du second ordre est déterminée par cinq points, car les points si «a pi Pi et y, étant donnés, en menant par y, une droite AB qui coupe jS, ^5i en A h, h, en B, l'égalité (') détermine yi-

Comme par ces cinq points on peut aussi faire passer une conique qui coïncidera alors avec la courbe du second ordre, on en conclut qaa toute conique est une courbe du second ordre.

ThéorLmë diî DESARauEs, — Considérons toutes les coniques passant par a, oa Pt ps, soient y, f 1 les deux points variables -oft elles coupent

tEÇONS SUR LES MliTIIODES DE LA GliOMÉTRlE MODEiiNE 173

la droite lise AB. Les seuls lacteurs variables dans (') seront ceux qui contiennent, '^, et -/j. On en, conclut que le quofient do Ay, X Ay, par By, X By, est constant. Or on a vu (§ 92) que c'est là nnc relation d'involution. On retrouve ainsi le tlicori>nie de iïesa/v/ues.

g 295. — Cas des courbes du troisième ordre ou cubiques. — Considérons «u triangle coupé par une courbe du troisième ordre. Ici il y aura trois points sur chaque côté, «, «i u^ sur BC, f-., % ,S;, sur GA, 7, y, y, sur AB. On aura donc l'égalité :

(=) B«, X BîT, X B/j X C.% X C% X f/sj X Ay, X Ay. X Ay, —

C«, X 0«, X ^-'-^ X A?, X BP, X k% X By, X By^ X By,

TnÉoniiME. — Si nw: (ies «ewf points comidécés soni sur une conique, les trois autres sont en tuine droite et réciproquement.

En effet, si les six premiers points sont sur une conique, on a l'égalité {') divisant membre à membre l'égalité (') el l'égalité {') on trouve :

(') B«, X es X Ay, --= ^"-1 X A,g, X By,

L'égalité (') exprime que les trois derniers points sont en ligne

Réciproquenient, les trois derniers points étant en ligne droite, on a l'égalité ('). Divisant {") par (') membre à membre on a l'égalilé ('), Les six premiers points sont donc bien sur une conique.

5 296. ~ Théouème Dii Pascal. — Le Ihéorènic de l'ascal est une conséquence de ce qui précède. Observons d'abord que trois droites ayant pour équations P=:0 Q^O B — constituent une cubique ayant pour équation PQR— 0.

Considérons l'hexagone ayant pour sommets a, "i ,?, fii y, ys se suivant dans l'orde indiqué. Numérotons les côtés dans le même ordre.

Soient ABC les sommets du triangle formé par les côtés de rMig

174 L1ÎÇ0N3 SUIl t.ES Ml'lTItODE? DU L* r.l']0\II! TRIE SlODlillXli:

impair. Les côtés de raog pair constitueront une cubicioe coupant les côlés du triangle ABC d'abord aux six sommets de l'hexagone, puis en six autres points, qui sont les points de rencontre des côtés opposési v.i, fh -h-

D'aprùs le tliéorome précodent, si les six sommets de l'iiexagone sont sur une conique, ces trois derniers points sont en ligne droite et r(Sciproquement. On a ainsi le tli(iorÈme de Pascal ot sa réciproque

%'2Sn . — A.utvt thiovh^iA vtlaXi^ aux ciihiqaen.— Considérons une droite coupant une cubique en trois points 12 3. Une seconde droite coupant cette courbe en 4 o 6. La droite 1, 4 coupe la courbe en un point 7, la droite 2, 5 la coupe en un point 8, et la droite 3, 6 en un point 9. Je dis que les points 7, 8, '.) sont en ligne droite.

Appliquons en effet le tliéorème du § 295 au triangle lormé par les trois droiles 1, 4, 7; 2, 5, 8; 3, G, 9. Les points I, 4, 2, 5, 3, étant sur une conique lormée de deux droites (1, 2, 3) et (4, 5, (!) les trois autres points 7,8,9 sont en ligne droite.

§298. — Ca.5 particulier.— Si 1 et i coïncident, ainsi que 2 et o, auquel cas G et 6 coïncident aussi, les droites 1, 4 ; 2, ;i ; 3, G sont des tangentes fi la cubique. On a alors cette proposition ;

Si trois points d'une cubique sont en ligne droite, les ianoentes en ces points remontrent de nouveau la courbe en trol^ points nitués en ligne droite. Cette seconde droite est souvent appelée droite satellile de la première.

g 399. — Si 1, ^, 7 coïncident, c'est que la droite 1, 4, 7 coupe la courbe en trois points confondus en un seul ; un tel point se nomme un point d'inflexion. Si 1, 4, 7 sont confondus ainsi que 2, u, 8 on voit que 3, 6, 9 le sont aussi. Donc : La droite joignant deux points i.l'injkxion d'une CfUi}iq^le passe par un troisième point d'inflexion..

VINGT! h:ME LEÇON