PRINCIPE DE CORRESPONDANCE

DES GUEIQUES PLANES

§ 300. — Le principe de corirspondunce di>. Charles consiste dans la proposilion suivante :

Si enlre deux sysLèmes de points sur une droite exisle une correspondance telle <[u'it un iioint de la droite considéré comme taisnnt partie du premier système correspondant m points du second système, et qu'à ua point de la droite considéré comme appartenant au second système correspondent p points du premier système, il y a sur la droite m + p points qui coïncident nvee leurs corresimndants.

Soient, en ellet, A et B deux points de ia droite, tels que ni l'un ni l'autre ne coïncident avec un de leurs correspondants. Soit M un point quelconque de la droite ; au lieu de le délinîr par sou abcisse, définissons-le par la valeur À du rapport AM : MB.

Entre les rapports Â, « de deux points correspondants M, P il y a d'après l'hypothèse une relation de degré m par rapport à /, et de degré p par rapport à À, puisqu'à une valeur de ) il correspond m valeurs pour ,«, et à une valeur de n, p valeurs pour 1.

Cette relation ne manque pas de terme constant, car s'il en était ainsi pour X ^^ 0, ou aurait y. ^ 0, et le point A coïnciderait avec un de ses correspondants, Si nous avions BM: MA — /', BP,- PA = ■/ nous aurions

Dans !a nouvelle relation en ''■' et u', il doit y avoir iiû tenue (.■onstant, sans ciuoi B coïnciderail avec un de ses correspondanls ; mais le terme constant de la nouvelle relation provient du terme en /■" tiP dans l'ancienne. L'ancienne relation doit donc contenir un terme de celte espèce. Pour trouver les points qui coïncident avec leurs correspondants, il faut îaire î := ;ii ce (jui donne une équation contenant comme terme de degré le plus élevé un terme en À™ P. ■ Il y a donc m-\-^ racines, v'est-à^dire m^'ppoints coïncidant avec leurs homologues.

Le Ihéorùme s'applique encore, si au lieu de poinls sur une droite, on considôre des droites (dans un plan) iiasaant par un point lixe (on des plans passant par unfe droite lise). Il suffit pour ramener ce cas au précédent, de couper par une droite ne passant pas par le point Qxe {ou par la droite lixe).

§ 301. — Voici' une application de ce tiiéorème: c'est la démonstration donnée par Cliasles du théorôaio dit de Bezout, relatiE aux courbes planes.

Deux courbes, l'une d'ordre m, t'aulre d'ordve p se coiipenf m mp points.

Prenons deux points A et B qui ne sont situés ni sur l'une, ni sur l'autre des deux courbes, par A menons une droite D qui coupe la première courbe en vi points, joignons chacun de ces m points au point B, cela fait m droites; une de ces droites coupe la première courbe en p points; on a donc en tout mp points; en les joignant à A, on obtient mp droites 4, On voit donc qu'à une droite D correspondent mp droites 4. Réciproquement, à chaque droite 4 correspondent mp droites D, comme on le voit, en coinmençanl le raisonnement par la seconde courbe. Donc il y a 2i}ijj droites D qui coïncident avec une de leurs correspondantes.

Or, une droite D peut coïncider avec 4 de deux laçons, scit parce que D et 4 passent par un point commun aux deux courbes, soit parce que U passe par B ; mais si passe par B, les mp droites 4 coïncident avec D, et cela fournit mp solutions pour l'équation donnant les

LlîÇOXS Sdlt LES MTÎTfEODES DK L.\ (iliOMiilRIii MODERXR 177

droites coïncidant avec leui's liomologiios ; il n'en reste donc que mp provenant des points communs anx deux courbes. (Il (aut avoir soin que AB ne passe par un de ces points sans quoi la délùoQstratioa lie serait pas neUe). Le théorème est ainsi démonti'é, et l'on voit que les abcisses (par Mxcmplii) de ces points, sont donnas par une équation de degré mp.

§ 3(H1. — Voici une proposition sans rapport avec ce qui précède, mais qui nous sera utile dans la suite. Une é{|uallon du second degré à doux variables peut s'écrire ;

(') Ax' + 2 Bxii + Gy'- + 'H)x + 1Ey + V t^O

On peut supposer que C n'est pas nul, car si C était nu!, l'équation n'Étantque du premier degré en y, une parallèle à OY ne couperait la courbe qu'en un point à distance finie; OY serait parallèle fi une asymptote ; on peut, par un choix convenable des axes, faire en sorte qu'il n'en soit pas ainsi.

Si l'on résout cette équation du second degré en y, on trouve pour la quantité sous le radical le polynôme.

n fB'-AC)3;'+ 2{BE-CD):n+E!- CF

On voit bien que pour qup- l'équation du deuxièvie deqrè proposée reprenante deux droites, il tant que la quantité ci-dessus soit un carré pariait alin qu'en extrayant la racine, on trouve pour y deux cxpressioDs du premier degré en x.

En écrivant que le polynôme ci-dessus est un carré parfait, et divisant par C qui, par hypothèse n'est pas nul, on trouve la relation ;