AE' + 2 BDE - CD' + F (B' - AC

Cequ'i) tant retenir, c'est que crtfd relation est du troUiéme degré par rapport attx œef^cientu .

Ll'lÇÛNS SL"U l.liS MlîïlIODliS DE LA GKOMETIllE ]M()r)l':i\Nli;

i des Cubiques planes

§ 303.'- Considérons une ociualion du troisième degni homogùno en 3! y !, son premier membre est une somme de termes de ia iormo A*")/'' ( '"'' e-^y étnnt trois entiers (pouvant être nuls) et dont la somme est ûgale à ('). D'apvos lu § 290, pour chercher l'intersection d'une droite Alt iivec la courbe, il faut remplacer ,v ij t par .r, + '■(■, 3/o+ "'î/i 1 + '■■ "'* obtiendra ainsi une iSquation en À que nous n'avons pas besoin de lorjncr. Il suffît de remarquer qu'en gardant les notations du § 290, ré([uation peut s'écrire.

/■„ c'est f (av /yj, /; c'est /' (r, y,) (§ 290) On voit sans peine que ;/„ est du pi'umier deiirc en .i\ y, et du serond en x, 1/j, comme l'équation ne change pas quand on remplace î. par son inverse en échangeant en mâme temps les coordonnées des points A et B, on voit que f/i se déduit de ';„ en remplaçant »„ y^ par œ, y, et inversement ; ij, est donc du premier degré par rapport aux coordonnées de A, et du second par rapport à celles de I!.

g 304, — Si Ion (ait tourner la droite Ali autour de A, et si l'on prend chaque fols sur cette droite le point B do la^on que (■/„ =: 0, le lieu de lî est une di-oile, car l'équation Qa '— ** est du premier degré par rapport aux coordonnées de I), C'est la droite poi'iire (.if A.

Si l'on lait tourner cette même droite autour de 15, en choisissant chaque fois le point A tel que ij^ = 0, le lieu de A est une coniqM; car l'équation (/, =^ est du second degré par rapport aux coordonnées de A ; c'est la conique jjolaire d& B.

L'équation ;/g ^= exprime donc à la (ois que la conique polaire de B contient A, ou que la droite polaire de A passe par B Donc si l'un de ces faits a lieu l'autre a lieu aussi.

La conique polaire de A se déduit de la conique polaire de B en

LKpSS S'Jli LliS .MliïHODliS 1)1'. L.V fiHOMEnUl! .MOUIt!\>ili ïTÔ

Échangeant )es cooi'doniiôes de A avec celles de I!, Son ôquation est donc ,0, ^ en supposant dans cette équation que x^ y, soient doa quantités fixes, x, y, étant les variables.

fj, étant ainsi considéré comme un polynôme aux vaiiablcs r, y, ses coellicients sont du piemier degré eu x^ y,, ou obtient donc la condiliou pour que la couique polaire A se réduise à deux di-oitcs en mettant dans la relation (') du § 302, la valeur qu'ont les coélHcients dans l'équation y, ^= 0. Mais ces coefficients étant du premier degré par rapport aux coordonnées de A, et la relation O étant du troisième degré, c'est l'équation d'une cubique quand on y considère les coordonnées de A comme variables. Donc le Heu du point A tel que m i-onique polaire se (Urompose en deux ijivites est une ciibiriiie. Celte cubique se nomme la Hessienite de la cubique proposée, du nom de IlftMC, son inventeur.

§ 305. ~ Supposons niiiintenanl que io point A soitsui la cubique, /iest'nul. L'équation (') débarrassée de la racine nulle n'e.st plus que du second degré.

L'équation y. ^^ exprime aloi's que l'équation ( ) a une autie racine nulle, c'est-à-dire que la droite AB loucbe la touibi en \ La coiirbo admet donc en A une tangente ayant pouj équation i/, ^ (j', y, étant les variables). Ainsi la tangente est la dioile polaire rî un point A de la courbe. 11 résulte alors do ce qui préi edc, que si la tangente en A passe par «n point B, la conique polaire de U passe par A . et inA'ersemenl . Les points (h contact des tanijmtes issuen d'un point B sont donc les su) points on k( conique polaire de B coupe la cubique. Il peut arriver que y, soit identiquement nul, c'est-iVdire que le eoeffieienl d'ic, celui d'y, et lo terme indépendant soient nuls. Alors toute droite passant par A coupe la courbe en deux points confondus avec A, on dit que A est un point double.

Ily a des cubiques qui n'ont aucun point double, on peut en donner des exemples. Dans ce qui suit, je suppose que A n'est pas un point double.

A étant toujours sur la courbe, l'équation iJi := e.'iprime que la

180 LK^lONS son LFÎS MEÏHODra DE LA GEOMICTRIE MODEUSE

somme des deux racines non iiullca de l'équation d) est égale à zéro Oi- si on nomme M et P les deux points autres que A oft AB coupe 1 cuhique, les racines considérées sont les rapoorts AM : MB et AP : PB' Les points M et P seront donc dans ce cits conjugués de A et B. Ainsi si la droite AB tourne autour de A, et si le point B est choisi de façon que A et B soient conjugués par rapport aux points ou AB coupe la cuinfjue, le lieu de B est la conique polaire de A.

Cette conique touelie la cubique en A. Eu effet, si parmi les sécantes passant par A nous considérons celle qui touclie la cubique en A et la

coupe de nouveau en M, le conjugué de A par rapport à A et M étant

A lui-même, la droite AM ne rencontre la conique polaire qu'en A,

c'est donc une tangente à cette courbe.

Il y aurait exception, si M coïncidait avec A. Dans ce cas, et ((««s

cehi'-ci seulement,. tout point B de !a tangente est conjugue de A par

rapport à A et A, La conique polaire se décompose alors dans la.lan-

gcnte et une autre droite.

La tangente en A coupant la courbe en trois points confondus, le

point A est un point d'iiiQexion.

§ 306. — Si la conique polaire de A se décompose en deux droites, le point. A (!,ii oudouble ou d'infUmon Si An'est pas double, le lieu du conjugua de A ne saurait Être une droite passant par A (car les points M et P sont distincts de A). Si donc le lieu se décompose, il y a deux droites dont l'une ne passe pas par A, et comme la conique polaire touche toujours la courbe en A, l'une de ces droites est la tangente en A. On est donc dans le cas examiné ci dessus.

Il résulte de là que les points d'intlexion sont les points oii la liessienne coupe la courbe. Si donc la courbe n'a pas de points doubles, il y a 3 X 3 ou neuf points d'inflexion. .

Il résulte du § 299 que ces points sont 3 à 3 en ligne droite,

S 307. — TniïoRÈ.Mii. — Tmtle cubique qui po-tse par les neuf points d'inflexion d'une cubique, adjnet aussi ces points pour points d'inflexio^i. Soit en cflet A un de ces points, B, C, D trois autres, les droi-

LEÇONS SUii UZS MKTHOOKS Dl! L.i filiOMKTRIK MOOERNE 18 I

f.es AB AC AD sont supposées distinctes ; ollcs coupent dn nouveau la courbe en E t' G, qui sont trois pointa d'inflexion. La coni([ue polaire de A se décompose, donc les conjugué.'^ P Q 11 de A par rapport à BE, CF, DG, sont en ligne droite ; mais PQ R appartiennent aussi à la coconique polaire de A par rapport aune socondu cubique passant par les neuf points d'inflexion. Cette seconde coniiiue polaire ayant trois points P QR en ligne droite, se décompose aussi, donc A est un point d'inflexion pour la deuxième cubique.

§ 308. — Manière dont sont groupés les nisuf roixis i>'ini.'lexion-. — H est facile de ^oii que pir chaque point \ passent quatre droites contenant clidciinc 1p i\ points d inflexion On peut former quatre trimKjtis contenant chacun les neuÉ points d inflexion, H sur cbaquo côté. Soient i 2 ^ 4 b 6 7 b 9 les 9 points désignés chacun par un numéro On pput supposeï que ces tiiangles sontlcs suivants :

I i luan-lo tel

§ 309, — Théorème. —Sur (es neufftoinljid'infiii.ciûa.U <jenii toujours trois réels, et trois seulement. (On suppose que l'équation de (arabiqvs à ses coefficients réels.)

l' Il n'y a pas moins de trois points réels. Si un point est d'infle.tîon et s'il est imaginaire, son conjugué est aussi d'inflexion. On peut donc trouver trois couples de points d'inflexion tels que deux points d'un couple soient ou réels ou conjugués. La droite qui joint deux points d'un même couple est réelle ; elle rencontre la cubique en un troisième point qui est d'inflexion, et qui est aussi réel sans quoi elle rencontre- . rait la courbe en un quatrième point conjugué de celui-ci. 11 y a donc trois points d'inflexion réels au moins, un sur chacune de ces droites,

182 LEÇONS SL'R LCH JiKTHOtJES I3K ].-V GlîOMÉïRIiC MODIÎllNK

et il y a un triangle inflexioiinel rûcl. (Il est facile de voir qu'un i»int d'inflexion ne peut pas ôti-e nii sommet de triangle' itiilexiounel.)

g 310. — 2" /; n'ii n pits î)h!.s de Irrih points i-èeU. Soit AUC le triangle inflcxîonnel riSeJ, a, c, a,, ies points d'inilexion situés sur iiC, l'i, jî, ^,, ceux situés suf CA, '/, y, y,, cenx situés sur AB. Pour abréger, désignons par p, q, i',... los rapports B«, : Ca,, G5, : AS,, A7, : B-/,... ele-

On peut supposer que v.^ est en ligne droite avec ,'3| y^, avec .^j y,, et avec .'^i'/,- On a alors d'après le tiiéorèmc de Carnot :

P, '7i '■, — 1 ■ )h <]i '■. ~ ^ Ih ^< ''i = 1 et aussi !'i)'»Pi <i\(h^\ '1 ''s'':! ^= 1

Multiplions les trois premières égalités membre à membre, et divisons par la troisième, on aura en nomment P lo produit p, p^w

P est réel, c'est le produit des racines d'une équation du troisième degré.

Cette éfjualion ne donne pourp, qu'une seule valeur réelle, et commo elle fournit aussi p. et Pj, j'i et p, sont imaginaires. 11 y a donc un seul point réel sur cbaque côté du triangle considéi é.

§ 311. — On voit par ce qui précède, eomment on trouve Icsiwints d'inflexion quand on a un des triangles inllexionnels. La recherche d'un pareil triangle peut s'eflectuer comme il suit.

Soit F :^ l'équation de la cubique, H ^^ celle de sa hessicune. La cubique * F + H := passe par les neut points d'inflexion . VMa les admet donc pour points d'inflexion (§307), En détcrniinaut /. do façon que cette cubique coïncide avec sa liessienne, Ions les points de celte courbe seront d'inflexion,etelk'sereduiraaux trois côtés d'un triangle inflexionnel. On trouvera donc une équation en î du quatrième degré, dont les quatre racines (ourniront les quatre triangles.

vingt-i:meme lkçox