INTERSECTION DE DEUX SURFACES DU SECOND ORDRE

§ 311. — Une ivurbi' d'ordre m clans l'uspacc, est une conrbc qu'un plan ((uelconquc coupe en m points. L'intersection de deux sut'tacea du deuxième ordre est donc une courbe d'ordre 4 car un plan tiueiconque coupe les deux surfaces suivant deux conirines qui se coupent en quatre points.

Il est clair qu'en un point communaux doux surfaces, les plans tangents aux dites surlaces, s'ils ne coioeidcnt pas, se coupent suivant une droite qui est la lannente à la courbe d'intersection en ce point,

Je supposerai d'abord que la courbe d'intersection ne soit pas l'en- Bcmbie d'autres courbes d'ordre moindre, ot de plus que les deux surfaces ne soient tangentes entre elles en aucun poinl.

■^ 312. — Tuv;(ffli;\ir.. — Si d'un point quelconque île l'espace comme somuict do projccUon, ou projette la courbe sur un plan, on obtient une courbe du quatrième ordreaj-antdcd.i; pouiU (ÎO'tdte réels ou imaginaires.

Soit S. le sommet et P le plan de projection. Un plan passailt par S coupe la courbe suivant quatre poiats et par conséquent le c6ne projetant la courbe suivant quatre génératrices, ces quatre droites rencontrent P en quatre points situés a l'inlerseclion de la droite trace du plan considéré sur le plan P, avec la projection de la courbe ; celte droite et celte courbe projections se coupant en quatre point-s, la courbe est du quatrième ordre.

Considérons maintenant la droite I) (rintorseclion des plans polaire^

18i LKgONfi SUli LES MÉTHODES DE I..V GÉOMÉïlllE MODEIt^^E

dfiS par rapport aux dsuï sui-îacas. La projection de cette droite sur le pl<iQ P estuae droite A. Je dis que tout point double de ta courbe projection de la proposée est situé sur i. Ea eflet, soit M un tel point, étant double il est la projection de deux points distincts de la courbe de l'espace. Soient P et Q ces deux poinis, L Je conjugué de S par rapport à P cl Q, Lest à la lois dans les deux plans polaires do S par rapport aux deux surlaces puisque P et Q appartiennent aux deux surfaces. L est donc sur D, et comme il se projcite en M, M est

Rèdproquement, si M est à la lois sur la courbo projection et sur A c'est un point double de cette courbe, lin effet, puisque M est un point de la courbe projection, c'est la projection d'un ccvlaiu point P de la courbe commune ans doux aurf'ices. Puisque M est sur A c'est la projection d'un point L située sur D, c'est-à-dire dans cbacun des deux plans polaires de S par rapport aux deux surfaces.

Soient Q, et Qj les deux points où la droite SM qui contient déjù le point P et le point L rencontre de nouveau les deux surfaces. Le conjugué barmonique de -P par rapport à S et L doit être Q, parce que L est dans le plan polaire do S par rapport à la première surface, il doit être Q5, L étant aussi dans le second plan polaire. DoncQ, et Q, coïncident; donc SP rencontre de nouveau les deux surfaces au môme point Q. M est la projeclionde deux points P et Q sur les deux surfaces; c'est un point douljle de la projeclion.

La droite i doit rencontrer cette projection en quatre poinis, mais ces points devant être doubles, il n'y en a que deux distincts, la proposition se trouve donc démontrée.

§313.— Démarque. Lv plan SA ceupe les doux surlaces suivant deux coniques, et S a môme |iolaire I) par rapport à ces deux courbes la construction des points doubles équivaut à celle des deux cordes communes.â ces coniques passant par S, elle se fait comme on l'a vu au

THiioRKME. — Si le sommet S de projeclion est sur la courl)e, lu

LEÇONS SUR LES MÉTHODES DE LA. GÉOMÉTRIE MODERNIj; 18o

jection de cette courbe c'est plus que du troisième ordre, uiais elle n'a pas de points doubles.

En eflet, le plan passant par S coupe alors la c ourbe en trois points seulemeut en dehors de S ; sa projection sur le plan 1' ne coupe donc la projectioa qu'en trois points.

Ici les deux plans polaires deS passent par S, la droiteD passe par S, la droite A se réduit à im point, ce point est bien sur la eourho projection, mais c'est un point simple, c'est le point où la tangente en S à la courbe coupe le plan P.

^314. ^THÉoaii.ME. — Par un point quelconque S pris sur la courbe, on peut mener quatre plans qui passent à la fois par la tangente à la courbe en S, et par une autre tangente en autre point M. (J'appellerai ces plans des flans bitanijents.)

Pour le démontrer, je projette cette courbe du point S suivant une cubique plane, comme dans !e théorème précédent, et j'appelle ï le point où la tangente, en S rencontre le plan P de pi'ojection ; les plans passant par ST et touchant encore la courbe ailleurs, couperont le plan P suivant une droite passant par T, et touchant la courbe projection.

Réciproquement, il est clair qu'à une droite passant par T et touchant la cubique projçction, correspondra un plan bitangent.

Or la conique polaire de T par rapporta cette cubique, étant tangente en T, coupe de nouveau la cubique en2X3 — 2 ou quatre points, ou a vu au (§ 303) que les droites joignant T a ces quatre points sont tangentes à la cubique ; les quatre plans menés par ST et ces quatre points sont doui; bien bitangents.

§ 315. — TaiioRiiME. — Sur une droite joignant les poîats de contact d'un plan bitangent il existe on point et un seul ayant même plan, polaire par rapport aux deus surlaces, le cône ayant pour sommet ce |)oinl et contenant la courbe d'intersection, est du second ordre.

Soient S et M les deux points de contact d'un plan bitangent, les angeutes en S et M se coupent en un point T, puisqu'elles sont dans ce

18(i Li;çoNS suii liîsmétjtodfs dk l,\ r.i';o\ri';TRiv: jroDERNP

plan. Si donc on coupe los deux surfaces par le plan SMÏ, on aura dBux coniques F, F, bitangentea en M et S, les tangentes en ces points étant MT et ST, Tout point T do SM a pour polaire par rapport ùTctr,, la droite passant par le conjuKuii harnionif(ue de P par rapport ci M ot S, et par lepoiut T.

Considérons un autre plan passant par SM, II coupe les deux surfaces suivant deux coniques C et C, dont SM est une corde commune, SM passe donc par l'un des points qui ont m6me polaire par rapport à C et à C|, soit P ce point (§ 224). Dès lors le point P a même plan polaire par rapport aux deux suHaces, le plan de sa polaire par rapport à r et r, et de sa polaire par rapport à C"et C,. C'est d'ailleurs le seul sur SM possédant cette propriété, car tout point de SM qui la possède, doit avoir mùmo polaire par rapport A C et C,.

I5 316. — 1.0 eone de sommet P ajaut pour directrice la courhe n'est que du second ordre, l'In elle t, soîtPQ une géncratrieedcccconeoblenuo en joignant P à un point Q de la eourbp, soit L le point. 0(1 PQ coupe le plan polaire, le point Q conjugué de R par rapport à P et L appar- . tiendra aussi aux deux surfaces, c'est-à-dire h la courLe. Dès lors un plan passant par P coupera la courbe en quatre points deux à doux en ligne droite avec P, Il ne coupera donc le ci'jne que suivant deux giinèratrices.

On voit facilement que si un cône passant par l'intersoclion est du second ordre, c'est qu'un plan passant par son sommet no le coupe que suivant deux génératrices. Il y a, par suite, deux points du conc sur chacune d'elles, et le sommet du cono a niûme plan polaire par rapport aux tleux surfaces.

§ 317. — ConUldin'. Comme il passe par un |)i)iut doniié'Jo la courbe quatre plans bilangents, il j aura <i<iiilre poinls [lyaiiL même plan polaire par rapport aux deux surfaces.

li 31s. — TuiioRKAEE. — Il y a quatre points ayant uiÈuie plan poliiiie par rapport aux deux surfaces, ils forment un tétraèdre dont

LEi;ONS SUll LUS MKniOni'lS Dli LA GIÎOMli'frîTR MODE[t>{F. 1^7

chaque face est le plan polaire du sommet 0|)posé (THruHn mnjuijué).-

Soit A l'un dos points ayant même plan polaire par rapport aux deux surfaces (Ce qui préetidc prouve son existence). Son plan polaire P coupB les deux surfacoB suivant deux coniques C, C, soit A, AjA., le triangle conjugué commun à ces deux (,oniqueb Letctn ilreAA|A,Ai possède la propriété énoncée. Kn f ftet le pliii pol iirf, do A, passe d'abord par la polaire Aj A, de A jl pa^sc de plus, par \ puisque le plan polaire de A passe par A, i est donc le | \m \A, A„ Même démonstration pour chaque soramcl

Corolkiiee. H'ar l'interseotion de deux surfaces du secoud ordre, on peut faire passer quatre ci'mes du second ordre et pas davantage.

(Il est bien entendu que je iVcxaraine pas ici le cas n(i rinterscclion se compose de plusieurs lignes d'ordre infériour à quatre).

§ 319. — Les tliÉorèmes précédents, transtoriiiés par polaires réciproques, donnent des résulfats intéressants. Les plans polaires des diUéreuts points d'une courbe enveloppent, comme on l'a vu (§281) une développable ; si ia courbe est plane, la développable est un cône, inversement, aux plans tangents à un c6ue correspond uno courbe plane.

Nous avons vu au [% 281) que la polaire réciproque d'une surface du second ordre est aussi du second ordre.

On a, dès lors, la proposition suivante, dont je.n'éerisque l'énoncé.

§ 320. — Les plans tangents communs à doux surfaces du second ordro sont tangents (c'est-à-diro passent les tangentes) à quatre coniques planes, les plans do ces courbes ont même pèle par rapport aux deux surfaces. Il en résulte que ces plans sont les faces du télraèdre AA| A; Aj doni il est question ati paragi'aplie prérédon!.

î SUR LES METHODES DE L4 GEOMETRIE MOUIÎRNI!

Cas particuliers de l'intersection

§ 321 , — 1° Cas particulkr . — Les deux surfaces sont tangontos en uu point. Eilcs n'ont pas de droite commune.

ïuiioRÈME. — Le cûne ayant pour sommet le point de contact des deux sui'iaces (^ passant par l'intersection, est du second ordre.

Soit S ce point de contact, menons par S un plan ([uelcomiue, il coupe les deux surfaces suivant denx coniques tangentes en S, et par suite se coupant seulement en deux autres points P et Q. Ce cùne n'a doiic que deux génératrices SP SQ dans cliai^ue pian passant par S, ce qui démontre la proposition.

Corollaire. — La courbe d'intersoctiou présente un point double en S les deux tangentes étant l'intersection du cône ci-dessus avec le plan tanj^ent en S aux deux surfaces.

On peut remarquer que le point S a ici miime plan polaire par rapport aux deus surfaces (à savoir Ift plan tangent c

§322. — Z' Cas particulier. — Les surfaces se touchent en deux points (qui peuvent être réels ou imaginaires conjugués). Soient P et ■Q ces deux points, M un troisième point de l'intersection. Le plan M P Q coupe les deux surfaces suivant deux coniques tangentes entre elles en P et Q, et passant en outre par M. Ces deux coniques coïncident doQiî et cette conique unique lait dès lors partie de l'intersection. Comme l'intersection doit Être du quatrième degré, un plan doit le couper en quatre points. Si eiio se compose d'une conique unique, c'est que ces quatre points seront toujours conlondus deux à deux, ou qu'un plan coupera les deux surfaces suivant deux coniques bitangontes. Cela exige que les deux surfaces se touchent eu tous les points de la conique d'iotersection, on dit alors qu'elles sont circonscrites , Si nous écSrtons ce cas, nous voyons qu'il y a des pointa d'intersection On dehors de la conique considérée). Soit N un de ces points, le plan

LEÇONS SOR les MKTHODËS Dlî LiiOKÛMÉrRIE MODEHNIÎ J 89

Nï'Q coupera Ips deux surfaces suivant une même conique, comme on le voit par un raisonnement identique au précédent ; l'intersection se composera donc de deux coniques.

A M cas se rattache le théorème suivant: Si devx surlacen du second ordre ont une conique commune, elles en ont une seconde et sont bitangentes (à moins qu'elles ne soient circonscrites).

Enelîet, si elles ne sont pas circonscrites, elles ont des points communs e.n dehors de cette conique. (Dans un plan quelconque elles en ont deux). SoientM M, Mj trois de ces points, le plan MM, M, coupe le plan de !a conique donnée suivant une droite qui coupe cette conique en deux points P et Q (réels ou imaginaires). Le plan MM, Mj coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont cinq points communs MM, M, PQ et qui, par suite, coïncident. Cela fait donc deux coniques communes. En P les deux surlaces ont toutes deux pour plan tangent le plan des tangentes aux deux coniques, de même en Q, les surïacea sont donc bitangentes en ces points.

Les deux coniques considérées sont deux coniques qui se coupent en P et Q. Je vais montrer que par ces deux coniques, il passe deux cônes du second ordre. La démonstration est la même au fond que celles que nous avons faites ci-dessus pour les quatre cônes. On voit ici que par une tangente en un point M de l'une des coniques, on ne peut mener quedeux plans tangents à l'autre en M' et M" et sur chacune des droites MM' MM" on trouvera un point et un seul ayant même plan polaire par rapport aux, deux surfaces.

g 323. 3" Cas particulier. — Les deux surfaces se touchent en trois points PQR, mais le plan PQH n'est tangent à aucune des deux surfaces.

On démontre, comme dans le cas précédent, que le plan PQR coupe ces deux surfaces suivant nue même conique. D'ailleurs te point où se coupent les plans tangents communs en PQR, est unique. Car les tangentes en PQR à la conique dans ce plan, forment nécessairement un triangle, cette conique ne se réduisant pas à deux droites puisque le plan n'est pas tangent. Ces, plans ce coupent en un point qui est le

■illO

piilede PQR par rapport aux deux surlaces. Dûs lors les cônes circonscrits aux deux surfaces suivant la conique commune sont les mômes, puisqu'ils ont môme sommet (le pôle do PQR) ut une conique commune ; les deux surfaces étant circonscrites à un môme cône le long d'uno même conique sont circonscrites l'une à l'autre. Klles se tonciient tout le long de la conique et n'ont pas d'autre point d'intersection.

4" t'(!.i purtkuliey. ~ Les deux surlaces ont une droite commune D. Ce cas est très intéressant. Le reste de l'intersoclion est ime courbe coupée on trois points seulement, par un plan quelconque, on l'appelle une cubique g^iuclie. L'étudo de ces courbes fera l'objet d'une leçon spéciale. Démontrons seulement ici que la courbe rencontre IJ en doux points o(i les surfaces ont mèmepfan tangent.

Un plan passant par D coupe la première surface suivant une droite A rencontrant U en A ; la seconde suivant une droite \, rencontrant D en A,, En outre 4 et i,, se coupent en M qui est un point do la cubique. Pour que M vienne sur D, il faut que A et A,, coïncident. Or, le rapport anbarmoniquo do quatre points A. et celui des -quatre pointa A, -sont égaux entre eux comme égaux tous deux à celui des quatre plans AMA, tangents en A ù la première surface et on A, à la seconde. A et A, forment donc deux divisions bomograpbiqucs, dont les deux points doubles réels ou imaginaires sont deux points répondant à la question.

En ces points !* et Q les deux surfaces ont môme plan tangent puisque ces points sont précisément déterminés par la condition que les deux points de contact d'un plan tangent coïncident.

§ 324. — 3" Cas pai-ticitUei-. ~ Les surfaces ont en cominun deux génératrices de môme système 1> et D, .

L'intei-ECClion est alors un quadrilatère gauclio connue on la vu déjà au § 279. On peut encore le démontrer comme il suit; par la droite D commune aux deux surfaces, faisons passer un plan qui coupe la droite D, en M. Ce plan toucbela promièfe surface eu A, la seconde en A) ; A et A, forment deux divisions bomograpbiqnos comme au paragraphe précédent. Soient P et Q les deux points doubles, R et S

LEÇONS SUR LKS MÉTfiOiJLii HT. L.V G]':OML!ïiaK MOIlKliNli \i)\

les positions cori-espoiidaiUes de M. PU par eseiuplu esta ]a k.is suc les deux sudaces, puisque les droites AM A, M situées cliacunc sur une des surfaces coïncidenl quand A et A, viennent eu P. Mùme damons t ration pour QH. On voit ici que les surfaces se toucbent en quatre points.

Il est bien entendu que I' l't Q peineiU être réels du iniagijKiires, disliucta ou eoiilondus,

Lo cas- particulier oîi les dfux surfaces auraient en eoaunun deux géuératrices de système dilîôreul, n'est autre que celui où elles ont une conique couimune.

§ 325, - Tit.iouihii;. -- Si deux surfaces du second ordri; seul circonscrites à une même troisième, elles sont bitangentes, et par suite se coupout suivant deux courbes planes.

lin ellet, soient S et S, deux surlaces circonscrites à une troisième :; le long de deux courbes planes G et G,, soit D la droite d'intersection des plans contenant C et G,, 1' et Q les points où elle coupe ï. Ces points sont aussi sur Cet G,. Eu ces poinis, les plans tangents à S et S, sont les mêmes qu'à 2. et par suite, les deux surfaces S et S, sont bitangentes en ces points; elles se coupent donc suivant deux courbes planes F et T, .

Ririp oquement m icux suifaces s cjuieut suivant doux courbes planes leurs pohires lecipio ] i d su nt cucou'ic lies aux deux cônes polauLS iLCipio [ato do e^) dcu\ (.ouiljcs Gf leux nouvelles surlaces (tant circonsciitcs a 1 u\ c6nos sl coupoiont suivant deux courbes ptinea pai lousequeni les deux surfaces piimitives seront circons- '•rites dux deuxcjnes poluiLs lecipi jques des leux nouvelles courbes planes de sorte que deux =iuifucs jui recoupent suivant deux courbes planes sont circonscrites à deux cônes du second ordre.

S 326. — Soit !'■ ™ l'équation d'une surface du deuxième ordre, P := Q = les équations de deux plans ; l'êquatiou v F -j- l'Q — représente une surlace passant par Ions les points oJ!i la surface V ^^

192 ÉTUDE SUIi LES METHOIJËS DE LA fiÉOMKTnir: HO»i:RT)lî

est coupée par les deux plans. Ou peut d'ailleurs déterminer), deiaçon qu'elle passe par un autre point quelconque. En faisant coïncider les deux plans, on verra que /F 4- P' ^^ est l'équatioo d'une surface circonscrite à F :^ tout le long de son intersection avec P ;= 0.

Soient ).F + P* ^ ^uF + Q' ;^ deux pareilles surfaces ; la surface ayant pour équation ,w(ÀF + P') — >.(« F -)- Q') ^ passe par leur intersection . Cette surface se réduit à 2 plans p/u ± Q (/), ^ ou en posant 1/-^ ^ «, P ± « Q ~ 0.

Ceci démontre d'une autre façon que les surfaces circonscrites à une troisième se coupent suivant deux courbes planes, en outre le rapport anharraoniqiie des qualres plans P:=0 Q— P-[-«Q— P~«Q;^0 est — -"■ ov: — 1. Ainsi les plans des deux courbes planes forment avec les deux plans des courbes do contact un faisceau liarmonique