SURFACES HOMOFOCALES

g 327. — î. Si deux surfaces du second ordre ue sout pas circonscrites tout le long d'une même courbe, de telle sorte (ju'un plan fes coupe en général eu quatre points distincts, par leur courbe d'intersection et un autre point P, on peut faire passer une surface du second ordre et une seule.

Soient en ellet F ^ ^ — les équations des deux surlaces, ï„ y, s" les coordonnées du point P qui n'est pas supposé sur l'intersection, Fo et o)„ ce que deviennent F el f quand on remplace a; y s parles coordonnées du point P.

L'équationFof ~yoF— représente une surlace du second ordre. Pour tout point commun aux deux surfaces F ;^ » = 0, cette équation est satisfaite, car F et y sont nuls ; pour x-=x^ y^^Vt ' ^^ ^o cette équation est encore satisfaite car elle donne l'identité F, ï„ — }-„ 1^, h:^ , Elle représente donc bien une surface passant par l'intersection des deux surfaces données et par le point P.

Pour démontrer qu'il n'y en a qu'une seule, je vais démontrer que s'il y en avait deux M et M,, tous leurs points seraient communs. En effet, soit A un point de M. Un plan passant par A el P couperait M suivant une conique C et M, suivant une conique C,, C et C, ont cinq points communs, le point P et les quatre points où le plan considéré rencontre l'intersection des deux surfaces. Elles coïncident donc, et A qui est sur C est aussi sur C,. Ce qui démontre la proposition. Toutes les surfaces passant par la courbe d'intersection de F = 'j- = sont dites former un faisceau.

194 LEÇONS SUR LES MKTHOrjES DE LA GÉOMÉTRIE MODEnKE

Nous savons déjà que dans uo faisceau il y a quatre cônes (§ 318), les sommets de ces quatre cônes {ormeut (§317) un tétraèdre conjugué par rapport à toutes les surfaces du faisceau.

Pour distinguer ces faisceaux do surfaces d'un avitie genre do faisceau dont nous nous occuperons bientôt, nous nommerons ceux dont noLi-s nous ociiponf actuellement fauceaur ponrtwh

!; 328 — II Ll d \ points M et \1 ou deux s il cas I ou il sceau lencontiant une droite quelconque sonl deux points Cfiiespond<inlidedeu\ dnibionsen iinolution

En effet menons pu h droite un plaa il coupe clniue suitict du faisceau uumnt une conique pissant pai les quatri, points oft il rencontie la courbe commune a toutes les suifaces du faisceau cette conique lencontie la dioito tu\ deux pomts M et \I qui sont iinsi, dapiea Je théoume de Desaigies dou\ points coi i esp m lants d une miolulion

Corollaire.— Parmi les surfaces du faisceau, il y en a deux qui louchent une droite donnée. Ce sont celles qui passent par les points doubles de rinvolution.

S 329. — III. Parmi toutes les siir(acos d'au faisceau, il y en a trois qui touclient un plan donné P. Les points de contact sont les sommets du triangle conjugué commun à toutes les coniques suivant lesquelles le faisceau coupe le plan P.

Le plan P coupe le faisceau suivant des coniques passant par les quatre points d'intersection de P avec la courbe commune à toutes les surfaces du faisceau. Inversement, parTunequelconqueCdes coniques passant par ces quatre points, on peut faire passer une surface du faisceau et une seule. Car il suffit, pour qu'une surface du faisceau contienne C, qu'elle en contienne un cinquième point.

Or parmi les coniques passant par quatre points ABCD, il y a les systèmes de droites (AB, CD) (AC, BD) (AD, BC). Les surfaces du faisceau qui passent par ces systèmes, touchent le plan P. l..es points de contact de ces trois surlaces avec P sont les points de rencontre de

LEÇONS SOR LES METHODES DE LA GKOMÉTIilE MOIJERKK IDÎi

AB, CD, de AC, BD, de AD, BO qui sonL (§ 224), les sommets du ti'iaDgle conjugué commun à toutes les coniques passant par les quatre points. La propositions est donc démontrée.

g 330. — Les plans polaires d'un point A par rapport à toutes les surlaces d'un faisceau, passent par une droite fixe A. En efiet, considérons les plans polaires du point A par rapport à deux surfaces S et S' du faisceau. lia se coupent suivant une dioite i. Coupous par le plan (A, 4) on aura dans les deux surfaces deux coniques C et C, A aura pour polaue À par rapport à ces deux coniques. Ce sera donc l'un des trois points ABC ayant même polaire par rapporta toutes les coniques passant par les quatre points communs à C et G', {les autres points B et G sont suri). Soit une troisième surface S" du faisceau, coupée suivant une conique C" par le plan A i, la polaire de A par rapport à G" sera encore 4, et par suite le plan polaire de A par rapport à S" passera par i .

On voit aussi (jue le plan AA est tangent en A à celle dos surfaces du laisceau qui passe par A.

S 331 . — Nous allons tranformcr par jwlaires réciproques les c|uatro propositions précédentes.

A toutes les surfaces d'un faisceau ponctuel, passant par tous les points communs à deux surfaces S et S', correspondent les surfaces d'un faisceau dit ianj/mtief; surfaces tangentes à tous les plans tangents communs aux deux surfaces 2 2' polaires réciproques de S et de S'. Los propositions corrélatives des quatre précédentes, s'appliqueront ans surfaces d'un faisceau tangentiel.

i° Parmi les surfaces d'un faisceau tangentiel, il y en a une et une seule qui touche un plan donné.

2° Les deux plans M et H' menés par une droite donnée à une surlace d'un iaisceau tangentiel, sont deux plans correspondants d'une invoiution. Parmi les suriaces il y en a deux toucliant la droite donnée.

3' Parmi les surfaces d'un faisceau tangentiel, il y on a trois qui

196 LEÇONS SL'R LES MÉTHODKS DK IA GKOAIKTRDÎ MODERNE

t par un point donné. Les plans tangents en ce point iorment ua trièdre conjugué par rapport à tous les cônes ayant pour sommet ee point et circonscrits aux dilîérentes surfaces du laisceao.

4° Les pôles d'un pian fixe A par rapport à toutes les siiriaces d'un faisceau tangentiel sont sur une droite fixe i. i rencontre A en un point, l'une des surlaces touche A en ce point.

5' Cette proposition : « Par l'interBection de deux surfaces du second ordre passent quatre cônes. Sur chaque génératrice il y a deux points de l'intersection. Ces quatre cônes du second ordre ont pour sommets quatre points formant un tétraèdre conjugué par rapport à toutes les surfaces du faisceau, ponctuel. Trois arêtes de ce tétraèdre, concourantes en un point A forment un trièdre conjugue pai npportà celui des cônes dont le sommet est A » donne la sui^ mte \ ii pul ures réciproques.

« Les plans tangents communs à deux surfaces do seconi in die touchent quatre conJques. Par chaque tangente à l'une des coni ju s passMit deux plans tangents communs. Ces quatres coniques sont ians les quatre faces d'un tétraèdre conjugué par rapport a tontes les sutfaces du faisceau tangentiel. Trois côtés de ce tètraedie fituee'i dins uiie lace A forment un triangle conjugué par rapport à celle des coniques situées dans la face A ».

Focales, — Surfaces homofocales

!; 332. — Etant donnée une surface du second ordre S, on peut considérer le lai'^ceau tangentiel formé des surface tangentes à tous les plans tangents communs a set au cercle delinhui Les surfaces de ce faisceau sont dites homo/'ocofes a s Vojons ce que deMennent dans ce cas les pi ope SI t ions des païa^raphes pitcedents

1' Parmi toutes Ils surfaces d un faisceau de suifieis h imotonles il y en a une s ule touchant un plan donné

2' Les plans menis pu une diuito donn e tan.,enK i une des surfaces du faisceau sont dcuY plans correspondants dune in\olution.

LEÇONS SUR LES MÉTHODES DE l.\ GKOMÉïRlE MODERNE 197

Comme parmi ces plans il y a les deux plans tangents au cercle de l'infini menés par la droite (Piam isotropes), oa en conclut que les plans doubles dw faisceau, conju^^ués par rapport £t ces plans, sont rectangulaires. Ce3 plans doubles sont les plans tangents au\ deu\ &ui laces du faisceau qui touchent la droite. Atnsi le» deui suriaces du fdis ceaii qui touchent une droite donnée ont leuis plans tangents aux points où elles touchent la droite lectan^ulaire On conclut aussi de ce qui précède, que les deux points de tontact sont toujoms ri^els En effet, sans cela les plans tangents seraient imaginaires conjugues, et deux plans imaginaires conjugués ne sauraient être rectangulaires. 3" Parmi les surfaces hpmolocales, il y en a trois qui passent par un point donné A. Leurs plans tangents en ce point sont conjugués par rapport à tous les cflnes dont le sommet est en ce point, et circonscrits aux différentes surfaces du faisceau. Comme l'un de ces cônes circonscrits est isotrope, puisque l'une des surlaces se réduit au cercle de l'infini, ces trois plans sont rectangulaire,s. Ce sont, dès lors, les plans principaux communs à tous les autres cônes. Si ou considère un plan tangent à toutes les surfaces ayant pour sommet le point A considéré, il touche tous ces cônes et en particulier le cône isotrope. On en conclut que tous ces cônes ont mêmes lignes focales ('). Ils sont homofocaux. On voit aussi, comme dans le cas précédent, que les trois surfaces qui passent par un point A sont réelles, car leurs plans tangents étant rectangulaires sont réels ; et comme chaque plan n'est touché que par une seule surface, la réalité du plan entraîne celle de la surlace.

Nous avons donc démontré que : 1° T)-oU mt-faces homofocales se coupmt à angle droit ; 2" Les cônes ayant pour sommet un point. ,A et circonscrites à toutes les surfaces homofocales sont homofocaucc, et ont tous pour plans principaux ks plans tangents aux trois surfaces Iwmo focales qui passent par A.

IHaudrail modifier un peu ces résultats si la surface ï était tangente au plan do l'infini ; nous supposerons jusqu'à nouvel ordre qu'il n'en est pas ainsi.

4" Le lieu des pôles d'un plan fixe par rapport à toutes nos surit) Une ligne focidc d'un cùnc est l'infcrscctlon Av. deux plans isotropes tangents à ce cûno.

198 LEÇONS SUR LES METdODES DE LA. G MM ET RIE MODERNE

faces est une droite fixe A, a l'isneontre le plan iixe au foinl 1' de uonlact de ce plan avec celle des surfaces qui le touchent. Le point à l'infini sur a est conjugué du plan fixe par rapport au cercle de l'infini ; donc la droite A est perpendiculaire au plan fixe

S' Les plans tangents communs à toutes nos suriaces touchent quatre coniques. L'une d'elles est le cercle de rinfini. Ce plan a pour pôle ie centre de chacune des suriaces. Toutes nos suriaces sont donc concentriques et leur centre commun est l'un des sommets du tétraèdre conjugué commun. Les arêtes de ce ttStraèdre situées dans le plan de l'iuflni forment un triangle conjugué par rapport à la conique située dans ce plan, c'est-à-dire au cercle de l'iulini, par conséquent les plans passant par et par ces arêtes lorment un triùdre trireetangle. Ces plans sont, d'après le g 331, conjugués par rapport à toutes les surfaces, ce sont donc taies plans principaux. Toutes ces surfaces ont mêmes plans pnndpaux. Les trois autres coniques par lesquelles passent les plans tangents communs sont dans ces trois plans; on les nomme les focales du sysième.

Propriétés des Focales

§333. — 1° Les points des focales sont les points tels que le cône isotrope ayant l'un d'eux pour sommet soît bîtangent à toutes les suriaces du faisceau, et par suite les coupe suivant deux courbes pianos.

En effet, les plans menés par la tangente à la focale en un point M tangent à toutes les surfaces du faisceau, sont aussi tangents au cercle de l'inlini, et par suite au cône isotrope ayant M pour sommet. Soient A et A' les points de contact de ces plans avec une àurlace du faisceau, en A et A' le cône isotrope et la surface ont même plan tangent; la proposition se trouve démontrée, le cône isotrope et la surface se coupent suivant deux courbes pianos (§ 322). On peut remarquer que la droite A A' qui joint les points de contact des deux plans tangents est perpendiculaire au plan principal contenant la focale. Cela . résulte de ce que la droite AA' est conjuguée de

LEÇONS SUn LES MÉTHODES HE Li GÉOMÉTRIli MODERNE 199

la tangentL en M a 1 1 I uil t ttt di ite se n i m h h cri i C3i reapoElinl au poinl M

Récip) oqup-ment si le cône isotiope i>ant pour lomniet un [oiEt M est bitangent à lune des suilices du taiaceiu 1 point \1 est ''ui 1 une des focaleb cm I s deut plans tangents comniun=i lu c me iso trope et 1 la -^uiEace étant tnni^enis a deux tuihits du faisceau (h suilace proposée et le (croie de linfini) le sont i tout s Soient \ et B le points ou ces plans tnnehent le ceicle de 1 infini r et D les poinis ou ili touchent lune des «urhcLS du (ais eiu A et r stnt sui une des gen(!nttices du ecnc isotroje de som met M B et D siii une autie La dioite MAC est lune des ge n ratuces de la du eloppable cuconscrite i toutes les suifices du iaiscenu MBD en est une autre M est dom un point ou passent deux génératnces de cette développablc. Or le lieu des points doubles de la développalile circonscrites à deux surfaces du second ordre est l'enserahle des quatre coniques contenues sur cette développahle. (De même que les plans bitangents à l'intersection de deux surlaces du deuxième ordre sont tangents à l'un des quatre cônes du second ordre passant par cette intersection {§ 315). La proposition est donc démontrée,

§ 334. ~ 2° Le lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à une surface du second ordre est l'ensemble de ses trois focales.

On sait qu'une surface de révolution coupe le plan de l'infini sui; vant une conique bitangente au cercle de l'infmi . L'n cône de révolulion est par suite bitangent (le long de deux génératrices) au cône isotrope de même sommet. Si le côno de révolution est circonscrit à la surface S le long d'une courhe C, et tangent au cône isotrope suivant deux génératrices i,i', ces deux génératrices coupent C en deux points, où le cône isotrope est tangent àla surface S; le côno litant ainsi lïitangentà S, son sommet est sur l'une des focales {§ 332).

Réciproquement soit M un point sur l'une des focales, et considérons le cône T du sommet M circonscrit à la surface S. Le cône isotrope est hitangent à S en deux points, nécessairement situés sur la courbe de

contact du cûûo T, car cellivci ost le lion des points rie contact dos plans tangents à S passant pai' M. En ces deux points, le cône T et le cône isotrope ont mâme plan tangent, dès lors ils sont bilangonts le long dos génératrices passant par ces deux points, et par suite le cùnc T est de révolution,

§ 335. — Nous avons suppose que ics surfaces du faisceau n'étaient pas tangentes au plan de l'inflni, disons en quelques mots ce qui arrive dans ce cas.

Prenons d'abord un faisceau ponctuel quelconque ; nous avons vu que si la courbe d'intersection présente un point double, le cône ayant pour sommet ce point et passant par la courbe est du deuxième degré. Au point double toutes les surfaces dii faisceau ont môme plan tangent (le plan des tangentes à la courbe au point double). En dehors de ce point, il n'y a plus que deux cônes du deuxième degré passant par la courbe. En transformant par polaires réciprofiues, on a des surfaces incritesdans une développable, ayant un plan tangent double, c'est-àdire un plan qui la louche suivant deux génératrices. Les surfaces du faisceau tonehent ce plan en un point lixe (point de rencontre de ces deux génératrices). Alors, hors du plan de ces deux génératrices, il n'y a plus que deux coniques et dans ce plan une troisième Si CLtte tioi sième est le cercle de rinAni, on a des surfaces homotocalcs tangente'^ au plan de l'infini (parabololdes homofocaux). 11 o y a plus que d( uv focales qui touchent aussi le plan do l'infini, rcst i due sont des paraboles.

§ 336. -~ Dans le cas général, on peut voir d'un peu plus près ce que sont les focales.

Considérons deux plans principaux contenant cbacun une îocale. Leur interse.ction est nalureltemeul un pian de symétrie pour cliacune de ces courbes. Soit X'S cette intersection, elle rencontre la première focale en A et A', la deuxième en B et B', A et A' sont les sommets de la première focale, B et B' étant sur une locale, le cône de sommet B' isotrope est bitangent à toutes les suriaces du faisceau et en particulier

LEÇONS sua LES MÉTHODES DE LA GÉOMÉTRIE MODERNE 201

à la |>remière focale. Donc B est un foyer, de même que li'. Ainsi la première focale a pour sommet AA', pour foyers BB'. De môme B et il, sont les sommets, A et A' les foyers de la deuxième locale.

Soient F, F, F, les trois focales, A A' les sommets de F, situés sur 0X,B8'ceux deFs,A,A', les sommets de f,, G,C', ceux de Fj situés sur OY, Bfi\. CjC'j, ceux de F^ et Fj situés sur OZ. Si AA' est l'axe focal de F, ses foyers B et B' sont réels, donc ses autres foyers C,C,' sont imaginaires. On verra aisément en continuant ce raisonnement, que des trois focales deux seulement sont réelles (l'autre ayant 4 sommets imaginaires), une seule a 4 sommets réels (ellipse), l'autre deux seulement (hyperbole).